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Valeur moyenne d’une fonction – Intégration / Calcul intégral – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : calculer la valeur moyenne d’une fonction usuelle

Exercice 2 : calculer la valeur moyenne d’une fonction rationnelle

Exercice 3 : déterminer la relation entre vitesse moyenne et valeur moyenne de la fonction vitesse

Exercice 4 : calculer la valeur moyenne de la fonction sinus sur une période

Exercice 5 : calculer la valeur moyenne d’une fonction polynôme

Exercice 6 : calculer les valeurs moyennes respectives de deux fonctions en résolvant un système

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Valeur moyenne d’une fonction – Intégration

Exercices corrigés

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2

Soit la fonction définie sur par . Calculer la valeur moyenne de cette fonction sur

l’intervalle .

Rappel : Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

Soit une fonction continue sur un intervalle avec . La valeur moyenne de la fonction sur

est le réel :

La fonction est la différence d’une fonction polynôme et de la fonction exponentielle, fonctions toutes deux

continues sur . Par conséquent, est continue sur et la valeur moyenne de cette fonction existe.

Par ailleurs, comme , la valeur moyenne de la fonction sur est le réel tel que :

Fonction définie par Primitives définies par Conditions sur et

Exercice corrigé 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



3

Soit la fonction définie sur par

. Calculer la valeur moyenne de cette fonction sur l’intervalle

.

La fonction est une fonction rationnelle donc elle est continue sur son ensemble de définition, à savoir sur

et en particulier sur .

Appelons la fonction définie sur par . Cette fonction est une fonction polynôme donc

elle est dérivable sur . Pour tout de cet intervalle, , d’où

.

Comme , il vient que la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle est le réel tel que :

Or, comme pour tout , , c’est-à-dire , il résulte que :

Fonction définie par Primitives définies par Conditions sur

dérivable et





4

Supposons que la vitesse d’un point mobile soit une fonction continue du temps .

Montrer que la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle est la vitesse moyenne du point mobile

sur (avec ).

Comme la fonction est une fonction continue du temps , la valeur moyenne de cette fonction sur est

le réel tel que :

Or, est la vitesse instantanée du point mobile à un instant . Par conséquent,

où désigne la

position du point mobile à cet instant . Comme la fonction est aussi une fonction continue du temps, il vient

finalement que :

Or, cette dernière expression est bien celle de la vitesse moyenne du point mobile sur l’intervalle .

Exercice corrigé 3 (1 question) Niveau : moyen




5

Montrer que la valeur moyenne de la fonction sinus sur une période ne dépend pas de cette période.

La fonction sinus est une fonction continue sur et périodique de période 2π. En effet, pour tout ,

et .

Par conséquent, déterminer la valeur moyenne de la fonction sinus sur une période revient à déterminer la

valeur moyenne de la fonction sinus sur un intervalle avec . Autrement dit, il s’agit de

trouver le réel tel que :

Comme la fonction cosinus est une fonction continue et périodique de période 2π, il résulte que :

Finalement, la valeur moyenne de la fonction sinus sur une période est nulle. La valeur moyenne ne dépend

donc pas de la période considérée.

Fonction définie par Primitives définies par Conditions sur





6

On désigne par la fonction définie sur par . Déterminer tous les réels tels que leur image

par soit égale à la valeur moyenne de sur .

La fonction est une fonction polynôme donc elle est continue sur .

Comme , la valeur moyenne de sur est alors égale à avec :

Pour tout ,

Posons le discriminant du trinôme

. Alors

. Comme , le

trinôme admet deux racines réelles et telles que :

Il existe donc deux réels tels que leur image par soit égale à la valeur moyenne de sur ; il s’agit

des nombres

et

.

Exercice corrigé 5 (1 question) Niveau : simple




7

Soient les fonctions , et définies sur par :

1) Calculer .

2) En déduire les valeurs moyennes des fonctions et sur l’intervalle .

1) Calculons .

La fonction est le produit de la fonction et de la fonction . Or, est une fonction

affine donc elle est dérivable sur et est également dérivable sur comme étant la composée d’une fonction

linéaire par la fonction sinus, toutes deux dérivables sur et à valeurs dans . Par conséquent, est dérivable

sur .

Pour tout , .

2) Calculons les valeurs moyennes de et sur l’intervalle .

Les fonctions et sont continues sur comme étant le produit d’une fonction affine par le carré d’une

fonction trigonométrique (respectivement la fonction cosinus et la fonction sinus). De plus,

donc les

valeurs moyennes et respectives des fonctions et sur l’intervalle sont égales à :

Soient et les intégrales de 0 à π des fonctions et , c’est-à-dire :

Il en découle que :

Exercice corrigé 6 (2 questions) Niveau : difficile




8

Rappel : Linéarité de l’intégrale (linéarité additive et linéarité multiplicative)

Soient deux réels et . Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle avec , alors :

Or, d’une part, d’après la linéarité de l’intégrale, on a :

Et, d’autre part, d’après la linéarité de l’intégrale, on a :

D’après la question précédente, . D’où l’égalité suivante :

Par conséquent, on a :

Fonction définie par Primitives définies par Conditions sur , et

,

,



9

Pour déterminer et , résolvons enfin le système

.

En conclusion, on a les valeurs moyennes suivantes :

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