C. R. Acad. Sci. Paris, t. 1, Série IV, p. 975–980, 2000Système solaire/Solar system(Processus physiques en astronomie/Physical processes in astronomy)

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Une nouvelle approche pour les sous-oragesmagnétosphériquesRené PELLAT a, Olivier LE CONTEL b, Alain ROUX b, Sylvaine PERRAUTb,Omar H. HURRICANE c, Ferdinand V. CORONITI d, Jean-François LUCIANI e

a CEA, rue de la fédération, 75007 Paris, Franceb Centre d’étude des environnements terrestre et planétaires, 10–12, avenue de l’Europe, 78140 Vélizy, Francec Lawrence Livermore National Lab, PO Box 808, L-312, Livermore, CA 94550, USAd Department of Physics, University of California at Los Angeles, Los Angeles, CA 90095-1547, USAe Centre de physique théorique, École polytechnique, 91128 Palaiseau cedex, France

Courriel : olivier.lecontel@cetp.ipsl.fr

(Reçu le 22 mars 2000, accepté après révision le 26 juillet 2000)

Résumé. Dans un rapport précédent, l’étude des modes naturels de la magnétosphère dits modes« balloonings », à l’origine de la turbulence magnétosphérique, des sous-orages et de lareconfiguration du champ magnétique, a été présentée. Après un rappel des nouveauxrésultats obtenus depuis, nous présentons un nouveau mécanisme de reconfiguration duchamp magnétique lié à l’instabilité cyclotronique ionique engendrée par les courantsparallèles au champ magnétique qui se développent lors de la phase de croissance dessous-orages et (ou) lors des modes « balloonings ». Cette instabilité interrompt le circuitde courant de l’équilibre, permet la dipolarisation du champ magnétique et constituele processus non linéaire manquant de la phénoménologie des sous-orages. Une preuveindirecte de cette théorie est donnée par le chauffage rapide des électrons, l’injection dite« sans dispersion » et un effet relativement faible sur les protons (le temps caractéristiquede diffusion des ions est de l’ordre de quelques minutes alors que celui des électronsest de quelques secondes). Ce mécanisme magnétosphérique est très probablement aussià l’origine des « flares » observés dans la couronne solaire et constitue une avancéedans la compréhension des processus qui mènent à la reconnexion tridimensionnelle nonstationnaire du champ magnétique. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

sous-orage magnétosphérique / reconfiguration magnétique / courant parallèle auchamp magnétique

A new approach for magnetospheric substorms

Abstract. In a previous report we had started a systematic study of the ballooning modes as thenatural waves of the magnetospheric turbulence, substorm and reconnection. After manynew results following from the very high mirror ratio of the magnetospheric plasma,summarized in this note, we explain the fundamental role of ion cyclotron instabilitiesgenerated by the closure of confinement currents, by field-aligned currents in a three-dimensional (3D) configurations resulting from the growth phase and (or) ballooningmodes. These instabilities destroy the current system, dipolarize the magnetic field and areconsequently the non linear missing piece of substorm phenomenology. An indirect proof ofthis theory (apart from observational evidence) is found in the fast heating of electrons,the so-called ‘dispersionless injection’ and a smaller effect on the proton population(diffusion coefficients are in the minutes time scale for protons and seconds for electrons!).This magnetospheric mechanism is very likely operating in solar flares and is in fact an

Note présentée par Nicole CAPITAINE .

S1296-2147(00)01105-7/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 975

R. Pellat et al.

added stone to a 3D time-dependent reconnection and acceleration. 2000 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

magnetospheric substorms / reconfiguration of the magnetic field / magnetic field-alignedcurrent

Abridged English version

It is well known that the main difference between a two-dimensional (2D) and a three-dimensional (3D)magneto-hydro-dynamic (MHD) equilibrium (of the magnetospheric kind) is found in the closure of theconfinement current (perpendicular to the field lines) by a system of currents parallel to the field lines.A simple way to compute the kinetic effects of a 3D time-dependent configuration (like the growth phaseof magnetospheric substorm) is to follow the initial approach of Pellat [1] completed by subsequent works.Indeed, long time ago, it was already clear that the standard electrostatic approach for plasma transport, inparticular during the substorm growth phase, was irrelevant [2]. Let us recall that we have first extendedour adiabatic variational approach to a stochastic regime which occurs when the curvature radius of themagnetic field lines is comparable to the particle Larmor radius [3,4]. One of most important result hasbeen the explicit computation of a field line electrostatic potentialΦ0 (see equation (1)) when the electronictemperatureTe is smaller than the ion temperatureTi (the usual plasma sheet case) and subsequently thefield-aligned potential drop̃δφ [5,6]. Let us recall that in MHD the only electrostatic potentialδφ is givenby δφ+ ∂/∂t(

∫ ldl′ δA‖) = 0 (t being the time,l (δA‖) being the coordinate (the component of the vector

potential) along the magnetic field). In the case of a magnetospheric plasma, the Vlasov/Maxwell systemof equations allows to obtain the total potential:δΦ = Φ0 + δφ+ δ̃φ, whereδφ+ ∂/∂t(

∫ ldl′ δA‖)≈ 0 to

the lowest order in (Te/Ti) and δ̃φ is the field-aligned potential drop to the first order in (Te/Ti). Then ithas been possible for a low pressure plasma in a dipole field to solve explicitlyδ̃φ knowing the space andtime vector potential [6]. This result is interesting in itself because it demonstrates explicitly that we areable to compute the parallel particle motion from the Vlasov/Maxwell system of equations as a function ofthe time-dependent vector potential. In the present note, the corresponding formulas, which do not dependon the magnetic field model and take into account the plasma pressure, are given in the french versionsuccessively by equation (3) for the distribution function and equations (7) and (8) for the parallel current.As intuitively obvious (δj‖ ≈ δj⊥L‖/L⊥, whereL‖ is the length of the field line,L⊥ the scale of thepressure gradient) the drift velocityδj‖/(n0e) between ions and electrons is easily of the order of thethermal ion velocity, which results in a strong ion cyclotron instability. An also qualitatively importantresult is quoted: in the case of the usual drift ballooning ordering:ω +ω?i ≈ 0 (whereω?i is the usual driftfrequency characteristic of the pressure gradient) the energy principle does not depend on the adiabaticityor nonadiabaticity of the ion population (equation (9)). As a conclusion, we may say now that the 3Dplasma sheet thinning leads in a natural way to the breaking of parallel currents by Alfvén wave instabilityin the range of proton cyclotron frequencies, which are effectively observed at substorm breakup [7]. ThisAlfvén wave instability may be driven in a quasi-static way and (or) by instable ballooning modes at theend of the growth phase. The ‘high frequency’ turbulence will remove the ionospheric line tying effect ofthe non-MHD electrostatic potentialΦ0 in both cases. Finally, with available observations, we may alreadyconclude that cyclotronic and ballooning waves are both observed in substorms and fast flows occurring inthe magnetotail (‘bursty bulk flows’), and are relevant of the same 3D plasma physics.

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Une nouvelle approche pour les sous-orages magnétosphériques

1. Introduction

Dans une note précédente [1], nous avions établi une forme quadratique adaptée aux « mouvements voi-sins » (tridimensionnels) d’un plasma en équilibre. Le champ d’applications concerne les magnétosphèresou les structures magnéto-hydro-dynamiques (MHD) de la surface solaire. Cette forme variationnelle, éta-blie pour les fréquencesω inférieures à la fréquence moyenne d’aller et retour des ionsωb,i, a permis deprévoir les conditions d’instabilité des modes dits « balloonings ». Par la suite, plusieurs progrès ont étéaccomplis successivement.(i) La forme variationnelle a pris en compte la possibilité d’une non adiabaticité des ions qui apparaît

lorsque le rayon de courbure des lignes de champ magnétique est du même ordre que le rayon deLarmor des particules [3,4].

(ii) L’équation de neutralité a été résolue, pour la première fois, lorsqueTe/Ti < 1 (Te et Ti étantrespectivement les températures électronique et ionique), ce qui a permis de trouver dans un premiertemps le potentiel électrostatiqueΦ0 du plasma constant le long des lignes de force [5] ; rappelonsqu’en MHD, le seul potentiel électrostatiqueδφ est tel que :δφ+ ∂/∂t[

∫ ldl′ δA‖(l

′)] = 0, oùt est letemps,δA‖ est la composante parallèle au champ magnétique du potentiel vecteur etl est l’abscissecurviligne le long de la ligne de champ. Pour des perturbations dont la longueur d’onde est grandedevant le rayon de Larmor de particules, le potentielΦ0 s’exprime sous une forme simple :

Φ0 =

∫ li

0

dl

RB2

(iω

∫ l

dl′ δA‖(l′)

)/∫ li

0

dl

RB2(1)

oùR est le rayon de courbure local de la ligne de champ magnétique etli la position de l’ionosphère.Cette formule est valable aussi bien pourω < ωb,i (ωb,i étant la fréquence d’aller et retour des ions)lorsque les protons sont non adiabatiques qu’indépendamment, sans autre contrainte queω < ωb,e

(ωb,e étant la fréquence d’aller et retour des électrons), lorsque les « mouvements voisins » sont telsqueω + ω?i ≈ 0 où ω?i est la fréquence de dérive caractéristique du gradient de pression des ions(ω?i = 1/(en0)∂p/∂α ∂/∂β où e et n0 sont respectivement la charge et la densité des protons) ; lechamp magnétique étant défini parB = ∇α × ∇β avec∂β = 0 pour l’équilibre initial,α étant la« surface magnétique »).

(iii) L’inversion de l’équation intégrale de quasi-neutralité entre les ions et les électrons, permet en principede calculer le potentiel électrostatique le long des lignes de champ. Dans le cas oùTe/Ti < 1(correspondant aux sous-orages magnétosphériques ou aux éruptions solaires), on peut écrire lepotentiel total sous la formeδΦ = Φ0 + δφ + δ̃φ où δ̃φ est d’ordre(Te/Ti). Nous avons pu ainsiinverser l’équation intégrale de quasi-neutralité et calculer explicitement le saut de potentielδ̃φ lelong des lignes de champ dans le cas d’un dipôle linéaire et d’un plasma de faible pression [6]. Cerésultat est une première étape dans la compréhension des champs électriques parallèles observés dansla magnétosphère terrestre.

Ce potentiel̃δφ, comme la partie constante le long de la ligne de champΦ0, ne sont pas pris en comptepar la MHD puisque leur description nécessite la résolution de l’équation de Vlasov dans les géométriesconsidérées. Le potentiel̃δφ accélère les ions et les électrons le long des lignes de champ ; il est en partiela cause des émissions d’ondes d’Alfvén (corrélées aux « balloonings » au moment du déclenchement) etil est responsable, comme nous l’indiquerons par la suite, du mécanisme d’injection du plasma lors de laphase de déclenchement (breakup).

2. Courant parallèle au champ magnétique

Dans ce compte rendu, nous voulons compléter notre analyse en calculant le courant parallèle auchamp magnétique. Ce courant est proportionnel à la différence de vitesse∆V‖ (entre électrons et

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R. Pellat et al.

ions) le long de la ligne de force. Or, on sait depuis longtemps que les ondes d’Alfvén sont instablesen présence d’un courant parallèle lorsque∆V‖ devient de l’ordre de la vitesse thermique des ions.Cependant, cette théorie a longtemps été éliminée des explications du déclenchement des sous-oragescar il avait été affirmé par A. Hasegawa qu’un potentiel le long du champ magnétique ne pouvait créerde courant (électronique ou/et ionique) ; ce qui est parfaitement correct pour un potentiel statique (unefonction de l’énergie reste une fonction de l’énergie donc paire env‖). Cependant, les observationsfaites juste avant le déclenchement montrent que les principaux paramètres physiques, et notamment lechamp magnétique, varient dans le temps. Dans ces conditions, et c’est bien connu depuis longtempspour les ondes électrostatiques se propageant en milieu inhomogène, à l’ordre le plus bas enδΦ/T , lafonction de distribution perturbée de l’espècej s’écrit : f1j = qj(δΦ − δΦ)∂f0j/∂E au premier ordre enω/ωb,j où qj et f0j sont respectivement la charge et la fonction de distribution d’équilibre de l’espècej,E l’énergie et les quantités surlignées sont des moyennes sur le mouvement d’aller et retour des particules(X =

∫ lm−lm dl/|v‖|X/

∫ lm−lm dl/|v‖| où lm est l’abscisse curviligne du point miroir etv‖ est la composante

de la vitesse parallèlement au champ magnétique). Les perturbations ont été supposées de la forme :δΦ(r, t) = δ̂Φ(k⊥, ω, l) exp[i(k⊥ · r⊥ + ωt)] où r (k⊥) est le vecteur position (le vecteur d’onde) et lesymbole⊥ désigne la direction perpendiculaire au champ magnétique. L’équation de Vlasov a été résoluedans le référentiel local lié au champ magnétique (eχ =B/B, eψ =∇ψ/|∇ψ|, ey = eχ × eψ). Dans lebut de ne pas alourdir les expressions théoriques, nous supposons que la longueur d’onde des perturbationsest grande devant le rayon de Larmor des particules. À l’ordre suivant, on a :

f2j = qj iω∂f0j

∂E

∫ l

0

dl′

|v‖|(δΦ − δΦ) (2)

Dans le cas électromagnétique, le second ordref2j se calcule aussi naturellement et l’on obtient :

f2j = qj(ω +ω?j)∂f0j

∂E

[∫ l

0

dl′

|v‖|

(Hj −

ω + ωd,j

ω +ωd,jHj

)](3)

oùHj = δΦ + i(ω + ωd,j)∫ l′

dl′′ δA‖ − µ iky δAψ/qj , ωd,j est la fréquence de dérive de gradient et decourbure du champ magnétique de l’espècej,µ est le moment magnétique etδAψ est la composante suivanteψ du potentiel vecteur.

Dans la couche de plasma magnétosphérique au moment du déclenchement, on observe généralement desmodes « balloonings » croissant au cours du temps [8] et simultanément des émissions intenses d’ondescyclotroniques [7]. Il est naturel d’attribuer ces émissions à une instabilité de courant parallèle. C’est pour-quoi nous avons calculé le courant parallèle au champ magnétique, défini parδj‖ =

∑j=i,e qj

∫d3v f2jv‖,

en résolvant successivement les équations de Vlasov/Maxwell pourδAψ , Φ0 et δ̃φ dans le cas général.En supposant que les fonctions de distributions d’équilibre sont des Maxwelliennes (f0j = n0j [mj/

(2πTj)]3/2 exp[−(E/Tj)]), nous considérons les deux cas extrêmes :ω ≈ 0 et ω + ω?i ≈ 0, c’est-à-dire

respectivement le cas quasi-statique et le cas des modes « balloonings ».Pourω ≈ 0, nous obtenons :

δj‖ = iω?ie

∫d3v |v‖|

ef0i

Ti

∫ l

0

dl′

|v‖|(Hi −

ωd,i

ωd,iHi

)si les ions sont adiabatiques (4)

δj‖ = iω?ie

∫d3v |v‖|

ef0i

Ti

∫ l

0

dl′

|v‖|(Hi −

ωd,i

〈ωd,i〉〈Hi〉

)si les ions sont non adiabatiques (5)

les crochets dans l’équation (5) désignent une moyenne sur le mouvement d’aller et retour ainsi qu’une

moyenne sur le moment magnétique des particules (〈X〉 =∫ E/Bmin

0 dµ∫ lm

0 dl/|v‖|X/

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Une nouvelle approche pour les sous-orages magnétosphériques

∫ E/Bmin

0dµ∫ lm

0dl/|v‖| où Bmin est le mininum deB le long de la ligne de champ etlm est l’abscisse

curviligne du point miroir). Notons que dans le cas où les ions et les électrons sont non adiabatiques, lavariation du potentiel le long du champ magnétiqueδ̃φ est nulle.

Pourω+ω?i≈ 0 (équivalent àδW = 0 oùδW désigne classiquement la variation de l’énergie potentielledu système produite par la perturbation) :

δj‖ =−iω?ie

∫d3v |v‖|

ef0e

Te

∫ l

0

dl′

|v‖|

(Ξe −

ωd,e

ωΦ0

)(6)

avecΞe = iωd,e

∫ l′dl′′ δA‖ + µ iky δAψ/qe et Φ0 = −(ω/{ωd,e}){Ξ e} (où les accolades désignent les

intégrales suivantes{X}=∫ li

0dl/B[

∫4πB dµdE/(m2

j |v‖|)(f0j/Tj)X(µ,E, l)]).La formule précédente est identique à celle du casω = 0 s’il n’y a pas de gradient de température et si les

protons sont non adiabatiques. Le cas le plus intéressant est le second cas (ω + ω?i ≈ 0) car il correspondsoit à des modes « balloonings » observés expérimentalement, soit à une situation inhomogène dépendantdu temps telle que localement, on puisse avoir∂/∂t+ 1/(n0e)(∂p/∂α)∂/∂β ≈ 0 ; ce qui est possible apriori côté soir proche de minuit à la fin de la phase de croissance. Toujours dans ce cas, il n’y a pas decourant d’ions le long du champ magnétique et on peut avoir facilement une vitesse de dérive des électrons(∆V‖ = δj‖/(n0e)) de l’ordre ou plus grande que la vitesse thermique des ions, ce qui est la conditiond’instabilité forte des ondes d’Alfvén.

Il est utile de donner la formule générale pour le courant parallèle, dans le cas oùω?i >ω > ωd,i, ωd,e :

δj‖ = iω?ie

∫d3v |v‖|

ef0i

Ti

∫ l′

0

dl′

|v‖|

[Ξi −

ωd,i

ω+ ωd,i(Ξ i + Φ0)

](7)

avecΦ0 = ω{Ξ i/(ω + ωd,i)}/{ωd,i/(ω + ωd,i)}.Pourω + ω?i ≈ 0 lorsque les ions sont adiabatiques ou en général (ω < ωb,e, ωb,i) pour les ions non

adiabatiques, le courant parallèle devient :

δj‖ = iω?ieB

∫ l

0

dl′

RB2

[∫ li

l′dl′′ δBψ −

∫ li0

dl′

RB2

∫ lil′

dl′′ δBψ∫ li0

dlRB2

](8)

sachant que lorsqueω+ω?i ≈ 0 (de façon analogue au cas des ions non adiabatiques), l’ensemble du termede compressibilité de la forme quadratique et du principe d’énergie se ramène à :

(ω + ω?i) iπδ(ω + ωd,i)

[Ξ i −

ωd,i

{ωd,i}{Ξ i}

]2

+ω?i{ωd,i}

{Ξ i}2 (9)

démontrant que les changements de stabilité seront identiques au cas non adiabatique, les résonances decourbure remplaçant la dissipation stochastique.

3. Conclusion

Pendant la phase de croissance et/ou en présence de modes « balloonings », les courants parallèles s’in-tensifient. Dès lors que la vitesse de dérive entre les ions et les électrons devient de l’ordre de la vitessethermique des ions, une instabilité de courant se développe et donne lieu à l’émission d’ondes dont la fré-quence est proche de la fréquence cyclotronique ionique. Le déclenchement proprement dit du sous-oragese produit lorsque l’amplitude de ces ondes est suffisante pour diffuser les électrons en un temps proche deleur période de rebond (10 s). Le mouvement d’aller et retour des électrons est alors modifié et le courant

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R. Pellat et al.

parallèle interrompu. Cette interruption locale du courant parallèle engendre à nouveau des perturbationsbasse fréquence de type « balloonings » qui, se propageant azimutalement et radialement, vont à leur tourengendrer des instabilités de courant parallèle. La reconfiguration globale de la queue de la magnétosphères’effectue donc de proche en proche en raison d’instabilité de courant parallèle locale. Ce déclenchement(«breakup »), dû à l’instabilité de courant parallèle au champ magnétique, chauffe les électrons, coupe lacommunication avec l’ionosphère (Φ0 et δ̃φ ≈ 0), provoque « l’injection sans dispersion » de plasma etest donc à l’origine de la « dipolarisation ». Cette instabilité, par le même mécanisme, est aussi à l’originedes «bouffées » d’écoulements rapides vers la Terre (« Bursty Bulk Flow ») comme le suggèrent les ob-servations récentes effectuées par le satellite Geotail. Mentionnons également, comme cela a été démontrédans le précédent compte rendu, qu’il n’y a aucune difficulté à avoir une reconnexion locale si le champd’équilibre est suffisamment faible, ce qui, dans un régime non linéaire, peut conduire à un « vent » (au lieud’une injection vers la Terre dans le cas magnétosphérique). Insistons également sur le fait que, lorsque lamesure des ondes cyclotroniques est disponible à bord du satellite, aucun cas de dipolarisation n’est ob-servé sans que l’on détecte simultanément les ondes cyclotroniques et les ondes basse fréquence de type« ballooning ». Ces ondes basse fréquence correspondent soit à un mode « ballooning » instable soit à unmode « ballooning » de relaxation de la cavité locale constituée par un circuit de deux courants alignés avecle champ magnétique et de directions opposées. Ce mode « ballooning » est un mode global enψ (radiale-ment). Les oscillations de type « ballooning », observées sur Geotail (9–15 rayons terrestres) et sur le satel-lite géostationnaire GEOS-2 au moment du déclenchement, seraient donc deux parties de ce même modeglobal, ce qui expliquerait pourquoi la période de ces oscillations est identique. L’idée intéressante, quiconsiste à attribuer le déclenchement des sous-orages au caractère explosif de l’instabilité « ballooning »,n’est pas validée par les observations, ni par les simulations numériques [9] ; l’effet stabilisant de rayon degiration fini sur les harmoniques élevées du mode « ballooning » fondamental empêche l’instabilité de sedévelopper. Par contre, la génération d’une harmonique des modes « balloonings » d’une amplitude iden-tique au fondamental double le courant parallèle ! Une dernière remarque, qui accentue le rôle fondamentaldes ondes cyclotroniques, est que le déclenchement conduit à une dipolarisation du champ magnétique enréduisant la densité de courant mais non le courant total imposé par la fermeture du courant à la frontièreentre le vent solaire et la magnétosphère. Si le chauffage observé des électrons, provoqué par ces ondes, estspectaculaire, en ce qui concerne les protons, on observe une isotropisation plus qu’une accélération ; cequi est en accord qualitatif avec la constance du courant.

Références bibliographiques

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