Université Libre de Bruxelles Solvay Business School

La valeur actuelle André Farber

Novembre 2005

1. Introduction Supposons d’abord que le temps soit limité à une période et que les cash flows futurs (les flux monétaires) soient certains. Dans ce contexte, la formule de calcul de la valeur actuelle d’un cash flow futur C1 étant donné le taux d’intérêt r en vigueur sur le marché est :

rCVA+

=1

1

Cette formule peut s’écrire :

VA(1+r) = C1

Cette expression montre que la valeur actuelle est le montant à placer aujourd’hui pour obtenir C1 en fin de période si le taux d’intérêt par période est r.

Une autre présentation de la même formule peut être donnée :

VA = C1 × v1

dans laquelle v1 = 1/(1+r) est le facteur d’actualisation. Ce facteur d’actualisation est le prix de marché d’un zéro-coupon de valeur faciale unitaire. Une zéro-coupon est une obligation élémentaire qui ne verse pas d’intérêts intermédiaires (les coupons) et donne lieu à un paiement unique à l’échéance d’un montant appelé la valeur faciale. Un zéro-coupon de valeur faciale unitaire verse donc 1€ à l’échéance.

Dans cette note, nous relâchons l’hypothèse d’un avenir limité à une seule période. Nous montrons comment calculer la valeur actuelle d’une chronique quelconque de cash flows futurs. Nous maintenons cependant l’hypothèse de certitude. Certaines des formules présentées dans cette note sont d’application dans une situation plus réaliste d’incertitude mais nous continuons à assimiler le taux d’actualisation uniquement à un taux d’intérêt. Dans un contexte d’incertitude, nous devrons ajouter au taux d’intérêt une prime de risque pour obtenir le taux d’actualisation.

2. Formule générale

VALEUR ACTUELLE ET FACTEUR D’ACTUALISATION

L’analyse présentée dans l’introduction conduit naturellement à une définition générale de la valeur actuelle. La valeur actuelle d’un flux de trésorerie (ou cash flow) futur est le prix (ou la valeur) sur les marchés financiers de ce flux. Elle est calculée en multipliant ce flux (Ct) par un facteur d’actualisation (vt). Celui-ci correspond au prix de marché aujourd’hui (temps 0) d’une unité monétaire disponible à la date future (temps t).

La valeur actuelle theorie v1 1 de 7

t tVA C v= ×

De manière similaire, la valeur actuelle d’un échéancier de cash flows : C1, C2, …, CT est la somme des valeurs actuelles des cash flows individuels.

1 1 2 2 T TVA C v C v C v= × + × + … + ×

Lorsque les cash flows futurs sont connus avec certitude, les facteurs d’actualisation peuvent être obtenus directement en observant les prix de zéro-coupons basés sur des obligations d’Etat. En effet, il existe des instruments financiers traités sur les marchés dont le prix aujourd’hui correspond exactement au droit à recevoir un montant de 1€ dans n années, ce qui équivaut à notre facteur d’actualisation pour l’année n. Ces obligations sont connues sous le nom de STRIPS (« Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities »).

Une obligation d’Etat traditionnelle comprend des coupons (les intérêts payés périodiquement) et le principal (le remboursement à l’échéance de la valeur nominale). Une série de STRIPS est créée en scindant une obligation en plusieurs morceaux, chacun d’eux correspondant à un seul encaissement.

Le facteur d’actualisation est également lié à un taux d’actualisation, le taux d’intérêt correspondant à l’échéance, par la formule :

tt

t rv

)1(1+

=

Cette formule peut aussi s’écrire : . Cette présentation indique que la valeur future d’un montant v

(1 ) 1tt tv r× + =

t placé pendant t années à un taux annuel moyen rt avec réinvestissement annuel des intérêts est égal à l’unité.

Le taux d’intérêt rt est aussi appelé taux comptant (« spot rate ») quand on veut préciser qu’il est applicable à tout emprunt ou prêt démarrant aujourd’hui. L’ensemble des taux au comptant et de leur échéance ultime donne la structure par terme des taux d’intérêt.

Si l’on fait l’hypothèse que le taux d’intérêt est indépendant de l’échéance, c’est-à-dire que la structure par terme des taux est plate, la formule du facteur d’actualisation s’écrit :

ttt v

rv =

+=

)1(1 où 1

(1 )v

r≡

+.

A titre d’illustration, nous présentons deux applications-type du principe d’actualisation : les projets d’investissement et le calcul obligataire.

PROJETS D’INVESTISSEMENT

La valeur actuelle nette d’un projet d’investissement est la somme des valeurs actuelles de tous les cash flows associés à ce projet :

La valeur actuelle theorie v1 2 de 7

0 1 1 2 2 T TVAN C C v C v C v= + × + × + … + ×

Le taux d’actualisation r utilisé dans l’expression de « v » est le taux correspondant aux exigences de rentabilité des apporteurs de capitaux. Pour un projet dont les cash flows futurs sont risqués, le taux d’actualisation est égale au taux sans risque auquel l’on rajoute une prime de risque.

Le taux de rentabilité interne (« Internal Rate of Return ») d’un projet d’investissement est le taux d’actualisation qui annule la valeur actuelle nette. Il est la solution de :

1 20 2 0

(1 ) (1 ) (1 )T

T

C C CCTRI TRI TRI

+ + + … ++ + +

=

Pour les projets caractérisés par des flux de trésorerie négatifs suivis de flux de trésorerie positifs:

0 VAN TRI r> ⇔ >

Notons que la détermination d’un TRI n’est pas un calcul simple. Vous trouverez plus loin la fonction Excel qui vous permettra de réaliser ce calcul sans douleur.

CALCUL OBLIGATAIRE

Le prix P au temps 0 d’une obligation d’état venant à échéance dans T années, de valeur nominale égale à 100 et versant un coupon annuel C est :

0 1 2 ( 100) TP C v C v C v= × + × + … + + ×

Dans le cas présent, il est important de préciser l’échéance de « v ». En effet, en matière de produits sensibles au taux d’intérêt, il est irréaliste d’oublier le fait que la courbe des taux d’intérêt n’est généralement pas plate : le taux annuel dépend de l’échéance à laquelle il est applicable.

Le rendement à l’échéance (ou taux de rendement actuariel – « yield to maturity ») est le taux d’actualisation qui égalise le prix de l’obligation avec la valeur actuelle des coupons futurs et du remboursement final. Par analogie, il peut être vu comme étant le taux de rentabilité interne d’un projet consistant à acheter l’obligation pour recevoir ensuite les flux monétaires attachés. Il est la solution de :

0 2 0(1 ) (1 ) (1 )T

C C C FPy y y

+− + + … +

+ + +=

INFERENCE DES TAUX D’INTERET

Sur les marchés financiers, les « traders » sont plus enclins à traiter des « prix » qu’à traiter directement des « taux ». Par conséquent, c’est indirectement que les agents retrouvent (ou infèrent) les taux implicites contenus dans ces prix.

La valeur actuelle theorie v1 3 de 7

Supposons que nous observions les prix de n obligations. Soit Pi le prix de l’obligation i et Ci son coupon. Les n facteurs d’actualisation peuvent être calculés en résolvant le système de N équations linéaires à n inconnues :

1 2 ( 100) i i i i nP C v C v C v= × + × + … + + × 1, 2, .., i n=

Les produits financiers retenus pour l’estimation implicite de cette courbe peuvent être très variés. En général, les analystes vont essayer de se baser sur les prix des instruments les plus liquides du marché dans leur catégorie. Aujourd’hui, la majorité des traders utilisent :

• les prix des taux de dépôts interbancaires pour estimer les taux à échéance < 1 an

• les taux de « Floating-Rate Agreement » (FRA) pour les taux > 1 an mais < 5 ans

• les taux « swap » pour estimer implicitement les taux allant de 5 à 30 ans.

3. Formules simplificatrices Quelques formules permettent de simplifier les calculs :

Toutes les séries de flux mentionnées dans les points ci-dessous ne débutent qu’à la période 1, la valeur actuelle étant calculée au temps 0.

(1) Valeur actuelle d’une rente (« perpétuité ») constante, c’est-à-dire une suite infinie de cash flows constants : C1 = C2 = … = Ct = … = C

rC VA =

(2) Valeur actuelle d’une rente (« perpétuité ») croissante, c’est-à-dire une suite infinie de cash flows croissants : C1, C2 = C1(1+g), … , Ct = Ct-1(1+g)= C1(1+g)t-1, …

r-gC1 VA =

NB : g < r

(3) Valeur actuelle d’une annuité constante, c’est-à-dire une suite finie de cash flows constants : C1 = C2 =…= Cn= C

( )annuitéFacteur d'

nr -

r C ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=

1111 VA

La valeur actuelle theorie v1 4 de 7

où

annuitéd'Facteur

- 1 VA ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×=

rvC

n

et le facteur d’annuité = v1+v2+ … . +vn.

(4) Valeur actuelle d’une annuité croissante, c’est-à-dire une suite finie de cash flows croissants : C1, C2 = C1(1+g), … , Ct= C1(1+g)t-1.

1 1-- 1

tC gVAr g r

⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

LES FORMULES DANS EXCEL

Si vous pratiquez l’actualisation à titre professionnel, vous effectuerez probablement une partie importante de vos calculs en Excel. Nous reprenons donc ci-dessous les fonctions en Excel qui correspondent aux formules présentées ci-dessus. Nous vous donnons les formules pour la version française et la version anglaise. Excel français Excel anglais Commentaire Formule général

VAN(r, Val.1…Val.n) NPV(r, Val.1…Val.n) La fonction VAN/NPV donne la VA et non la VAN. La formule est basée sur un taux d’actualisation unique.

Perpétuité constante VA = C/r

Néant Néant La formule est trop simple pour justifier une fonction

Perpétuité croissante VA = C1 /(r-g)

Néant Néant A nouveau, trop simple pour une fonction

Annuité constante VA = (C/r)[1-(1+r)-n]

-VA(r,n,C) ou VA(r,n,-C)

-PV(r,n,C) ou PV(r,n,-C)

Attention : si C>0, la formule donne un résultat négatif

Calcul du TRI TRI(Val.1,…,Val.n) IRR(Val.1,…,Val.n) Fonctionne sans problème si les cash flows sont négatifs d’abord puis positifs

COMPOSITION D’INTERETS

Lorsque les intérêts sont réinvestis plusieurs fois par an, le facteur d’actualisation s’écrit :

La valeur actuelle theorie v1 5 de 7

1 1

tt nvrn

=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

où r est le taux annuel nominal, n est le nombre de réinvestissement d’intérêts par an et nt est le nombre de période de réinvestissements entre 0 et t.

Le taux d’intérêt annuel équivalent (« rae ») est lié au taux annuel nominal par la formule :

1 1 n

aerrn

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

Lorsque la périodicité est infinie, on parle de taux continu. Dans ce cas, le facteur d’actualisation devient : . ( )tr-

t exp v ×=

TAUX D’INTERET REEL ET INFLATION

Le taux d’intérêt réel est le taux d’intérêt réalisé sur un placement à pouvoir d’achat constant. La relation entre le taux d’intérêt réel et le taux d’intérêt nominal est :

inflationd' taux 1nominalintérêt d' taux 1 réelintérêt d' taux 1

++

=+

En première approximation : inflationd'taux -nominalintérêt d' taux réelintérêt d'taux ≈

Résumé • La valeur actuelle d’une série de cash flows est la somme des valeurs actuelles des flux de

trésorerie individuels : TT2211 v C v C v C VA ×+…+×+×=

• Le facteur d’actualisation peut être mesuré par : tt

t rv

)1(1+

=

• Quelques formules simplificatrices très pratiques :

Valeur actuelle d’une rente de coupon C : rC PV =

d’une rente de coupon C avec croissance infinie g (avec g< r ): r-gC1 VA =

La valeur actuelle theorie v1 6 de 7

Valeur actuelle d’une annuité constante :( )annuitéFacteur d'

nr -

r C ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=

1111 VA

d’ une annuité croissante : 1 1-- 1

tC gVAr g r

⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦

NOTES

Les notions de base de calcul de valeurs actuelles sont exposées dans tous les manuels de finance, par exemple Brealey Myers Allen (2005) Chapitre 3. Nous nous différencions quelque peu des présentations usuelles en basant la formule de calcul de la valeur actuelle sur l’existence de prix de marché (les facteurs d’actualisation) plutôt que sur un taux d’actualisation unique identique pour toutes les échéances. Ceci nous permet de mettre en évidence l’importance de la structure par terme des taux pour tous les calculs de valeurs actuelles pour des cash flows futurs certains. La « bootstrap method » utilisée pour extraire les facteurs d’actualisation de cotations d’obligations d’Etat est décrite notamment dans Garbade (1998), Tuckman (1995) ou Van Deventer et Imai (1997).

Pour les amateurs d’histoire, il est intéressant de rappeler que les calculs de valeurs actuelles et de valeurs futures remontent à la nuit des temps. Mais les moyens de calculs étaient limités avant l’arrivée des calculatrices électroniques et des ordinateurs. Imaginez devoir calculer (1/1,0435)35 manuellement ! Un cauchemar. Ce n’est qu’au début des années 1950, avec l’arrivée des ordinateurs, que la valeur actuelle a fini par s’imposer dans toutes les entreprises. La difficulté de calcul est, maintenant, de l’histoire ancienne. Poitras (2000) présente les origines des calculs actuariels.

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

Brealey, R., S. Myers and F. Allen, Principles of Corporate Finance, McGrawHill 2005

Garbade, Kenneth D., Fixed Income Analytics, MIT Press, 1998

Poitras, G., The Early History of Financial Economics, 1478-1776, Edward Elgar, 2000

Ross, Westerfield and Jaffe, Corporate Finance, McGrawHill 2005

Tuckman, Bruce, Fixed Income Securities, Wiley 1995

Van Deventer, Donald R. and Kenji Imai, Financial Risk Analytics, Irwin, 1997

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