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Gestion d e portefeuille :Application sur la BVMT

UNIVERSITE 7 NOVEMBRE A CARTHAGEINSTITUT DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

CARTHA GE PRESIDENCE

I H E C

MEMOIRE DE FIN D’ETUDES

GESTION DE PORTEFEUILLE APPLICATION SUR LA BVMT

Elaboré par : Encadré par :

OUCHEM SKANDER Mr. HELLEL

BOUINE MOEZ

Année Universitaire 2000/2001 Page 1

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Gestion de portefeuille :Application sur la BVMT

SOMMAIRE

Introduction Générale P3

Partie I Approche théorique de la gestion de portefeuille P6

Chapitre 1 Rendement d’un portefeuille P7

I Rendement d’un titre P7

II Rendement d’un portefeuille P12

1 Définition d’un portefeuille P12

2 Rendement d’un portefeuille P12

Chapitre 2 Risque d’un portefeuille et Attitude de l’investisseur face au

risque

P14

I Risque d’un portefeuille P14

1 Mesure du risque P14

2 Risque d’un porte feuille P15

3 Prévision du risque P17

II Critère du choix en situation d’incertitude P17

1 fonction d’utilité / Aversion au risque P19

2 Fonction d’utilité et approche moyenne variance P 20

Chapitre 3 Diversification moyen de réduction du risque d’un portefeuille P 22

I Diversification au niveau de la combinaison des titres P 23

1 Diversification et corrélation P 23

2 Diversification et taille du portefeuille P 27

II Détermination des portefeuilles efficients et construction de la

frontière efficient P 29

1 Présentation du modèle de Markowitz P 30

2 Algorithme de la ligne critique P 37

3 Modèle à indice de Sharpe P 46

Chapitre 4 Introduction de l’actif sans risque P 49 I Définition de l’actif sans risque P 49

II Constitution d’un portefeuille optimal et construction de la frontière

efficiente P 50

III Signification économique du portefeuille du marché P 53

Chapitre 5 Diversification temporelle P 57











































Partie II Application du modèle moyenne variance sur la

BVMT

P60

Chapitre 1 Présentation du marché financier Tunisien P61

I Rôle du marché financier P61

II Organisation du marché financier P61

1 Historique P62

2 Structure du marché financier P63

Chapitre 2 Application du modèle moyenne variance sur la BVMT P67

I Collecte des données P67

II Estimation des rendements et de la matrice variance covariance P68

1 Estimation des rendements P68

2 Estimation de la matrice variance-covariance P70 III Présentation du modèle P70

VI Analyse des résultats P71

1 Résultats mensuels P71

2 Analyse des résultats mensuels P71

3 Résultats annuels P81

4 Analyse des résultats annuels P81

Conclusion P85

Bibliographie P86

Annexes P87

Matrice variance-covariance mensuelle P88

Matrice variance-covariance annuelle P91

































Introduction générale

Au cours des dix dernières années, on a assisté à un renversement des

perspectives au niveau de la gestion de portefeuille. Au lieu de considérer le

portefeuille comme étant une somme d’éléments, c’est le portefeuille lui-même qui

est devenu l’élément de base, les interrelations entre ces composantes prenant autant

d’importance que la qualité intrinsèque de chacune d’entre elles.

La théorie moderne de portefeuille a été la base de ce renversement.

Forgée au début des années cinquante par Harry Markowitz, elle sera reprise,

développée et surtout conduite jusqu’à son application pratique par W.Sharpe et par

d’autres dans la fin des années soixante. C’est pour la première fois que Markowitz

et ses successeurs s’attaquaient à une rationalisation complète de tous les problèmes

de gestion de portefeuille et construisaient une théorie globale où rien apparemment

n’était laissé dans l’ombre.

Partant d’une définition simple et irréfutable de tout investissement : ce qu’on

peut attendre comme rentabilité pondérée par la probabilité que cette attente soit

comblée, la théorie moderne de gestion de portefeuille réussit à ne pas lâcher ce fil

tout au long du chemin qui mène à la construction à tout moment du portefeuille qui

convient le mieux aux objectifs définis à la fois en terme de rentabilité et de sécurité

d’obtenir cette rentabilité.




















Dès le départ donc, sont annoncés les trois passages obligés du métier de

gestion de portefeuille à savoir :

L’obligation de définir, de quantifier même la rentabilité et le risque de

chaque investissement potentiel.

L’obligation de comparer tous ces investissements possibles pour

construire des portefeuilles qui combinent d’une façon optimale les caractéristiques

de leurs composantes (rentabilité optimale, risque minimal)

L’obligation enfin de choisir parmi les portefeuilles possibles celui qui

a la meilleur couple rentabilité-risque tout en convenant aux objectifs de rentabilité-

risque du client.

Ainsi sont définis trois tâches bien distinctes dont on donnera les noms en

anglais :

Security analysis.

Portfolio analysis.

Portfolio selection.

Nous allons dans la première partie de ce mémoire, aborder ces différentes

tâches de leurs points de vue théoriques. En effet nous aborderons le calcul de

r endement d’un titre et d’un portefeuille par la suite quantifier leurs risques et enfin

tr aiter le problème de sélection de portefeuille et la politique de diversification que

peut mener un investisseur afin d’assurer une performance au niveau de sa gestion

d e portefeuille qui sous-entend la conciliation entre l’objectif rendement et

l’objectif risque. Nous parlerons dans ce dernier chapitre de la diversification au

niveau de la combinaison des titres ainsi que de la diversification temporelle.

















Quant à la seconde partie, elle consistera à l’application de toutes les

approches théoriques présentées, notamment celles qui modélisent la diversification

et la sélection de portefeuille efficient, sur le marché boursier tunisien et de dégager

les éventuelles limites à cette application.





Chapitre 1 . Rendement d’un

portefeuille :





I. Rendement d’un titre :

Le taux de rendement d’une action est la mesure de la rentabilité qu’elle a

procurée au cours d’une période donnée.

Lorsque nous parlons de la rentabilité obtenue par un investisseur sur une

action nous nous referons non seulement au dividende net que lui rapporte ce titre

mais aussi à la plus-value éventuelle qu’il en retire.

On peut dégager ces deux composantes du rendement dans le cas où le

dividende aurait été payé à la fin de la période.

Formellement le rendement d’une action se calcule comme suit :

1CD+C =R -1-t

tt t

(1) C

D+CC =R1-t

t1-tt t

-

Avec tC =cours de l’action à la fin de période t.

1-tC =cours de l’action à la fin de période t-1.

tD =le dividende encaissé à la fin de période t.

Le rapport 1-t

1-tt

C CC - représente le taux de la plus-value.

Le rapport 1-t

t

CD

représente le taux de la rentabilité.

La formule (1) suppose implicitement que le dividende est payé le dernier jour de la période t ou que le dividende ne soit réinvesti que ce dernier jour.

1 - t

1 - t t t t C

C D + C = R -





Nous allons dans ce qui suit tenir compte de différents cas particuliers dans le

calcul du rendement d’une action. On procèdera à ce calcul dans les cas suivants :

• La distribution du dividende a eu lieu au cours de la période.

• Echange, regroupement, fractionnement d’actions.

• Attribution gratuite.

• Augmentation de capital.

Le dividende est distribué au cours de la période

Le rendement se calcule de la manière suivante :

(2) 1CC ×

CD+C =R -

xd

t

1-t

txdt

Avec Cxd =cours de l’action après distribution du dividende.

Ainsi on subdivise la période en deux sous périodes, la première part de fin

de t-1 jusqu’au jour du détachement du coupon. On calcule (1+ R t1) pour cette sous

période selon la formule (1). En effet le dividende a été payé à la fin de la première

sous période.

La seconde sous période court du jour du détachement du coupon jusqu’au

dernier jour de la période t. Son rendement sans distribution de dividende se calcule

comme suit :

CC =R+1xd

tt2

L’application de la formule (2) se justifie en supposant que le dividende

distribué à la fin de la première sous période est réinvesti et que ce réinvestissement

se fait sans frais. Le dividende permet ainsi l’achat d’autres actions au cours coté

ex-dividende.

Le nombre des nouvelles actions étant égal au rapport :





xd

t

CD

Echange, fractionnement, regroupement

Dans ces trois cas il s’agit d’un simple échange d’actions anciennes contre

des nouvelles.

Le calcul du rendement à la période t au cours de laquelle l’une de ces trois

opérations a eu lieu n’est pas difficile si on prend correctement en compte le fait

qu’un dividende ait éventuellement été mis en paiement au cours de la même

période .

Soit X= le nombre des actions qu’il faut avoir avant l’opération du capital

considérée (échange, fractionnement ou regroupement) pour en détenir Y après

qu’elle serait intervenue. (Y-X) représente ainsi le nombre d’actions nouvelles.

Le calcul du rendement se fait comme suit :

(3) 1XCYC ×

CD+C =R -

xd

t

1-t

txdt

Si le dividende a été payé avant l’opération considérée.

( )(4) 1

CC ×

XCD+CY

=R -xd

t

1-t

txdt

Si le dividende a été payé après l’opération.

Augmentation du capi tal

Lors de l’augmentation du capital par l’émission de nouvelles actions les

anciens actionnaires ont un droit préférentiel de souscription. Ce droit est

proportionnel au montant des actions détenues. Il permet au anciens actionnaires





d’acheter de nouvelles actions, ce droit est négociable pendant la durée de

souscription.

Formellement le taux de rendement se calcule comme suit :

( )(5) 1

CC ×

XCPE×X-Y-YC

=R -xd

t

1-t

xdt

S’il n’y pas paiement de dividende lors de l’opération d’augmentation du

capital.

( ) (6)1 CC ×C PEX-Y-YC ×C D+C =R -xd

t

xd

xd

1-t

txdt

Si le paiement du dividende précède l’augmentation du capital.

( )(7)1

CC ×

CD+C ×

XCPEX-Y-YC

=R -xd

t

xd

txd

1-t

xdt

Si le paiement du dividende intervient après l’augmentation du capital.

On peut déterminer le taux de rendement des actions sans se référer aux

formules (5), (6) et (7) en supposant que le droit préférentiel de souscription est

affecté à l’achat de nouvelles actions. La valeur des actions détenues à la fin de la

période t rapportée à la valeur des actions détenues au début de la période t (ou à la

fin de la période t-1) représente le rendement obtenu par l’actionnaire.

Attribution gratui te

L’augmentation du capital peut se faire aussi par incorporation des réserves

dans le capital. Ceci permet l’augmentation du nombre des actions émises par

l’entreprise.





Cette augmentation sera répartie entre les actionnaires proportionnellement au

nombre des actions qu’il détenait c’est ce qu’on appelle l’attribution gratuite.

Ainsi, les actionnaires acquièrent de nouvelles actions qui ont les mêmes

caractéristiques en matière de perception de prochains dividendes que celles qu’il

détenait avant la réalisation de l’opération d’attribution gratuite.

Par conséquent le calcul du taux de rendement dans ce cas se fait de la même

manière que dans les formules (3) et (4).

Taux de rendement nominaux et taux de rendement réels

1Tt+1Rt+1 =RR -t

Avec R t=le taux de rendement nominal.

Tt=le taux d’inflation de la période.

Ainsi le taux de rendement réel mesure le rendement perçu par l’investisseur

au- delà de l’inflation.





II. Rendement d’un portefeuille :

1-Définition d’un portefeuille

C’est la combinaison d’un ensemble de titres possédant des caractéristiques

différentes en matière de valeur et de perception de dividendes. Cette combinaison

se fait en des proportions différentes afin d’avoir un portefeuille bien diversifié

permettant de réaliser un rendement espéré bien déterminé tout en minimisant le

risque que peut courir l’investisseur.

Mathématiquement un portefeuille P est un vecteur de proportions Xi

relatives chacune à la proportion du capital investi dans chaque titre.

X

XX

=P

n

i

1

Avectotalcapital

iactif l'dansinvesticapitaldupart =Xi

2-Rendement d’un portefeuille :

∑=

=n

1iiip RXR

C’est la moyenne des rendements des titres constituant le portefeuille

pondérés par leurs proportions dans le portefeuille.

On peut également calculer le rendement d’un portefeuille en se basant sur sa

valeur. Le calcul se fait de la manière suivante :





1-t

1-tt

V V-V =Rp

Avec Vt= valeur du portefeuille à la date t

Vt-1=valeur du portefeuille à la date t-1





Chapitre 2. Risque d’un portefeuilleet attitude de l’investisseur :

I. Risque d’un portefeuille :

1.Mesure de risque :

Les taux de rendements successifs d’une action ou d’un portefeuille peuvent

avoir d’importantes fluctuations autour de leur valeur moyenne.

Pour mesurer ce risque, dont l’origine revient à ces fluctuations, on a recours

à l’écart type ou la variance des rendements par période.

La variance de l’action sur T périodes est :

( )∑=

=σT

1titi,2

i R-RT1

Avec Ri,t= le taux rendement de l’action i au cours de la période t.

Ri= la moyenne arithmétique des taux de rendement.

Si, par ailleurs, on veut connaître le lien qui existe entre les fluctuations des

taux de rendement de deux actions i et j il faut recourir à la covariance.

( )( ) jt, jn

1i

n

1 jit,iij R-RR-R

T1 ∑ ∑σ

= ==

L’interprétation de la covariance est liée à son signe. En effet si la covariance

est positive alors on peut dire que les taux de rendement des actions i et j évoluent

dans le même sens et si la covariance est négative alors les deux taux évoluent dans





deux sens contraires. Enfin si la covariance est nulle alors on conclura qu’il n’y a

aucune relation entre les évolutions des rendements deux titres.

On pourrait aussi définir un troisième concept qui est le coefficient de

corrélation qui s’obtient en rapportant la covariance au produit des écarts type des

taux de rendement des titres i et j.

σσσρ

ji

ij

ij =

Ce coefficient est compris entre –1 et 1.

Si le coefficient de corrélation est positif alors les taux de rendements des

actifs i et j ont tendance à évoluer dans le même sens et plusρ

ij se rapproche de 1

plus les variations de deux variables deviennent proportionnelles. Et siρ

ij est

négatif alors les deux variables ont tendance à varier dans un sens opposé. Plus ce

coefficient se rapproche de –1 plus leurs variations en valeur absolue deviennent

proportionnelles. En fin, une corrélation nulle indique qu’il n’y a pas de relation

entre les taux de rendements des titres considérés.

2. Risque d’un portefeuille :

Nous avons présenté la technique utilisée pour la mesure du risque d’un titre.

Dans cette partie on va s’intéresser au risque total du portefeuille. Pour un

portefeuille qui se compose de N titres, son taux de rendement dépendra à la fois

des taux rendements des différents titres et aussi de leurs différentes proportions.

Ainsi :





∑=

=N

1iiiRXRp

Alors :

)E(RX)Rp(EN

1iii∑

==

et : σσσσ +++= 1NN1122121

21

2p XXXXX σσσ ++++ 2NN2

222112

2

2 XXXXX

2

NN22NN11N

2

NXXXXX σσσ ++++

σσρ∑ ∑σ= =

= ji ji ji

N

1i

N

1 j

2p XX

On peut aussi obtenir :

σσρ∑ ∑σ = == ji ji ji

N

1i

N

1 j

2

p XX

Cette dernière expression de la variance renseigne sur le lien étroit entre le

risque du portefeuille et la corrélation existant entre les rendements des titres le

constituant.

Par ailleurs on peut définir un autre concept qui est la contribution d’un titre

au risque du portefeuille. En effet la variance peut s’écrire :

1NN1ii2111

2p XXXX σσσσ ++++=

iNN2iii11i XXXX σσσ ++++

2NNNiiN11N XXXX σσσ +++++





La contribution du titre i dans le risque est alors :


C’est la contribution absolue, elle dépend de trois facteurs :

La variance de son rendement

La covariance du titre avec les autres titres

La proportion du titre dans le portefeuille

Donc, lors de son choix du portefeuille, l’investisseur doit prendre en compte

ces trois facteurs pour bien gérer son risque.

3. Prévision du risque :

Au moment d’acheter un titre, d’investir sur un marché en constituant un

portefeuille, l’investisseur voudrait mesurer le risque ex-ante. Or la variance ne peut

être calculée que sur des fluctuations passées du taux de rendement.

Toutefois les études menées, notamment par Blume, Altman, et Pogue ont

montré empiriquement que la volatilité des variations des cours d’actions ou des

porte-Feuilles est relativement stable. On peut donc utiliser les données historiques

(ou ex poste ) pour apprécier le risque futur des actions.

II. Critère de choix en situation d’incertitude :

Etant donné que l’investisseur opère son choix en matière de placement en

actions en situation d’incertitude, celui-ci ne va pas se contenter seulement au

critère « maximisation de l’espérance de gain ».

En effet l’attitude de l’investisseur face au risque va avoir un poids très

important dans la décision de la construction d’un portefeuille d’actifs financiers.





Cette attitude est matérialisée par sa fonction d’utilité. Cette dernière permet

de définir le comportement de l’investisseur dans une situation d’incertitude et par

conséquent son attitude face au risque.

L’importance du critère de l’utilité, s’est révélée après la constatation de ce

qu’on appelle « le paradoxe de Petersbourg » exposé par Daniel Bernouilli dans son

« Speciemen Theoriae Novae de Mensura Sortis 1738 » qu’on peut illustrer par

l’exemple suivant :

Un mendiant ne possède rien d’autre qu’un billet de loterie offrant une chance

sur deux d’un gain de 20000 ducats. Averti de la chose, un riche marchand dePetersbourg propose au mendiant de lui acheter son billet pou la somme de 4000

ducats. Le mendiant a accepté immédiatement le marché.

Au vu le critère de décision « maximisation de l’espérance du gain » le

comportement du mendiant s’avère irrationnel. Le tableau suivant récapitule la

situation à laquelle se présente le mendiant :

Etats de nature

alternatives

Le billet est

gagnant p=0.5

Le billet est

perdant p=0.5

Espérance

mathématique du

gain

Garder le billet 20000 0 10000

Vendre le billet 4000 4000 4000

Ce mendiant dont les moindres besoins vitaux ne sont pas satisfaits va

accorder beaucoup d’importance à la proposition de ce riche. En effet les 4000

ducats vont lui permettre de satisfaire ses besoins les plus urgents. Par conséquent

cette somme d’argent aura une utilité supérieure à celle que la loterie pourrait lui

procurer.

Par conséquent, on peut en conclure que le critère de maximisation du gain

espéré dans ce genre de situation ne peut constituer à lui seul la base sur laquelle on





peut fonder notre décision. Il faut donc déterminer un autre critère qui tient compte

de cette notion de risque à savoir « la maximisation de l’utilité espérée »

1. Fonction d’utilité /aversion au risque :

Le théorème de l’utilité espéré énoncé par Von Neumann et Morgenstern

(1944) postule que : « Confronté à un ensemble d’alternatives dont les résultats sont

aléatoires l’individu choisira celle dont l’utilité espérée est la plus élevée ».

La fonction d’utilité traduit le comportement de l’investisseur face au risque.

La construction de la fonction d’utilité d’un investisseur se base sur deux

hypothèses fondamentales qui sont :

• L’utilité marginale de la richesse est toujours positive de sorte que l’utilité

est fonction monotone croissante de la richesse.

( )RRU

δδ

>0

Avec R=richesse obtenue par l’investisseur.

• Dans toutes leurs prise de décision les agents économiques préfèrent

toujours une utilité supérieure à une utilité moindre (postulat de rationalité).

La construction de la fonction d’utilité est un peu délicate et la technique la

plus utilisée est celle des « paris de référence » qui consiste à estimer la fonction par

points.

Ainsi on peut avoir deux types de fonctions d’utilité selon l’attitude de

l’investisseur face au risque.

Individu non-averse au risque :





La courbe d’utilité d’un tel individu présente sa concavité vers le haut .

0R

U(R)2>

δδ

En effet plus cet individu s’enrichit plus il accorde de l’utilité à une unité

supplémentaire de richesse. En d’autre terme son utilité marginale de richesse est

croissante.

Individu averse au risque :

La courbe d’utilité d’un tel individu présente sa concavité vers le bas

R

U(R)2

δδ <0

En effet plus cet individu s’enrichit moins il accorde de l’utilité à une unité

supplémentaire de richesse. En d’autre terme son utilité marginale de richesse est

décroissante.

2. Fonction d’utilité et approche moyenne-variance :

Etant donné qu’on s’est basé sur l’approche « moyenne-variance » pour

arriver à modéliser la théorie de gestion de portefeuille et déterminer en fin de

démarche la méthode permettant la constitution d’un portefeuille optimal c’est à

dire un portefeuille qui minimise le risque pour un niveau de rendement donné, on

doit tracer les courbes d’indifférence relatives à chaque fonction d’utilité et dont

leur équation sera le risque d’un portefeuille fonction de son rendement.

Si on suppose que la fonction quadratique est la plus adaptée au

comportement des investisseurs averses au risque, on peut alors tracer les courbes

d’indifférence qu’y sont relatives en procédant ainsi :

( ) Rc-RbaRU 2 +=





( )[ ] 22 )R(Ec-)R(c-E(R)baRUE σ+=

)()()( RERRE222 += σ

( )[ ] ( ) 22 )R(E-REcb

cRUE-a

)R( +=σ

Les courbes d’indifférences relatives à cette fonction d’utilité s’expriment en

fonction de :

)R(2

σ et E(R)

( ) 22 )R(E-REcb K)R( +=σ

( )[ ]cRUE-a

K =

Toutefois il faut noter la limite de l’application d’une telle fonction pour

décrire une telle attitude face au risque puisque l’utilité marginale dans ce cas n’est

négative que si : [ ]2cb,-R ∞∈





Chapitre 3. La diversification :

moyen de réduction risque d’un

portefeuille :

Nous avons examiné dans les deux chapitres précédents les deux

caractéristiques fondamentales d’un titre ou d’un portefeuille à savoir le rendement

et le risque. Ainsi à tout titre ou portefeuille de rendement espéré bien déterminé est

associé un risque qui est représenté par la volatilité de son rendement autour de sa

valeur espérée.

Par conséquent l’objectif de tout investisseur est d’arriver à constituer un

portefeuille qui lui permet de réaliser un rendement espéré bien déterminé tout en

minimisant le risque qui lui est associé.

La question est alors si ce dernier doit répartir son capital sur plusieurs titres

ou au contraire se concentrer sur un titre bien déterminé qu’il juge le moins risqué

sur le marché. Ceci étant puisque comme on l’a vu chaque titre du portefeuille

contribue au risque de celui ci.

Ce dernier chapitre va alors montrer à quel point une politique de

diversification permet à l’investisseur de concilier les deux objectifs fondamentaux

d’un investissement à savoir :

Assurer un rendement espéré bien déterminé.

Minimiser le risque qui lui est associé.

Nous allons par conséquent aborder dans une première partie la relation entre

diversification et corrélation, puis dans une seconde la relation entre la taille d’un

portefeuille et la diversification. Enfin nous allons présenter les outils

mathématiques qui permettront la construction d’un portefeuille efficient (diversifié

du point de vue combinaison de titres) à savoir le modèle de Markowitz (1952),





l’algorithme de la ligne critique et le modèle à indice de Sharpe, puis présenter le

concept de la diversification temporelle.

I. Diversification au niveau de la combinaison des titres :

Markowitz a parlé du concept de la diversification comme : « une atténuation

du risque par la combinaison au sein du portefeuille de plusieurs actifs financiers ».

En effet la diversification efficiente est liée a deux motivations qui concernent

l’investisseur à savoir la recherche d’une rentabilité maximale et la réduction du

risque total du portefeuille.

1-Diversification et corrélation :

On a déjà montré que la contribution d’un titre au niveau du risque d’un

portefeuille dépend non seulement du risque propre au titre mais aussi de la

corrélation qui existe entre ce titre et les autres titres constituant le même

portefeuille. En effet la contribution d’un titre i est égale :


On va illustrer la relation entre diversification et corrélation par les deux

exemples suivants :

1er

exemple :

Considérons deux titres A et B qui constitue un portefeuille P avec les mêmes

proportions (XA=XB=0.5). les deux titres A et B ont les caractéristiques suivantes :

EA=0.15 EB=0.15

σA=0.05 σB=0.05 Année Universitaire 2000/2001 Page 24




Le rendement espéré du portefeuille sera constant quelque soit la corrélation

entre les titres A et B puisqu’on garde la même combinaison : E(Rp)=0.5

Par contre le risque de ce portefeuille dépendra de la corrélation entre les

deux titres.

Ainsi pour 1 AB =ρ

0.00180.5XX2XX B AB A2B

2B

2 A

2 A

2p =++= ×σσσσσ

Le risque relatif au portefeuille est le même que celui de chaque titre par

conséquent la diversification est inutile puisqu’elle ne représente à l’investisseur

aucun intérêt. Ce dernier peut se concentrer sur un seul titre que ce soit A ou B et

avoir le même rendement avec le même risque.

Si 0.5 AB =ρ

01B AB A2 -XXXX2B

2B

2 A

2 A

2p =×++= σσσσσ

Ici la corrélation a diminué et a engendré la diminution de la variance du

portefeuille et par la suite la réduction de son risque.

Cet effet est plus perçu si 0 AB =ρ c’est à dire si les titres A et B sont

totalement indépendants.

Si 0.5- AB =ρ

0.001250.5B AB A2 -XXXX2B

2B

2 A

2 A


Pour une corrélation négative l’effet de la diversification sur la réduction du

risque est perçu davantage





Enfin, si 1- AB =ρ

01B AB A2 -XXXX2B

2B

2 A

2 A


La diversification permet ici d’éliminer totalement le risque.

Cet exemple permet de mettre en évidence l’effet de la corrélation entre les

titres constituant un portefeuille sur le risque de ce dernier. En effet, plus la

corrélation entre les titres tend vers –1 plus la diversification joue son rôle

d’atténuation du risque. Elle tend même à l’éliminer totalement si la corrélation

entre les titres est parfaitement négative.

2ème

exemple :

Dans cet exemple nous allons mettre en évidence l’effet de la corrélation

entre deux titres A et B qui diffèrent de point de vue espérance et écart type sur le

risque du portefeuille qu’ils constituent tout en changeant à chaque fois leurs

proportions.

Soit les titres A et B avec les caractéristiques suivantes :

EA=0.10 EB=0.20

σA=0.05 σB=0.09

On va supposer à chaque fois une corrélation bien déterminée entre les deux

titres et calculer le risque et le rendement du portefeuille relatif à une combinaison

donnée.

Tous calculs faits les deux tableaux suivants nous donnent les espérances des

portefeuilles pour chaque combinaison et les écarts type relatifs.





Portefeuille XA XB Espérance du rendement du portefeuille

1 0 1 0.2

2 0.1 0.9 0.19

3 0.2 0.8 0.18

4 0.3 0.7 0.17

5 0.4 0.6 0.16

6 0.5 0.5 0.15

7 0.6 0.4 0.14

8 0.7 0.3 0.13

9 0.8 0.2 0.12

10 0.9 0.1 0.11

11 1 0 0.1

Portefeuille ρAB=1 ρAB=0.5 ρAB=0 ρAB=-0.5 ρAB=-1

1 0.09000 0.09000 0.09000 0.09000 0.09000

2 0.08600 0.08361 0.08115 0.07862 0.07600

3 0.08200 0.07749 0.07269 0.06756 0.06200

4 0.07800 0.07169 0.06476 0.05700 0.04800

5 0.07400 0.06630 0.05758 0.04729 0.03400

6 0.07000 0.06144 0.05148 0.03905 0.02000

7 0.06600 0.05724 0.04686 0.03341 0.00600

8 0.06200 0.05384 0.04420 0.03176 0.00800

9 0.05800 0.05142 0.04386 0.03470 0.02200

10 0.05400 0.05011 0.04589 0.04124 0.0360011 0.05000 0.05000 0.05000 0.05000 0.05000





Le graphique suivant permet de récapituler les deux tableaux ci dessous. Il

met en relation l’écart type du portefeuille et son rendement espéré.

Evolution du rendement espéré d'un

portefeuille selon l 'écart type pour des niveaux

de corrélation différents

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.00000 0.05000 0.10000Risque d'un portefeuille

r e n d e m e n t d ' u n

p o r t e f e u i l l e ρAB=1

ρAB=0.5

ρAB=0

ρAB=-0.5

ρAB=-1

Les deux exemples mettent en valeur le lien étroit entre diversification et

corrélation. En effet pour mener une politique de diversification efficiente

l’investisseur doit combiner dans son portefeuille les titres qui sont les moins

corrélés voir même ceux qui sont parfaitement corrélés négativement.

2-Diversification et taille du portefeuille :

Après avoir analysé l’impact de la corrélation existante entre les titres sur le

risque d’un portefeuille, la question qui se pose est alors de déterminer le nombre

optimal de titres à introduire dans un portefeuille afin d’aboutir à une diversification





efficiente. On suppose ici implicitement qu’à toute politique de diversification il

existe une limite.

La démarche suivante permet d’expliciter cette limite :

Supposons qu’on a un portefeuille composé équiproportionnellement de N

titres.

Soit var =variance moyenne de différents titres.

cov =covariance maximale qui peut exister entre deux titres différents.

On a alors

covN1N var

N1 -2

p +=σ

cov alorsN Si 2p→+∞→ σ

Ceci constitue la limite concrète d’une politique de diversification. Les études

empiriques qui ont été menées à ce propos notamment par Evans et Archer (1968),

Wagner et Lau (1971) sur le marché américain et Pogue et Solnik (1974) pour le

marché français et Solnik pour les marchés de la Grande Bretagne, la France, la

Belgique et les Pays Bas ont montré une limite d’une vingtaine de titres.

Par conséquent l’introduction d’un titre supplémentaire au delà des vingt

titres sera sans aucun intérêt pour l’investisseur vu que le gain rapporté par ce

dernier titre ne couvrira pas les coûts de transaction que cet investisseur aurait a

supporter.





II. Détermination des portefeuilles efficients et, construction de la

frontière efficiente

Jusqu’à présent, on a traité les avantages de la diversification dans la

constitution d’un portefeuille. En effet, nous avons montré l’impact de la taille de

portefeuille ainsi de la covariance existante entre les titres le composant sur le

risque de ce dernier.

De ceci, on a pu tirer 2 règles de gestion de portefeuilles qui sont :

- constituer un portefeuille d’une vingtaine de titres

- choisir des titres qui sont peu corrélés

Or, notre but est d’aboutir à une diversification efficiente c’est-à-dire arriver à

construire un portefeuille optimal de point de vue risque et rendement. L’optimalité

réside donc dans la minimisation du risque pour un rendement fixé de ce dernier ou

la maximisation du rendement pour un risque donné.

Or, par le suivi des deux règles annoncées ci-dessus, on n’aboutira pas

certainement à une diversification efficiente.

On va alors dans ce chapitre, présenter quelques méthodes de calcul amenant

à une diversification et qui sont tous inspirés des travaux de Markowitz.





1- Présentation du modèle de Markowitz : Analyse moyenne-variance

Lorsqu’on n’impose aucune contrainte de type inégalité sur les proportions à

investir dans chaque titre, le problème consiste à déterminer les proportions à

investir dans chaque titre pour minimiser le risque du portefeuille.

Il faut tout d’abord présenter toutes les hypothèses sur lesquelles Markowitz a

basé son modèle.

Ces hypothèses sont de deux types : celles relatives aux actifs financiers et

celles relatives au comportement des investisseurs.

• Hypothèses relatives aux actifs financiers :

H1 : Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque :

le return d’un actif financier pour toute période future est par conséquent une

variable aléatoire dont on fait l’hypothèse qu’elle est distribuée selon la loi

normale : c’est-à-dire une distribution symétrique et stable entièrement définie par

)~( iRE et )

~( iRσ .

La distribution peut être objective c’est-à-dire basée sur les fréquences

relatives des returns observés dans le passé comme elle peut être subjective.

H2 : Les returns des différents actifs ne sont pas indépendants les uns des

autres c’est-à-dire que leurs covariances ne sont pas nulles : 0≠)~

,

~

( iiRRCov .

• Hypothèses relatives au comportement des investisseurs :

H3 : Le comportement des investisseurs est caractérisé par un degré plus ou

moins prononcé d’aversion au risque.

H4 : Les investisseurs sont rationnels : ils opèrent leurs choix en se basant sur

leurs fonctions d’utilité bien qu’elles soient subjectives.





H5 : L’horizon de décision est le même pour tous les investisseurs : Il s’agit

d’une seule période.

• Formalisation du modèle :

Etant donné la définition de l’efficience qu’on a déjà annoncé dans

l’introduction de ce chapitre ; le problème de gestion de portefeuille se présente

ainsi :

La fonction objective s’écrit :

ij jip xx)R(Var Min σ= ∑∑

sous les contraintes : ∑ == *ii E)E(Rx)(E pR

1 =∑ ix

Pour résoudre ce problème, on s’appuiera sur la technique du multiplicateur de

Lagrange :

( ) ( )∑∑∑∑ ++= 1-*-)(£ 22

iiiij ji x E R E x x x λ λ σ

La détermination des proportions optimales à investir dans chaque actif pour

réaliser un rendement E* déterminé se fait par l’annulation des dérivées partielles

de la fonction £ par rapport aux différents xi ainsi que 1λ et 2λ ce qui nous donne

un système de N+2 équations linéaires à N+2 inconnues.

( ) 0R Ex2x2x2£ 211nn1221111

=+++++=∂∂ λ λ σ σ σ x

( ) 0RnEx2x2x12£ 2nnnn22n1 =+++++=∂∂ λ λ σ σ σ n x

( ) ( ) ( ) 0*E- R ExR ExR Ex£ nn2211

1

=+++=∂

∂

λ





01-xxx£ n212

=+++=∂∂ λ

Ce système à N+2 équations peut se formaliser matriciellement comme suit :

CX = K

Avec :

( )

( )( ) ( ) ( )

σσσ

σσσ

=

00111

00RERERE1RnE222

1 RE2 22

Cn21 nn 2n 1n

1 n1 12 11

=

21n

1

x

x

λ λ

x

=

1*

00

E

K

Ainsi le portefeuille optimal représenté par le vecteur X* s’écrit :

X* = C-1 K

Ce portefeuille est efficient puisqu’il réalise le rendement E* fixé tout en

minimisant le risque qui y est relatif.

• Construction de la frontière efficiente :

La valeur X* ainsi déterminée, représente le portefeuille optimal qu’il faut en

investir pour utiliser le rendement E*.

En considérant successivement différentes valeurs de E*, on aura autant de

portefeuilles optimaux caractérisés par un rendement E* et un risque matérialisé par

la variance du portefeuille2*2

R 2

σ σ =

p





L’ensemble de ces portefeuilles permet de construire la frontière efficiente.

Cette dernière met en relation le rendement espéré et le risque minimal qui lui

est associé.

Ainsi, l’investisseur doit choisir un portefeuille dont les caractéristiques E* et

σ * appartiennent à la frontière efficiente. Par conséquent, il doit déterminer un

niveau de rendement espéré et accepter le risque qui lui est associé ou bien fixer un

risque minimum et accepter le rendement espéré qui lui est associé.

• Détermination analytique de la frontière efficiente :

Le problème d’investissement peut s’écrire de la façon suivante :

Min X’VX

Sous contrainte : DX = d

Avec :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

=

nn

n

n

RVar R R R R RVar R R R R RVar

Y 1

2

1211

;Cov;2Cov;Cov ;Cov

=

n

x

x

x

1

;

=

'

' U

M D ;

=

)(

)1(

Rn E

R E

D ;

=

1

1

U ;

=

1

*E d

En effet, la contrainte : ∑ xi Ei = E*

S’écrit : M’X = E*

Et la contrainte ∑ Xi = 1

s'écrit : U’X = 1





Le portefeuille optimal s’obtient alors comme suit :

X* = V-1

D-1

(DV-1

D’)d

Var (R p) = X*’ V X*

= [ V-1 D’ (DV-1 D’)-1 d]’ VX-1 D’ (DV-1 D’)-1 d

= d (DV-1

D’) –1

d

or comme on l’a déjà explicité :

=

1

*E d ;

=

'

'

U

M D

L’équation de la frontière efficiente est la suivante :

222

2

b-ac

a *E

b-ac

2b -*E

b-ac

c += pσ

avec a = M’V-1M

b = M’V-1

U

c = U’V-1

U

Cette équation n’est autre que celle d’une parabole

b/c

2 pσ

E*





1/c

• Détermination du sommet de la parabole :

Soit E* = x

Soit2 pσ = y

Le point S sommet de la parabole s’obtient en annulant la dérivée dy par

rapport à x :

0

b-ac

2b -

b-ac

2c 022

=⇒=

∂

∂ x

x

y

c b *x =⇒

( ) ( ) ( )22

2

2

2 2b -

c b *

bac

acb

bacbac

ccb

cb x y

-+

--=∂==

22

2

2

2

2

-

bac

a

cbac

b

cbac

b

-

+

-

-

=

2

2

22

cbac

acbb

-

+-=

2

2

cbac

bac

-

-=

c1 =

La parabole ne représente pas en totalité la frontière efficiente étant donné

que la partie inférieure est dominée par la partie supérieure puisque les portefeuilles

appartenant à cette dernière pour un risque égal à ceux de la partie inférieure

permettant de réaliser un rendement plus élevé.

Revenons à la formule de X*(E*) :

X*(E*)’ = V-1

D’ (DV-1

D’)-1

d





[ ]

=1

*E

UVU'MVU'

UVM' MMV U,MV(E*)*X

1-1-

1-1-

1-

=⇒

1

*E

a b

b- c UV,MV

b-ac

1 (E*)*X1-1-

2

=⇒

* bE-a

b- *cE UV,MV

b-ac

1 (E*)*X1-1-

2

UV

b-ac

* bE-a MV

b-ac

b-*cE (E*)*X1-

2

1-

2 +=⇒

Par suite XsUV

b-ac

c b b-a

MV

b-ac

b-c

bc )

c b(*X

1-

2

1-

2 =+=

UV

c b-ac

b-a MV

b-ac

b- b Xs1-

2

21-

2

+=⇒

UVc1 Xs

1-=⇒

Posons ( )

α

bac

c* bE-a

2 =

-

c

UV +

b

MV )-(1=(E*)*X

-1-1

αα

Xs+Xp)-(1=(E*)*X αα

Sous cette forme, un portefeuille optimal s’exprime comme combinaison de 2

portefeuilles :





bMV

Xp

1-

=

et cUV Xs

1-

=

Ainsi, tout investisseur est alors amené à faire un certain dosage de risque

minimum puisqu’il choisira une proportion α du portefeuille à risque minimum Xs.

Ce dosage dépendra du niveau du rendement à réaliser.

Cette dernière relation permet ainsi de fixer la condition de l’efficience d’un

portefeuille, puisque tout portefeuille optimal doit avoir un rendement supérieur à cb

et leurs coordonnées E* et σ 2 doivent vérifier l’équation de la frontière efficiente.

2-Algorithme de la ligne critique :

Cet algorithme a été développé par Markowitz et ce pour arriver à déterminer

un portefeuille optimal en cas de l’existence de contraintes de type inégalité qui

délimitent le champ de variation des proportions xi.

Dans ce qui suit nous allons nous inspirer de la présentation qu’a fait Sharpe

(1970) de cet algorithme.

L’algorithme de la ligne critique a traité le problème de choix de portefeuille

d’une autre façon.

La présentation du problème d’investissement a été plutôt géométrique. En

effet :

Considérons une frontière efficiente en un de ses points.

Au point correspond une tangente. La pente de celle-ci est la plus élevée qu’il

soit possible d’atteindre.





L’équation de cette tangente est :

E2

λ α σ += pf

Dire qu’il s’agit de la tangente à pente la plus élevée revient à dire qu’il s’agit

de la tangente pour laquelle α est le plus faible possible.

Or E-2

λ σ α pf

=

Par suite, la fonction objective devient :

Minimiser E-2

λ σ α pf

= et le portefeuille efficient correspondant à une

valeur particulière de λ est celui par lequel ses proportions xi minimisent la

fonction qu’on vient d’expliciter ci-dessus.

On obtiendra alors la frontière efficiente durant toutes les valeurs possibles de

λ .

La valeur de λ pente de la tangente représente le taux d’échange, ou

économiquement dit le taux de substitution entre l’espérance et la variance du return

pour l’investisseur qui choisira un portefeuille situé sur le point de tangence entre la

droite : E

2

λ α σ += pf Et la frontière efficiente. Une valeur infinie de λ signifie que

l’investisseur n’accorde aucune importance à la variance et se préoccupe

uniquement à l’espérance de rendement.

Une valeur nulle de, présente uniquement la signification inverse. On peut

formaliser.

Ainsi, le problème de choix de portefeuille se présent de la manière suivante :





Minimiser ∑ ∑∑+ ij xj xi Ri E xi σ λ )(

Avec la contrainte : ∑=

= N

i xi1

1

Et ceci pour toutes les valeurs de λ comprises entre ∞+ et 0.

• Détermination d’un portefeuille efficient en l’absence de contrainte de type

inégalité.

Tout portefeuille qui minimise la fonction objectif pour une valeur donnée de

λ est un portefeuille efficient.

Ainsi, déterminer les proportions xi revient à annuler la dérivée de la fonction

objectif par rapport à ceux-ci.

[ ]∑∑ ∑∑ ++= 1-xiijxjxiE(Ri)xi-£ γ σ λ

0x2x21-£ 1111 1N N =++++=∂∂ γ σ σ λ E x

1x2x2-£ 11 NN N

=++++=∂∂ γ σ σ λ

N n En

x

=∂∂ £σ x1 + x2 + ……………. XN – 1 = 0

Sous forme matricielle on peut alors l’écrire :

CX = K + λ E

On obtient alors le portefeuille efficient correspondant à une valeur

particulière de λ .

*XVX*'2 = pf σ





[ ] [ ]

= ++ EK

'

EK1-1-

CVC λ λ

Déterminations des portefeuilles efficients avec les contraintes de type

inégalité :

Le plus souvent on impose aux proportions xi des contraintes de type

inégalité telle que par exemple d’imposer une proportion d’être positive ou de

limiter par deux bornes et d’exiger qu’elle appartienne au champ de variation

délimité par ces deux bornes.

si xiii β β ≤≤

où ii β constitue la borne inférieure de xi

Et si β constitue la borne supérieure de xi.

La solution déterminée comportera des proportions de xi de 3 catégories :

- Des proportions qui ont le statut down : C’est à dire que leurs valeurs

des xi seront égales à leurs bornes inférieures.

- Des proportions qui ont le statut in : c’est-à-dire que leurs valeurs de xi

appartiennent aux champs de variation définis.

- Des proportions qui ont le statut up : C’est-à-dire que leurs valeurs

atteindront leurs bornes supérieures.

On peut alors illustrer ce qu’on vient d’annoncer par les graphiques suivants :

ii β si β

Xi « Statut in »£

1





- Dans le graphique 2 la valeur pour laquelle 0£ =∂∂i x

est en dehors du

champ de variation de xi ( β à gauche de ii β ). Cette proportion xi a lors un statut

down et 0£ >∂∂i x

.

- Dans le graphique 3, la valeur pour laquelle 0£ =

∂

∂

i x

est supérieure à si β

par conséquent xi sera égal à si β et elle a alors un statut up 0£ <∂∂i x

.

ii β si β

Xi « Statut down »£

2

ii β si β

Xi « Statut up »£

3





Ceci nous amène à déterminer les conditions pour lesquelles une proportion

xi soit optimale et appartienne par conséquent à la solution optimale.

- Pour une proportion qui a un statut down, ii xi β = et 0£ >∂

∂i x

- Pour une proportion qui a un statut in, si xiii β β ≤≤ et 0£ =∂∂

i x

- Pour une proportion qui a un statut up, si xi β = et 0£ <∂∂i x

Recherche d’une solution :

Supposons qu’on veuille résoudre le problème d’optimisation pour une valeur

particulière 'λ de λ et qu’on connaisse le statut des différentes variables xi. LE

système d’équation de Lagrange qu’on a instauré subira des modifications en

fonction des statuts des différentes variables xi.

En effet, si :

- xi possède un statut in alors la ième

ligne restera la même puisque

i x∂∂£ est toujours nulle.

- xi possède un statut down alors dans la ième

on doit changer i x∂

∂£ =0 par

ii xi β = .

- enfin, si xi a un statut up alors dans la ième

ligne on doit changer i x∂

∂£ = 0

par si xi β =

Par conséquent, la matrice c ainsi que les vecteurs x et E devront être

évidemment modifiés pour tenir compte de ces changements.

La solution trouvée après transformation devra vérifier :

0£ <∂∂ xi pour un xi de statut up.





0£ =∂∂ xi

pour un xi de statut in.

0£ >∂∂ xi

pour un xi de statut down.

et sera de la forme suivante :

ii β = xi pour tout titre i = down

xi = Ai + aiλ pour un titre i = in

si xi β = pour un titre i = up.

Ainsi en plaçant λ par λ ’, on obtient la solution relative particulière de λ .

• Changement de statut de variable et λ critique

En changeant la valeur de la variable λ deux cas sont envisageables :

- La première est que toutes les variables xi gardent le même statut,

ainsi, déterminer la solution optimale pour la nouvelle variable de λ revient à

remplacer λ dans les équations relatives aux différentes proportions xi.

- Le deuxième cas est que cette nouvelle variable de λ changera le statut

des variables xi. Dans ce cas on doit tenir compte et de modifier la matrice c et E

pour déterminer la solution adéquate aux nouveaux statuts.

Par conséquent, on doit à chaque fois, déterminer les λ critiques (λ c)

relatives à chaque variable xi qui, en appliquant des λ inférieurs à celle-ci, on

changera le statut de la variable xi.

Ainsi pour une variable qui a un statut down ou up pour un λ donné, λ c y est

relatif se calcule de la façon suivante : elle est égale à celle qui annulei x∂

∂£

puisqu'elle deviendra ainsi à statut in.





Donci x∂

∂£ ⇒= 0 λ ci

Pour une variable qui avait un statut in, le changement sera ou bien dans le

sens d’un statut up ou dans le sens d’un statut down.

Le sens de changement dépendra de la valeur de a i puisque l’équation de x i

sera xi = Ai + ai

- Si ai est négatif, la variable xi a tendance d’atteindre

ii β puisqu'on doit noter que α diminuera au fur et à mesure. Par conséquent :

ai

Ai-ii β

λ =ci

- Si au contraire ai est positif, la variable x i a tendance à atteindre

si β .

ai

Ai-si β

λ =ci

Ces valeurs critiques relatives à chaque variable x i permet d’apporter un

jugement sur la validité de la solution calculée pour l’ancienne valeur de λ . Ainsi,

cette solution admissible lorsque λ sera égale à la plus grande valeur des λ c.

Pour cette valeur particulière de λ c on peut déterminer une solution

particulière qui y est relative et qu’on caractérisera de solution de coin.

• Déroulement de l’algorithme de la ligne critique :

Notre objectif est de déterminer les portefeuilles efficients relatifs à chaque

valeur de. Celle-ci varie de ∞+ à zéro.





Si la valeur de λ est égale à l’infini, comme on l’a déjà annoncé

précédemment, l’investisseur ne se préoccupera que du rendement espéré. Par

conséquent, il va investir tout son avoir dans le titre le plus élevé.

Ce comportement rationnel va caractériser chaque variable x i par un statut de

départ qui n’est autre que :

- Le titre qui a le rendement espéré le plus élevé aura un statut in.

- Les autres titres auront un statut down.

- On devra alors apporter les changements adaptés à cette situation

et calculer ainsi les différentes proportions x i.

La solution trouvée cessera d’être admissible pour λ c la plus élevée de toutes

les variables xi, on aura ainsi pour cette valeur de λ un portefeuille coin.

On changera par la suite la valeur de λ et on adaptera la matrice c, K et E à

ce changement et on calcule de nouveau une solution relative à la nouvelle situation

qu’on étudiera l’admissibilité par les λ c des différentes proportions x i.

On cessera lorsque la solution demeurera valable ou admissible jusqu’à une

valeur de λ = 0.

Ceci nous amène à construire les portefeuilles coins pour chaque valeur

critique de λ .

⇒ Ainsi par l’intermédiaire de l’application de cet algorithme, on arrive à

déterminer les portefeuilles efficients relatifs à chaque valeur de λ tout en tenant

compte de différentes contraires de type inégalité imposées aux variables x i telle

que la non vente à découvert de titre en imposant des valeurs positives des

différentes proportions.

⇒ Mais on constate qu’à chaque changement de λ critique, on doit adapterles matrices c, K et E et inverser c ce qui demande un temps non négligeable, de





plus, il faut estimer tous les paramètres de c. Le modèle à indice de sharpe a permis

de remédier à ce problème.

3-Modèle à indice de sharpe :

Afin de remédier au problème de calcul des différents paramètres de la

matrice c et l’inversion de la matrice c, le modèle à simple indice de sharpe a

relié le rendement de chaque titre à celui d’un indice général du marché.

R jt = ai + bi R I,t + ejt

Où R jt est le return du titre j au cours de la période t

R it est le return de l’indice I au cours de la période t.

e jt est un terme aléatoire qui respecte les hypothèses classiques de

l’analyse de régression.

Le return du portefeuille s’écrit :

R pf = X1 a1 + X2 a2 +………+ Xn an + R I,t (X1 b1 + X2 b2 + ……+ Xn

bn) +X1 e1t +……………..+ Xn ent

Si on suppose que X N+1 = X1 b1 + X2 b2 + ……+ Xn bn

R pf,t devient : X1 a1 + X2 a2 +…..+ Xn an + Xn+1 R 1,t + x1e1t + …… + xnent

2

t pf, R E = : X1 a1 + X2 a2 +…..+ Xn an + Xn+1 EI

t pf,

RVar =2

e1

2

1

X σ +2

e2

2

2

X σ +……… +2

e

2X σ

n

+2

I

2

1

X σ

+n





Recherche de portefeuille efficient :

La fonction objectif est la même que celle de l’algorithme de la ligne

critique : -λ E pf +

2

pf σ

Les contraintes sont : ∑=

= N

i xi1

1

De plus, il faut imposer que X N+1 = X1 b1 + X2 b2 + ……+ Xn bn

Les deux contraintes peuvent être combinées comme suit :

On a : Xn = 1 - X1 + X2 + ……+ Xn-1

Xn+1 = X1 b1 + X2 b2 + ……+ Xn-1 bn-1 + bn - X1 b1 - ……- Xn-1 bn-1

La fonction objective devient alors :

£ = -λ E pf +2

pf σ + γ [X1(b1 – bn)+ X2(b2 – bn)+ ……+ Xn-1(bn-1 – bn)+ b N-

Xn+1]

En supposant que toutes les variables x i ont un statut in, en annulant les

dérivées de £ par rapport aux x1, ……….xn, xn+1 et γ , on arrive au système

d’équations suivant :

( )ne bb xa x

-++=∂∂

12111

1 2-£ γ σ λ

( )ne bb xa x

-++=∂∂

22222

2 2-£ γ σ λ

( )nnennn

n

bb xa

x

-++=

∂

∂----

-

12

111

1

2-£ γ σ λ





02-£ 2 =+=∂∂

ennnn

xa x

σ λ

0-2-£ 2111

1=+=

∂∂ +

+γ σ λ n

n x E

x

γ ∂∂£ = X1(b1 – bn)+ X2(b2 – bn)+ ……+ Xn-1(bn-1 – bn)+ b N-Xn+1

Sous forme matricielle, on peut écrire le problème comme suit :

CX = K ; avec

----

-

-

= -

010 b b12000

002 00 b002 0

b 0002

1-n1

2

2

1-n2

121

1

nn

e

ne

ne

bb

b

b

C

I

n

n

σ σ

σ

σ

= -

γ n

n

x x

x

X 1

1

;

-

= -

n

n

n

b E aa

a

K

1

1

1

λ λ λ

λ

L’étude que nous avons faite jusqu’à maintenant était concentrée sur la

méthode de choix d’un portefeuille efficient qui est constitué exclusivement en

actifs risqués.





Chapitre 4.Introduction de L’actif

sans Risque

L’introduction d’un actif sans risque dans cette étude se révèle d’une grande

importance étant donné qu’un actif sans risque est un actif dont le rendement est

certain et la variance est nulle.

Ce chapitre se consacrera par conséquent à l’étude de l’introduction d’un tel

actif sur le choix d’un portefeuille efficient et arriver à construire, enfin, la frontière

efficiente adaptée à ce cas de figure.

IDéfinition d’un actif sans risque

L’existence d’un actif dont le return est positif et certain et dont le risque est

nul requiert la vérification de 4 conditions essentielles qui sont :

1- Absence de risque de défaut

Cette condition implique qu’il existe au moins un emprunteur pour

lequel l’éventualité de non paiement a une probabilité nulle.

2- Absence de risque d’intérêt ou risque de taux





Cette condition implique que la valeur cde cet actif à l’échéance est

indépendante de toute modification de la structure du taux d’intérêt

subséquentes à la date d’émission.

Pour un actif présentant une ou plusieurs échéances intermédiaires de

distribution des revenus, il y a un effet d’incertitude su le revenu qui produira

le réinvestissement des revenus intermédiaires.

3- Anticipation rationnelle de l’inflation

Cette condition n’implique pas l’absence d’inflation mais l’anticipation

de cette dernière, c’est-à-dire que l’investisseur doit être protégé contre le

risque de l’inflation par une prime d’inflation adéquate afin de ne pas perdre le

pouvoir d’achat des unités monétaires reçues à l’échéance.

4- Absence de risque de liquidité

C’est-à-dire que l’actif ne doit présenter aucune restriction d’achat ou de

vente par les participants au marché.

Ainsi, peut être considéré comme actif sans risque, les bons de trésor, les

obligations émises par l’Etat.

II- Constitution d’un portefeuille optimal et construction de la frontière

efficiente :

L’investisseur, face à une telle situation d’investissement, va partager son

capital entre actifs risqués et l’actif sans risque et ceci afin de réaliser un

rendement espéré bien déterminé en minimisant le risque qu’il pourrait courir.

Le rendement du portefeuille s’écrit comme suit :





( ) 1' ++= n f pf xr X M R E avec

=

nx

xX

1

1nx + étant la proportion relative à l’actif sans risque.

M’ : vecteur des rendements espérés des actifs risqués.

VX'X)R(V pf = , en effet, l’actif sans risque est de variance nulle.

Le problème d’investissement se présente comme suit :

Min X’VX

Sous contrainte : U’X + xn+1 = 1

La résolution de ce problème après écriture sous forme Lagrangienne donne

les résultats suivants :

' * 1

1

0

ΠΠΠ -= -- V

V rf E X avec )-( rfU M =Π

( )

V'

V'UE *XU'-1x

1

10

1n

ΠΠ

Π-Π== -

-

+

*XV*'X*2=σ

ΠΠ

ΠΠ= --

-

11

1'

'

- *

202

VV V V

rf E σ

( )ΠΠ

= -1

'

- *

202

V

rf E σ

ΠΠ

=-1

'

- *

0

V

rf E σ





rf V E *.'1

0 +ΠΠ= -σ ; C’est l’équation de la frontière efficiente dans le plan

écart type rendement espéré.

C’est bien l’équation d’une demi droite, d’où l’introduction d’un actif sans

risque a bien transformé la frontière efficiente de façon particulièrement simple.

• Portefeuille de marché, portefeuille emprunteur et portefeuille

prêteur

- Portefeuille de marché : Etant donné le portefeuille optimal

choisi par l’investisseur en présence de l’actifs sans risque, on peut définir le

portefeuille du marché comme suit :

'*X'U*XXm= ; X* étant le vecteur d’actifs risqués choisi par l’investisseur.

Nous constatons ainsi que le portefeuille du marché est constitué que

d’actifs risqués et il est indépendant des préférences de l’investisseur (ne dépend

pas de E0)

Calculons le rendement et le risque de ce portefeuille :

ΠΠ

= -

-

1

1m V.

V'U

1X

0

ΠVU'

ΠV U'1XU'11

1

m =-=- -

-

Nous constatons ainsi que le portefeuille du marché n’est constitué que

d’actif risqué et qu’il est indépendant des préférences de l’investisseur (ne

dépend pas de E0.

Calculons le rendement de ce portefeuille :





Π

Π== -

-

1

1

mm

V'U

V'MX'MU

mm2

mVX'X=σ

21

12

mV'U

V'

Π

ΠΠ=σ-

-

Π

ΠΠ= -

-

1

1

'

'

V U

V mσ

On peut bien montrer que le point ( )mm U ,σ est bien un point de la frontière

efficiente que ce soit construite sans actif sans risque ou avec l’actif sans risque.

Ainsi, c’est le point de tangence entre les 2 frontières efficientes.

Le portefeuille de marché est bien un portefeuille optimal puisquecbUm> .

III-Signification économique du portefeuille du marché :

Notion de l’équilibre du marché financier :

Le portefeuille du marché correspond à l’équilibre du marché financier qui

se défini par l’égalité entre l’offre et la demande de chaque actif risqué présent

sur le marché.

L’atteinte d’un tel équilibre requiert tout d’abord que les prix s’établissent

de manière que pour chaque actif, la demande soit exactement égale à l’offre.

Par conséquent, si deux actifs présentent le même vecteur pay-off conditionnels

aux états de la nature, doivent avoir le même prix : C’est la loi de l’unicité du prix.





Si par ailleurs, les ventes à découvert sont permises, une seconde

condition doit être vérifiée à fin de réaliser l’équilibre du marché. Cette

condition n’est autre que l’impossibilité de réaliser un profit d’arbitrage sans

risque. Une différence de prix entre deux actifs risqués ou deux portefeuilles quiont le même vecteur de rendement conditionnellement aux états de nature

présente aux investisseurs une opportunité d’arbitrage sans risque puisque ceux-

ci se comportant de manière rationnelle doivent vendre à découvert le titre ou le

portefeuille le plus coûteux pour acheter le moins cher.

D’une manière générale, on peut dire que la condition de l’unicité de prix

est la condition fondamentale pour atteindre l’équilibre du marché financier.

• Composition du portefeuille du marché

Etant donné que le portefeuille du marché est un portefeuille d’équilibre,

les proportions de chaque titre doivent correspondre à l’égalité entre l’offre de

chaque titre et sa demande. La demande d’un titre sera égale à la somme des

demandes individuelles de chaque investisseur.

Ainsi, soit jmx = proportion relative au titre j

d jk : demande de l’investisseur k en titre j.

j

m

k

1n

k jk xx1Wd

-=

-

+

; En effet, j

m

k

1n

k

j

xx1x

-=

+

-

mkkXX'UX

-= et

k

1n

kx1X'U

+-=

wk étant le capital investi par l’investisseur.

A l’équilibre :





∑=

=k

1 j j jk Sd : offre du titre j.

Calculons la capitalisation boursière : Sm.

∑=

=n

1 j jm SS

∑ ∑= =

=n

1 j

K

1k jkm dS

j

m

k

1n

n

1 j

K

1kkm xx1WS

-=

+= =∑ ∑

x1WxSk

1n

n

1 j

K

1kk

j

mm

-=+= =

∑ ∑

-=

+=

∑k

1n

K

1k

km x1WS

D’où : j

mm j xSS =

m

j j

m SS

x =

Par conséquent, la proportion x j relative à chaque titre composant le

portefeuille du marché est égale à l’importance des fonds propres de chaque

entreprise par rapport à la capitalisation boursière.

• Portefeuille emprunteur, portefeuille préteur :

Etant donné que le portefeuille du marché est un portefeuille optimal

(efficient), tout portefeuille efficient choisi par un investisseur sera une combinaison

linéaire du portefeuille du marché et de l’actif sans risque :





( )

α-+

α=

α-

α=

+ 0

1 1

0

X

1

X

x

*X mm

1n

- Pour α = 1, le portefeuille choisi par l’investisseur sera exclusivement

constitué de titres risqués et égal au portefeuille du marché.

- Pour α = 0, le portefeuille choisi par l’investisseur est composé en sa

totalité par l’actif sans risque.

10 <α< Pour 0 < α < 1, le portefeuille choisi est composé par les actifs risqués et

l’actif non risque par conséquent ce portefeuille est prêteur puisque la proportion relative

à l’actif sans risque est positive (1- α ) > 0.

- Pour α > 1, (1-α ) est négative, la proportion relative au titre sans risque

est négative, il s’agit d’un emprunt fait par l’investisseur afin d’augmenter le capital

investi en actifs risqués.

0 < α < 1

mσ

M

Rendement

Risque

Um

Rf

1>α





Chapitre 5.La diversification

temporelle

Beaucoup de chercheurs ont tenté de mesurer l’effet de la diversification

temporelle qui consiste à allonger la période de détention d’un portefeuille d’actions

au lieu d’augmenter le nombre d’actions.

Tout d’abord, on calcule le rendement annuel moyen R n pour chacune des

années N à partir des valeurs mensuelles R t.





∑=

=12

1t

n 12/1R t R

La variance de ces rendements annuels moyens est calculée comme suit :

2)(/1Var(Rn) N

1∑

=

-=n

Rn Rn N

Les études empiriques présentées ci-dessus ont montré que si l’on prolonge la

période de détention des titres de N périodes à P périodes on aura :

Var(Rp) < var(Rn)

Don le risque du portefeuille a été ainsi réduit grâce à la diversification temporelle.

Parmi ces études, on peut citer celle réalisée par Ibbotson et Sinquefield qui ont

calculé les moyennes des séries de rendements mensuels des échantillons de titres

(obligation ; action) sur une période s’étalant de 1926 à 1981 ensuite ils ont calculé

les moyennes annuelles à l’aide de la méthode présentée.

Cette étude a monté que les moyennes annuelles sont sensiblement différent es des

moyennes sir la totalité de la période.

C’est par exemple, pour les actions la moyenne des rendements annuels est de 9.1%

alors que l’année 1931 enregistra un rendement de –43.34% et 1933 enregistre

53.99%.

Ces constructions montrent clairement que la détention du portefeuille sur une

période plus longue amortit la variabilité des rendements autour de la valeur

moyenne et diminue ainsi le risque.

Lloyd et Modani ont retenu les statistiques calculées par Ibboston et Sinququefield

sur une période de 1946 à 1980 puis pour chaque période (1année, 2 année,

3année…).





Ils divisent le rendement moyen par l’écart-type pour avoir le rendement annuel par

unité de risque.

Les auteurs constatent que le rendement par unité de risque augmente lorsque la

période de détention augmente. Voulant comparer l’efficacité de la diversification

dans le temps et celle dans l’espace Lloyd et Haney ont porté leur étude sur un

échantillon de 100 actions et ont calculé leurs rendements sur 12 semestres entre

1971 et 1976 tout en constituant des portefeuilles avec un nombre de titres

croissant.

Les résultats ont montré que la diversification est plus intéressante en terme deréduction de risque que la diversification sur les marchés. La détention de 1 à 12

semestres d’un portefeuille de 1 titre permet de réduire l’écart-type de 0.359% à

0.055% soit une différence de 0.304%. alors que l’augmentation de nombre des

titres de 1 à 100 ne diminue le risque que de 0.359% à 0.267% soit 0.092% sur une

période d’un semestre.

Ces études prouvent que la diversification temporelle d’un portefeuille permet de

réduire son risque.

Cette conclusion a été critiquée par plusieurs auteurs qui estiment que le mode de

calcul des paramètres utilisés dans ces tests n’est pas pertinent. En effet selon ces

auteurs, dont fait partie R.McEnally, la véritable mesure du risque pour

l’investisseur n’est pas la variance des rendements moyens mais la variance de la

série de rendements sur l’ensemble de la période.









Chapitre1. Présentation du marchéfinancier tunisien :

I.Rôle du marché financier :

Le marché financier peut être défini comme un lieu de rencontre entre

une offre et une demande de capitaux dont le support est une valeur mobilière,

action, obligation ou nouveaux produits financiers (billets de trésorerie, certificat de

dépôt, etc..)

En tant qu’institution économique le marché ,est appelé à remplir différentes

fonctions qui peuvent être regroupées autour des missions principales suivantes :





-Circuit de financement de l’économie permettant de drainer les ressources

d’épargne disponibles et d’assurer leur canalisation vers ceux qui en ont besoin (les

entreprises pour l’essentiel) .

-Un instrument organisant la liquidité de l’épargne investie à long terme.Cette deuxième fonction assurée par le marché secondaire, où bourse de

valeurs mobilières, est aussi importante que la première car si les produits financiers

proposés ne soient pas suffisamment liquides, les épargnants hésiteraient à

s’engager.

-Un instrument d’allocation des ressources d’épargne entre les différents

secteurs d’activité, d’une manière plus précise, on attribue au marché financier la

faculté d’orienter l’épargne valeur en priorité vers les secteurs d’activité les plus

performants économiquement.

-Un outil de mesure de la valeur des actifs, en affichant à chaque séance de

bourse un cours pour un titre donné, le marché financier (le compartiment bourse)

constitue un instrument de mesure de la valeur des entreprises à côté des autres

techniques d’évaluation (analyse des bilans, expertise de l’outil de production etc..)

II Organisation du marché financier tunisien :

1Historique :

La première étape :

Commence de la date de création de la bourse en 1969 ( pour la loi 69-13 du

28-02-59) jusqu’à 1989, date de la première réforme.

Dans cette étape le marché financier n’a pas joué son rôle dans :

- Le financement des entreprises, puisque ce dernier se faisait

presque exclusivement par recours au crédit bancaire et le lancement des

emprunts obligataires qui exigeaient l’autorisation de l’état.

- La mobilisation de l’épargne, en effet :

*la bourse était un simple bureau d’enregistrement

*la liquidité était faible





*le rendement était faible

*la fiscalité était lourde

La deuxième étape :Entre 1989 et 1994, est caractérisée par un engagement de réformes qui sont

reportées sur deux échéances :

-Une première réforme juridique dans le cadre de la loi N°89-49 du 08-03-

1989, cette première réforme a maintenu le cumul de la fonction de contrôle et de

réglementation d’une part et la gestion professionnelle des valeurs mobilières

d’autre part par une structure unique qui s’appelle le conseil de la Bourse de Tunis

qui est sous la tutelle du ministère des finances.

-Une deuxième réforme dans le cadre de la loi N°94-117 du 17-11-1994, dans

cette réforme, l’organisation le fonctionnement du marché financier vont être

réexaminés. L’examen apporté sur les quatre axes suivants :

*la réorganisation des structures boursières.

*la réforme de l’intermédiation en bourse.

*la création d’une société spécialisée dans la compensation de

dépôts et la garde des titres (STICODEVAM) .

*la possibilité aux investisseurs étrangers d’accéder à la bourse

Tunis.

La troisième étape :

Est caractérisée parla mise à niveau du système de négociation par

l’installation d’un logiciel acquis à la bourse de Paris pour avoir un nouveau

système de cotation électronique.

2/Structure du marché financier :

La restructuration du marché financier a permis la création de quatre

institutions à savoir :

-Le conseil de marché financier « C.M.F »





-La bourse des valeurs mobilières de Tunis « BVMT »

-La société tunisienne interprofessionnelle de compensation et de dépôt de

valeurs mobilières « STICODEVAM » (démarrage le 15-11-1995) .

-Le fonds de garantie marché « FGM » .

Le conseil du marché financier :

Le conseil du marché financier est chargé de veiller à la protection de

l’épargne investie en valeurs mobilières, produits financiers négociables en bourse

et tout autre placement donnant lieu à un appel public à l’épargne. Il est chargé

d’organiser et de veiller au bon fonctionnement des marchés de valeurs mobilières

et de produits négociables en bourse.

Le CMF assure la tutelle des organismes de placement collectif en valeurs

mobilières : la BVMT, les intermédiaires en bourse et la STICODEVAM sont

soumis au contrôle permanent du CMF.

Ne sont pas soumis au contrôle du CMF les marchés d’instruments crées en

représentation des opérations de banques ou de bons ou de billets à cours terme

négociables sur les marchés relevant de la BCT.

Le CMF dispose de toutes les prérogatives qui lui sont nécessaires pour

mener les missions qui lui sont attribuées en vertu des lois et règlements en vigueur,

ainsi que les prérogatives nécessaires à l’administration des services qu’il crée à

cette fin.

Notons enfin que le CMF peut, dans l’exercice de sa mission, collaborer avec

les organismes étrangers homologués ou assumant les attributions équivalentes aux

siennes et signer des accords avec ces organismes après l’approbation des autorités

tunisiennes compétentes.

La bourse des valeurs mobilières de Tunis :

La B.V.M.T est essentiellement chargée de :





-Mettre en place les structures techniques et administratives nécessaires à

l’installation du marché et qui sont de nature à assurer la sécurité matérielle et

juridique des opérations dans les conditions requises de célérité.

-Se prononcer sur l’admission et l’introduction des valeurs mobilières et produits financiers à la côte de la bourse et leur radiation ainsi que sur la

négociabilité des produits financiers sur les marchés, sauf opposition du CMF.

-Enregistrer les opérations effectuées et les cours établis sur ces marchés.

-Suspendre l’ensemble de la cotation d’une valeur mobilière ou d’un produit

financier chaque fois qu’il y a un risque technique ou un risque en relation avec

l’information financière la variation inhabituelle des cours et en informant sans

délai le CMF.

-Publier les informations relatives aux opérations, les cours, les avis et

communiqués dont la publicité est exigée par la loi.

-Veiller à la conformité des opérations effectuées sur le marché, à la

réglementation et aux procédures en vigueur.

-Dénoncer dés qu’elle en a connaissance au CMF les opérations, agissements,

pratiques, documents et faits contraires à la loi.

-Etablir les règlements de parquet et les soumettre à l’approbation du CMF.

-Gérer le fond de garantie marché visé à l’article 62 de la présente loi.

-Formuler au CMF, les propositions et avis sur les questions rentrant dans son

objet et relatives au développement du marché.

La société tunisienne interprofessionnelle de compensation et de dépôt de

valeurs mobilières :

En tant qu’intervenant la STICODEVAM a pour objet de mettre en place un

système informatisé pour la compensation et le dépôt des valeurs mobilières, en vue

de permettre aux personnes physiques ou morales exerçant les professions bancaires

ou boursières, de placer les valeurs mobilières dont elles sont dépositaires ou dont

elles assurent la négociation, sous le régime des comptes courants des valeurs

mobilières.





La société exerce, en conséquence, les attributions suivantes :

-Ouvrir des comptes courants de valeurs mobilières aux noms des

intermédiaires en bourse, banques, établissements financiers, ou autres organismes

publics ou privés exerçant une activité financière, bancaire, ou boursière, dont elleaura accepté l’application.

-Inscrire dans les comptes courants précités, les titres ainsi reçus en dépôt ou

ainsi immatriculés à son nom et opérer tout virement comptable entre ces comptes.

-Et généralement effectuer toutes les opérations d’ordre bancaire et

commercial telles que définies par la loi en vigueur ainsi que, éventuellement, par

toute disposition légale ou réglementaire ultérieure.

Le fond de garantie marché :

Ce fond récemment constitué par les intermédiaires en bourse donne au

marché financier tunisien un nouveau statut. En effet seul il pouvait garantir aux

intermédiaires et à leurs clients la bonne fin de la transaction réalisée dans tous les

cas de figures car même si l’intermédiaire vendeur ou acheteur tombe en faillite, le

fond se substitue à lui pour livrer à l’autre partie de la transaction, soit des titres soit

les fonds.

Donc pour le financement du fond de garantie de marché, tous les intermédiaires

en bourse négociant dans le système électronique contribuent à ce financement.

Il existe trois types de contribution :

-contribution initiale égalitaire entre tous les intermédiaires.

-contribution régulière versée en fonction du risque de marché de chaque

intermédiaire.

-contribution exceptionnelle versée dans le cas où les deux premières

contributions ne suffiraient pas à couvrir le défaut.





Chapitre2. Application du modèle :

I.Collecte des données :

Les données nécessaires à notre étude sont les cours et les dividendes des

différents titres collectés auprès de la bourse des valeurs mobilières de Tunis ainsi que

les taux d’intérêt des bons de trésor émis par la banque centrale de la Tunisie sur la

période d’observation. Celle-ci concerne les six dernières années à savoir :1995, 1996,

1997, 1998, 1999, et 2000.





Pour le choix de l’échantillon, on a éliminé certains titres dont les cotations peu

régulières, et on a éliminé toute nouvelle action introduite en bourse durant la période

d’analyse.

L’échantillon retenu est constitué par les 23 titres suivants :ATB : Arab Tunisian Bank

BDET : Banque de Développement Economique de Tunisie

BIAT : Banque Internationales Arabe de Tunisie

BNDT : Banque Nationale de Développement Touristique

BNA : Banque Nationale Agricole

BS : Banque de Sud

BT : Banque de Tunisie

STB : Société Tunisienne de Banque

UBCI : Union Bancaire pour le Commerce et L’industrie

BTEI : Banque Tunisienne et des Emirats d’Investissement

AMEN : Amen Banque

BH : Banque de l’Habitat

TL : Tunisie Leasing

SFBT : Société Frigorifique et de Bière de Tunisie

AMS : les Ateliers Mécaniques du Sahel

ICF : Industries Chimiques du Fluor

PALM BEACH : Palm Beach Hotel Tunisia

TAIR : Tunisair

PLACTN: Placement de Tunisie

STIL : Société Tunisienne de l’Industrie de Lait

MONOPRIX : Magasin Monoprix

UIB : Union Internationales de Banque

SITEX : Société Industrielle de Textile

Tout programme amenant à déterminer un portefeuille efficient se base sur

les deux critères principaux critères d’efficience à savoir le rendement espéré et le





risque, ceux-ci sont approchés respectivement par la moyenne des rendements et par

la variance.

Nous procèderons alors à l’estimation des moyennes des rendements de

chaque titre ainsi qu’à la détermination de la matrice variance-covariance, pour celanous nous baserons sur le logiciel Excel de Microsoft.

II. Estimation des rendements et de la matrice variance-

covariance :

Nous avons retenu deux horizons d’investissement. Le premier s’étale sur une

période d’un mois et le deuxième sur une période d’un an.

1/Estimation des rendements :

Le taux de rendement d’une action à l’instant t se présente comme la somme

des plus-value en capital et des dividendes rapportée au cours de l’action au début

de la période.

Dans notre cas c’est la différence entre le cours de fin du mois (ou de l’année)et le cours de début du mois (ou de l’année) à laquelle on ajoute un dividende si ce

dernier est distribué, le tout est rapporté au cours de début du mois ( ou de l’année).

Formellement le taux de rendement se calcule comme suit :

-pour le rendement mensuel :

(1) CD+CC

=R 1-t

t1-tt

t

-

Avec tC =cours de l’action à la fin de période t.

1-tC =cours de l’action à la fin de période t-1.

tD =le dividende encaissé à la fin de période t.

-pour le rendement annuel :





(2) 1CC ×

CD+C =R -

xd

t

1-t

txdt

Avec Cxd =cours de l’action après distribution du dividende.

Etant donné que le dividende est distribué au cours de l’année.

Index Nom desociété

rendementmensuel

rendementannuel

1 ATB -0,0049 -0,18675338

2 BDET -0,0083 -0,07525081

3 BIAT -0,0018 -0,01703635

4 BNDT 0,0007 -0,117145 5 BNA -0,0051 -6,37E-02

6 BS -0,0037 -0,13882515

7 BT -0,0023 -0,045793818 STB -0,0008 -0,00157851

9 UBCI -0,0019 -0,05345541

10 BTEI 0,0092 0,09475681

11 AMEN -0,0041 -0,06661029

12 BH -0,0143 0,00630445

13 TL 0,002 0,03820565

14 SFBT 0,0266 0,46190027

15 AMS 0,0111 0,13280111

16 ICF 0,006 0,05329894

17 PALM -0,0013 -0,12407294

18 TAIR 0,0055 0,03199674

19 PLACTN 0,0124 0,0782579420 STIL -0,0025 -0,03627399

21 MONOPRIX 0,0026 0,03975318

22 UIB -0,0068 0,03176739

23 SITEX -0,0037 -0,06296821

2/ Estimation de la matrice variance-covariance :

A partir des rendements moyens, on peut calculer la matrice variance-

covariance qui détermine à la fois, la volatilité du rendement de chaque titre autour

de sa moyenne et la covariance entre les rendements des différents actifs ; c’est à

dire la dépendance entre les évolutions des rendements des titres. Les annexes 1 et 2

donnent les matrices variance-covariance relatives, respectivement, aux horizons

mensuel et annuel.

III. Présentation du programme : Année Universitaire 2000/2001 Page 71




Sous la forme matricielle, le programme se présente comme suit :

Min X’VX

Sous contraintes DX=d

Avec X : vecteur de la composition du portefeuille (23 composantes)

V : matrice variance-covariance (carré d’ordre 23)

=

'

' U

M D

M : vecteur des rendements espérés des différents titres (23

composantes)

U : vecteur unitaire (23 composantes)

=

1

*E d

E*=rendement espéré par l’investisseur

Cette présentation étant relative à un problème de minimisation à deux

contraintes ( ∑Xi =1 et M’X=E*) qu’on peut élargir en introduisant par exemple la

contrainte de la non possibilité de vente à découvert (X i>=0).

L’introduction d’un actif sans risque de rendement espéré rf dans l’ensemble

des titres qui peuvent faire partie du portefeuille choisi par l’investisseur, changera

les deux contraintes qui deviennent :

( ∑Xi + xn+1 = 1 ) et ( M’X + xn+1rf =E*)

Pour cela, nous avons eu recours au logiciel ″Solveur ″ du menu outils du

logiciel Excel.

IV. Analyse des résultats :





1/Résultats mensuels :

Afin de mener une analyse fine et intéressante nous avons procéder à :

-La construction de la frontière efficiente pour les deux cas possibles :avec ou

sans possibilité de vente à découvert.-La détermination de la composition des portefeuilles, en prenant des

rendements différents : 0.02, 0.01 et 0.001 et ceci dans les deux cas de figure

prédéfinis.

-L’étude de l’influence de l’introduction de l’actif sans risque (dans notre cas,

il s’agit d’un bon de trésor de rendement annuel 5.875%) dans la construction de la

frontière efficiente ;toujours dans les deux cas possibles. Et aussi, son impact dans

la composition des portefeuilles à rendements : 0.02, 0.01 et 0.001.

-La détermination des caractéristiques du portefeuille de marché.

-Mettre en évidence la relation entre la part du capital investi dans les titres

risqués et le rendement espéré du portefeuille, aussi dans les deux cas possibles.

2/ Analyse des résultats mensuels :

-A partir du vecteur rendement des titres nous remarquons la dominance des

rendements négatifs (à raison de 60% des titres) avec un rendement maximum

enregistré par la SFBT (2.66%).

-La matrice var-cov montre plutôt des relations positives entre les évolutions

des rendements des titres à l’exception de AMEN qui est négativement corrélé avec

plusieurs titres (BIAT, BDET, BNA etc..).

-A partir des deux graphiques de la frontière efficiente, on remarque bien que

la frontière ″sans possibilité de vente à découvert″ garde l’allure d’une hyperbole

comme celle dans le cas de la possibilité de vente à découvert.





Frontière efficiente

(possibi li té de vente à découvert)

0

0,005

0,01

0,015

0 0,01 0,02 0,03

Ecart-type

R e n d e m e n t

e s p é r é

Frontière efficiente

(sans possibi lité de vente à découvert)

0

0,0050,01

0,015

0,02

0,025

0 5 10 15 20

risque: écart-type

r e n d

e m e n t

e s

p é r é





Pour le cas de la vente à découvert l’extremum de la frontière efficiente a les

caractéristiques suivantes :

-La comparaison des portefeuilles à rendement 0.02, 0.01 et 0.001 dans les

deux cas de figure laisse dégager les interprétations suivantes :

Détermination de la composition du portefeuille à un rendement donné(avec vente à découvert)

Rendement 0,02 Rendement 0,01 Rendement 0,001

Variance 0,00158717 Variance 0,00061191 Variance 0,00044868

Index X Index X Index X

ATB -0,09923545 ATB -0,03508627 ATB 0,02248675

BDET -0,09801636 BDET -0,03939624 BDET 0,01320818

BIAT -0,21483034 BIAT -0,09128123 BIAT 0,02064847

BNDT 0,21913804 BNDT 0,1208368 BNDT 0,03313256

BNA -0,08852786 BNA -0,00524805 BNA 0,07005397

BS 0,0526374 BS 0,05518772 BS 0,05732501

BT -0,19416859 BT -0,02408444 BT 0,12890918

Le portefeuille à risquemin Xs

composition

ATB 0,00798787

BDET -3,5305E-05

BIAT -0,01002568

BNDT 0,05400995

BNA 0,04970318

BS 0,05714023

BT 0,08948878

STB -0,01495475

UBCI -0,04315803

BTEI 0,16933711

AMEN 0,28737399

BH -0,06362515

TL 0,02712059

SFBT -0,01137143

AMS -0,09156043

ICF 0,17875697

PALM -0,03992076

TAIR 0,01723695

PLACTN 0,1826526

STIL 0,02028347

MONOPRIX 0,13408663

UIB -0,02596205

SITEX 0,0254353

Total 1





STB 0,12134679 STB 0,03934327 STB -0,03471114

UBCI 0,02372162 UBCI -0,01626425 UBCI -0,05211913

BTEI 0,45904133 BTEI 0,2855096 BTEI 0,12959288

AMEN 0,06072364 AMEN 0,19636003 AMEN 0,31810485

BH -0,16243535 BH -0,10316316 BH -0,04982672

TL 0,03330116 TL 0,02879238 TL 0,02392137

SFBT 0,14839856 SFBT 0,05262782 SFBT -0,03349123

AMS -0,04344947 AMS -0,07212507 AMS -0,09773033

ICF 0,20513203 ICF 0,18911436 ICF 0,17448774

PALM -0,13084321 PALM -0,07630943 PALM -0,0272338

TAIR 0,00481047 TAIR 0,01223816 TAIR 0,01889336

PLACTN 0,43058316 PLACTN 0,28154717 PLACTN 0,14708371

STIL -0,0043332 STIL 0,01044997 STIL 0,02377189

MONOPRIX 0,28652135 MONOPRIX 0,194961 MONOPRIX 0,11242074

UIB -0,06858672 UIB -0,04292524 UIB -0,01973041

SITEX 0,05907101 SITEX 0,03891509 SITEX 0,02080213

Composition des portefeuilles (sans possibilité de vente à découvert)



Index X Index X Index X ATB 0 ATB 0 ATB 0

BDET 0 BDET 0 BDET 0

BIAT 0 BIAT 0 BIAT 0

BNDT 0 BNDT 0 BNDT 0,04164074

BNA 0 BNA 0 BNA 0,05346798BS 0 BS 0,0212421 BS 0,05910188

BT 0 BT 0 BT 0,11971253

STB 0 STB 0 STB 0

UBCI 0 UBCI 0 UBCI 0

BTEI 0,056400919 BTEI 0,39696845 BTEI 0,1696307

AMEN 0 AMEN 0,06775692 AMEN 0,2927479

BH 0 BH 0 BH 0

TL 0 TL 0 TL 0

SFBT 0,547991754 SFBT 0,11857273 SFBT 0

AMS 0 AMS 0 AMS 0

ICF 0 ICF 0,07225807 ICF 0,05824225

PALM 0 PALM 0 PALM 0TAIR 0 TAIR 0 TAIR 0,01499075

PLACTN 0,395607328 PLACTN 0,23891207 PLACTN 0,07509119

STIL 0 STIL 0 STIL 0,01400265

MONOPRIX 0 MONOPRIX 0,07413781 MONOPRIX 0,06770111

UIB 0 UIB 0 UIB 0,00072631

SITEX 0 SITEX 0,01015185 SITEX 0,032944

*l’augmentation du rendement espéré s’accompagne d’une augmentation du

risque.





*Pour un même rendement, l’interdiction de la vente à découvert oblige

l’investisseur à subir un risque plus élevé.

*Dans le cas de la non possibilité de ventes à découvert, l’augmentation du

rendement espéré laisse l’investisseur s’orienter vers les titres les plus rentables audétriment des titres les moins rentables qui au paravent avaient des proportions

négatives c’est à dire étaient vendus à découvert.

-L’introduction de l’actif sans risque permet de construire les deux frontières

efficientes suivantes :

Frontière effic iente

(avec possibi li tés de ventes à

découvert)

0

0,050,1

0,15

0,2

0,25

0 0,2 0,4 0,6

écart-type

r e n

d e m e n t

e

s p é r é





Frontière effi ciente

(sans possibil ité de ventes à

découvert)

0

0,01

0,02

0,03

0 0,05 0,1 0,15

écart-type

r e n d e m e n t

e s p é r é

Il s’agit de deux droites qui ont pour ordonné à l’origine le point (0 ;

0.004985).

Ce sont les caractéristiques de l’actif sans risque puisque son risque est nul et

son rendement mensuel est de 0.4985%.

-La non possibilité de ventes à découvert permet d’établir une limite de

rendement attendu ou espéré qu’on peut atteindre. Cette limite étant égale à 2.66%

et le portefeuille critique étant composé en totalité du titre SFBT.

-La détermination des caractéristiques du portefeuille du marché selon le

modèle de Markowitz donne :

Xm=(V-1Π)/(U’V

-1Π)

X

ATB 0,40152883

BDET 0,35948669

BIAT 0,75776667

BNDT -0,54404077

BNA 0,56613095BS 0,07134191

BT 1,13637616

STB -0,52243278





UBCI -0,28814868

BTEI -0,89703417

AMEN 1,11961698

BH 0,30137685

TL -0,00853338

SFBT -0,60049901

AMS -0,2662881

ICF 0,07818655

PALM 0,29589799

TAIR 0,06269514

PLACTN -0,73839703

STIL 0,11149606

MONOPRIX -0,43110137

UIB 0,133039

SITEX -0,09846448

total 1

rendement -0,05826128

variance 0,01627638

Ces résultats sont inattendus puisque le rendement de ce portefeuille est

négatif.

Ceci peut être expliqué par d’une part l’existence de proportions négatives,

d’autre part les rendements négatifs de la majorité des titres( 60% des titres ont des

rendements négatifs). Donc l’atteinte de l’équilibre du marché boursier tunisienne

peut pas être possible selon le modèle de Markowitz qui se base sur un vecteur des

rendements espérés qui est positif.

-La comparaison entre les portefeuilles de rendement 0.02, 0.02 et 0.001 dans

les deux cas de figure en présence de l’actif sans risque laisse dégager les mêmes

interprétations que dans le cas de la non présence de l’actif sans risque :

Composition des portefeuilles en variant le rendement espéré avec possibilités de ventes àdécouvert


Variance 0,00091736 Variance 0,00010242 Variance 6,4617E-05

ATB -0,09520923 ATB -0,03267614 ATB 0,02521494

BDET -0,08510073 BDET -0,03045802 BDET 0,02245114

BIAT -0,18009247 BIAT -0,05899277 BIAT 0,04784784

BNDT 0,12851245 BNDT 0,04760628 BNDT -0,03382867

BNA -0,13478529 BNA -0,04238741 BNA 0,03592749

BS -0,01683142 BS -0,00601864 BS 0,00445927

BT -0,2698123 BT -0,08882514 BT 0,07173361

STB 0,12399439 STB 0,04124383 STB -0,03293591





UBCI 0,06842245 UBCI 0,02408208 UBCI -0,01803039

BTEI 0,21303837 BTEI 0,06845 BTEI -0,05679247

AMEN -0,26570101 AMEN -0,09042429 AMEN 0,07037638

BH -0,07153348 BH -0,02414825 BH 0,01896454

TL 0,00263263 TL -0,002819 TL -0,0008885

SFBT 0,14248621 SFBT 0,0482285 SFBT -0,03777399

AMS 0,06317675 AMS 0,02121374 AMS -0,01676963

ICF -0,01849026 ICF -0,00601463 ICF 0,00494823

PALM -0,07032963 PALM -0,02420694 PALM 0,01856758

TAIR -0,01483339 TAIR -0,00528219 TAIR 0,00391825

PLACTN 0,17538918 PLACTN 0,05821645 PLACTN -0,04655789

STIL -0,02646826 STIL -0,00885625 STIL 0,00702304

MONOPRIX 0,10240255 MONOPRIX 0,03560786 MONOPRIX -0,02701681

UIB -0,03167725 UIB -0,01060998 UIB 0,0083755

SITEX 0,02344761 SITEX 0,0079516 SITEX -0,00618876

Rf 1,23736213 Rf 1,07911933 Rf 0,93697522

Composition des portefeuilles en variant le rendement espéré sans poss ibilités de ventes àdécouvert



ATB 0 ATB 0 ATB 0,01596914

BDET 0 BDET 0 BDET 0,01937877


BNDT 0 BNDT 0 BNDT 0BNA 0 BNA 0 BNA 0,04929361

BS 0 BS 0 BS 0,02882931

BT 0 BT 0 BT 0,09089272

STB 0 STB 0 STB 0


BTEI 0,05646803 BTEI 0,15419393 BTEI 0

AMEN 0 AMEN 0 AMEN 0,1667617

BH 0 BH 0 BH 0,01518147

TL 0 TL 0 TL 0

SFBT 0,54793644 SFBT 0,14659295 SFBT 0

AMS 0 AMS 0,00982741 AMS 0

ICF 0 ICF 0 ICF 0PALM 0 PALM 0 PALM 0

TAIR 0 TAIR 0 TAIR 0

PLACTN 0,39559553 PLACTN 0,15318594 PLACTN 0

STIL 0 STIL 0 STIL 0,00618334

MONOPRIX 0 MONOPRIX 0 MONOPRIX 0

UIB 0 UIB 0 UIB 0,016044

SITEX 0 SITEX 0 SITEX 0,01348513

Rf 0 Rf 0,53619977 Rf 0,57798082

Toutefois la comparaison de ces portefeuilles avant et après introduction de

l’actif sans risque s’avère plus intéressante. En effet pour le cas de vente à

découvert on remarque que les proportions négatives sont plus importantes en





nombre et en valeurs et que les proportions positives ont diminué et ceci au profit de

l’actif sans risque dont la proportion est supérieure à 1 pour les différents

portefeuilles.

Pour le cas de non possibilité de vente à découvert, la proportion de l’actifsans risque tend à diminuer au profit des titres les plus risqués.

-Les deux graphiques suivants mettant en relation la part du capital investie

dans les titres risqués et le rendement espéré pour les deux cas de figure soutiennent

les deux interprétations que nous avons dégagé dans ce qui précède.

Evolution de la part du capital

investie dans les titres risqués en

fonction du rendement éspéré

-4

-3

-2-1

0

1

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

rendement espéré

p a r t d u c

a p i t a l





Evolution de la part du capital investie

dans les titres risqués

(sans possibilité de vente à découvert)

0

0,20,4

0,60,8

11,2

0 0,01 0,02 0,03

rendement espéré

p a r t d u c a p i t a l

En effet pour le cas de possibilité de ventes à découvert la relation entre

rendement espéré et part du capital investie dans les titres risqués est plutôt

négative.

Dans le cas de la non possibilité de ventes à découvert la relation ces deux

paramètres est plutôt positive jusqu’à un rendement de ( 1.6%) à partir duquel la

part du capital investie dans les titres risqués reste constante et égales à 1 et ceci

jusqu’à la limite de rendement qu’on a déjà définie(0.0266).

En se basant sur la caractéristique que le portefeuille du marché est constitué

en totalité par les actifs risqués, on peut affirmer que le rendement de ce portefeuille

appartient à l’intervalle [ 0.016 ;0.0266] ce qui peut représenter l’équilibre réel du

marché.

3/ Résultats annuels :

Dans cette étude nous allons :

-construire la frontière efficiente sans et en tenant compte de la possibilité de

ventes à découvert.

-Déterminer la composition des différents portefeuilles en variant le

rendement espéré (0.1 ; 0.2 ; 0.25) et ceci pour les deux cas de figures.





4/Analyse des résultats :

-A partir du vecteur des rendements espérés on remarque l’importance des

rendements négatif en valeur et en nombre.-D’après la matrice variance-covariance, on remarque :

-L’existence de covariances négatives donc des relations négatives

entre l’évolutions des rendements de plusieurs titres tels que le titre BT avec celui

de l’ATB,BNA,BNDT, ….Ces covariances sont élevées en termes de valeur

absolue (>1%).

-L’existence des covariances qui sont très faibles telle cov(BS,BTEI)

qui égale à 2.7 10-7

.

-La frontière construite en tenant compte de la possibilité des ventes à

découvert laisse dégager une opportunité d’investissement très importante puisque

le risque relatif aux différents rendements attendus est minime qu’on peut approcher

par zéro : L’écart type pour un rendement annuel de 45% est de l’ordre de 10-6.

Ceci peut s’expliquer :

-Soit par la vente à découvert des titres qui sont négativement corrélés.

-Soit par les proportions positives des titres qui sont négativement corrélés ;

ce qui permet à la diversification de pleinement son rôle de remède contre le

risque.





Frontière efficiente avec possibi lité

de vente à découvert

0

0,5

1

1,5

2

0 0,00000002 0,00000004 0,00000006

Risque:écart-type

R e n d e m e n t

e s p é r é

-L’interdiction de la vente à découvert donne des résultats qui sont plus réalistes vue

que les variances ne sont plus minimes et atteignent 64.6% pour un rendement de

45%.

Frontière effic iente

(sans ventes à découvert)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

écart-type

r e n d e m e n t e s p é r é

Ceci est confirmé par la comparaison qu’on amènera sur les portefeuilles àrendement 0.1, 0.2 et 0.25 dans les deux cas énoncés.





composit ion des portefeuilles efficients en variant les rendements espérés(avec possibili té devente à découvert)

rendement 0,1 rendement 0,2 rendement 0,25

variance 1,7911E-15 variance 5,5747E-15 variance 3,501E-14

Nom X Nom X Nom X

ATB -0,337748 ATB -0,74867853 ATB -0,9541451

BDET 0,03283404 BDET 0,07090513 BDET 0,0899407

BIAT 0,2521568 BIAT 0,32053241 BIAT 0,3547204

BNDT 0,00538371 BNDT 0,01517293 BNDT 0,0200677

BNA 0,07095785 BNA 0,15601333 BNA 0,1985412

BS 0,01275851 BS 0,02875552 BS 0,0367543

BT 0,07477458 BT 0,03719736 BT 0,0184087

STB 0,00518425 STB 0,0140486 STB 0,0184809

UBCI 0,00139621 UBCI 0,00192665 UBCI 0,0021922

BTEI 0,05454435 BTEI 0,11710508 BTEI 0,1483855

AMEN BANK 0,02257125 AMEN BANK 0,05169229 AMEN BANK 0,066253

BH 0,01346282 BH 0,03754298 BH 0,0495832

TL 0,09192492 TL 0,15004005 TL 0,1790977

SFBT 0,01104189 SFBT 0,04512077 SFBT 0,0621599

AMS -1,555E-05 AMS 0,01256487 AMS 0,0188549

ICF 0,63778954 ICF 0,7376056 ICF 0,7875135

PALM BEACH -0,0085698 PALMBEACH

-0,02265046 PALM BEACH -0,0296907

TUNISAIR 0,10156426 TUNISAIR 0,07807168 TUNISAIR 0,0663255

PLACTSIE 0,02035581 PLACTSIE 0,04453749 PLACTSIE 0,0566284

STIL -0,0031317 STIL -0,00644652 STIL -0,0081038MONOPRIX 0,02625817 MONOPRIX 0,05576027 MONOPRIX 0,0705114

UIB -0,0493863 UIB -0,11152223 UIB -0,1425902

SITEX -0,0361077 SITEX -0,08529528 SITEX -0,1098892

composit ion des portefeuilles efficients pour un rendement donné (sans poss ibilité de vente àdécouvert)



nom X nom X nom X

ATB 0 ATB 0 ATB 0

BDET 0 BDET 0 BDET 0


BNDT 0 BNDT 0 BNDT 0

BNA 0 BNA 0 BNA 0

BS 0 BS 0 BS 0

BT 0 BT 0 BT 0

STB 0 STB 0 STB 0


BTEI 0,4012003 BTEI 0,29925119 BTEI 0,2436257 AMEN BANK 0 AMEN BANK 0 AMEN BANK 0

BH 0 BH 0 BH 0





TL 0 TL 0 TL 0

SFBT 0,073791 SFBT 0,32866937 SFBT 0,4566844

AMS 0 AMS 0 AMS 0

ICF 0,5211138 ICF 0,37207945 ICF 0,2996899

PALM BEACH 0 PALM BEACH 0 PALMBEACH

0

TUNISAIR 0,0038949 TUNISAIR 0 TUNISAIR 0

PLACTSIE 0 PLACTSIE 0 PLACTSIE 0

STIL 0 STIL 0 STIL 0

MONOPRIX 0 MONOPRIX 0 MONOPRIX 0

UIB 0 UIB 0 UIB 0

SITEX 0 SITEX 0 SITEX 0

En effet pour un même rendement attendu le portefeuille optimal est plus risqué

dans de la non vente à découvert qu’avec possibilité de ventes à découvert.

Conclusion générale

L’objectif de notre étude a été de cerner, l’apport de la théorie au problème de

sélection de portefeuille. Par la suite, on a essayé d’appliquer le modèle de

moyenne-variance sur la BVMT en prenant au premier lieu des rendements

mensuels ensuite des rendements annuels. Cette application a permis de retrouver beaucoup de résultats théoriques, tel que l’allure des frontières efficientes.

Toutefois, on a rencontré des résultats inattendus, en effet on a pu voir que le

portefeuille de marché, qui théoriquement correspond à la situation d’équilibre entre

offre et demande de titres, est un portefeuille à rendement négatif. Ceci s’explique

par les rendements négatifs de la majorité des titres vue la baisse des cours après

l’adoption de la cotation électronique en 1996.





Aussi, l’élimination de l’hypothèse de vente à découvert rend les résultats

plus pratiques. En effet, pour les rendements annuels l’interdiction de la vente à

découvert a permis d’associer des risques plus réalistes aux différents rendementsattendus des portefeuilles construits.

Il faut noter qu’on peut étendre l’étude par la prise en considération de

nouvelles contraintes telle que la limitation de l’investissement dans un titre

quelconque.

Enfin, il faut souligner l’importance du critère de l’utilité dans ce genre de

décision d’investissement qui se révèle par conséquent d’un grand apport pour

compléter cette étude.

Bibliographie

Ouvrage :

Théorie financière (4éme édition )Robert Cobbaut (économica )

Gestion de portefeuille (3eme édition ) Broquet

Marché financier :gestion de portefeuille et de risque Pilverdier

Revue :

Revue de financier n°96-1994

Revue de l’association française de finance :juin 1993 –vol 14 n°1

Finance : juin 1997 vol 18 n°1 .





Données :

Cours, dividendes et bons de trésors (période de 6 ans 1995-2000)





Matrice variance-covariance (rendements mensuels)

ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT

ATB 0.01027757 0.00130687 0.0020403 0.00116133 0.00158952 0.00039323 0.00082856

BDET 0.001306867 0.01073852 0.00234986 0.00157772 0.00516137 0.00178571 0.00080724

BIAT 0.002040299 0.00234986 0.00307986 0.00076027 0.00144978 0.00077507 0.00088383

BNDT 0.001161333 0.00157772 0.00076027 0.00297849 0.00096071 0.00141556 0.00096682

BNA 0.001589515 0.00516137 0.00144978 0.00096071 0.00468109 0.00066822 0.0003612

BS 0.000393228 0.00178571 0.00077507 0.00141556 0.00066822 0.00898182 0.0003642

BT 0.000828557 0.00080724 0.00088383 0.00096682 0.0003612 0.0003642 0.00316711

STB 0.002693124 0.00397665 0.00151057 0.00091195 0.00325525 0.00054524 0.00085253

UBCI 0.002449795 0.00325234 0.00243478 0.00140746 0.00192151 0.00073464 0.0016408

BTEI 0.000826649 0.00042241 0.00080115 0.00044933 0.00035494 5.6662E-05 0.00066907

AMEN 4.44904E-05 -0.00037 -3.3955E-06 0.00034915 -1.1577E-05 -3.9166E-05 -0.00037227

BH 0.00360491 0.00339121 0.00371241 0.0017491 0.00284848 0.00041044 0.00097921

TL 0.000663327 0.00172887 0.00138067 0.00167931 0.00140897 0.00083488 0.00117047

SFBT 0.002538556 0.00287382 0.00211203 0.00096661 0.00107418 0.00092365 0.00088562

AMS 0.003287436 0.00119777 0.00245707 0.00059559 0.0015859 0.00092166 0.001063

ICF 0.000764507 0.00047911 0.00143125 0.00045715 0.00034277 0.00075321 0.00051709

PALM 0.002912208 0.00201359 0.00183805 0.00173963 0.00117423 7.557E-05 0.00102232

TAIR 0.001491133 -0.0004132 0.00110708 0.00078793 0.00051843 -0.00078397 0.00170266

PLACTN 0.00129878 0.00163009 0.00155953 0.00047374 0.00146327 -0.00139033 0.00103485STIL 0.002341498 0.00098693 0.00102692 0.00071577 0.00219396 0.003025 -1.6746E-05

MONOPRIX 0.00245249 0.00087671 0.00111827 -0.00044383 0.000875 -9.2164E-06 8.1144E-05





UIB 0.00088474 -0.0003704 0.00133243 -6.2762E-05 0.00029683 0.00070922 0.0014788

SITEX 0.000916212 0.00098042 0.00074234 0.00022829 9.2141E-05 0.00035042 0.00103457

STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS0.00269312 0.0024498 0.00082665 4.449E-05 0.00360491 0.00066333 0.00253856 0.00328744

0.00397665 0.00325234 0.00042241 -0.00036999 0.00339121 0.00172887 0.00287382 0.00119777

0.00151057 0.00243478 0.00080115 -3.3955E-06 0.00371241 0.00138067 0.00211203 0.00245707

0.00091195 0.00140746 0.00044933 0.00034915 0.0017491 0.00167931 0.00096661 0.00059559

0.00325525 0.00192151 0.00035494 -1.1577E-05 0.00284848 0.00140897 0.00107418 0.0015859

0.00054524 0.00073464 5.6662E-05 -3.9166E-05 0.00041044 0.00083488 0.00092365 0.00092166

0.00085253 0.0016408 0.00066907 -0.00037227 0.00097921 0.00117047 0.00088562 0.001063

0.00583966 0.00150232 0.00027843 0.00046132 0.00358732 0.00092178 0.00126894 0.00233524

0.00150232 0.00760207 0.00055925 0.0002731 0.00531791 0.0022939 0.00290248 0.00144058

0.00027843 0.00055925 0.0028252 -0.00024927 0.0009938 0.00044393 0.00075833 -8.4437E-05

0.00046132 0.0002731 -0.00024927 0.00261881 0.00080268 4.4096E-05 0.00063643 0.00027060.00358732 0.00531791 0.0009938 0.00080268 0.02170901 0.00217135 0.00337005 0.00402538

0.00092178 0.0022939 0.00044393 4.4096E-05 0.00217135 0.0038828 0.00260043 0.00189501

0.00126894 0.00290248 0.00075833 0.00063643 0.00337005 0.00260043 0.01901899 0.00045217

0.00233524 0.00144058 -8.4437E-05 0.0002706 0.00402538 0.00189501 0.00045217 0.01821739

0.00026864 0.00122695 -1.9874E-05 -0.00016595 0.00251334 0.00160679 0.0017732 0.00664599

0.00102256 0.00336556 0.00091618 0.00081523 0.00539594 0.00180925 0.00465427 0.00550277

0.00097921 0.00152933 0.00082666 -0.00043221 0.00284368 0.00136385 0.00439847 -0.00020078

0.00179891 0.00219244 0.00015362 -0.00065911 0.00512397 0.00080038 7.1967E-05 0.00387709

0.00211671 0.00125278 0.00055717 -0.00089409 0.00540297 0.00150305 0.00351209 0.00045384

0.00094308 0.00128646 -2.2681E-05 0.00023129 0.00286108 9.7251E-05 0.00083139 0.00313897

0.00181152 0.00031792 0.0003675 0.00029785 0.00144861 0.001407 -0.00146556 0.00221057

0.00122697 -0.00054305 -0.00032513 0.00074409 0.00100157 -0.00028826 -0.00069253 0.0011742





ICF PALM TAIR PLACTN STIL MONOPRIX UIBSITEX

0.00076451 0.00291221 0.00149113 0.00129878 0.0023415 0.00245249 0.00088474 0.00091621

0.00047911 0.00201359 -0.00041324 0.00163009 0.00098693 0.00087671 -0.00037042 0.00098042

0.00143125 0.00183805 0.00110708 0.00155953 0.00102692 0.00111827 0.00133243 0.00074234

0.00045715 0.00173963 0.00078793 0.00047374 0.00071577 -0.00044383 -6.2762E-05 0.00022829

0.00034277 0.00117423 0.00051843 0.00146327 0.00219396 0.000875 0.00029683 9.2141E-05

0.00075321 7.557E-05 -0.00078397 -0.00139033 0.003025 -9.2164E-06 0.00070922 0.00035042

0.00051709 0.00102232 0.00170266 0.00103485 -1.6746E-05 8.1144E-05 0.0014788 0.00103457

0.00026864 0.00102256 0.00097921 0.00179891 0.00211671 0.00094308 0.00181152 0.00122697

0.00122695 0.00336556 0.00152933 0.00219244 0.00125278 0.00128646 0.00031792 -0.00054305

-1.9874E-05 0.00091618 0.00082666 0.00015362 0.00055717 -2.2681E-05 0.0003675 -0.00032513

-0.00016595 0.00081523 -0.00043221 -0.00065911 -0.00089409 0.00023129 0.00029785 0.00074409

0.00251334 0.00539594 0.00284368 0.00512397 0.00540297 0.00286108 0.00144861 0.00100157

0.00160679 0.00180925 0.00136385 0.00080038 0.00150305 9.7251E-05 0.001407 -0.000288260.0017732 0.00465427 0.00439847 7.1967E-05 0.00351209 0.00083139 -0.00146556 -0.00069253

0.00664599 0.00550277 -0.00020078 0.00387709 0.00045384 0.00313897 0.00221057 0.0011742

0.00546393 0.00297554 0.00083774 0.00102159 -0.00030599 0.00119676 0.00200794 -0.00018351

0.00297554 0.01313699 0.00101342 0.00107295 0.00113476 0.0031779 -0.00485576 -6.9622E-05

0.00083774 0.00101342 0.01316738 0.00075986 0.0005723 0.00022575 0.0015606 0.00049957

0.00102159 0.00107295 0.00075986 0.00606791 0.00092581 -4.8791E-05 0.00065158 0.00035374

-0.00030599 0.00113476 0.0005723 0.00092581 0.02731602 0.00070728 -0.00027558 -0.00017797

0.00119676 0.0031779 0.00022575 -4.8791E-05 0.00070728 0.00587719 0.00095766 0.00061757

0.00200794 -0.00485576 0.0015606 0.00065158 -0.00027558 0.00095766 0.01788255 0.00087705

-0.00018351 -6.9622E-05 0.00049957 0.00035374 -0.00017797 0.00061757 0.00087705 0.00802219





Matrice variance-covariance (rendements annuels)

ATB BDET BIAT BNDT BNA BS BT

ATB 0.046309391 0.05047713 0.01607449 0.050548818 0.047382432 0.054410562 -0.0191062

BDET 0.05047713 0.09605139 0.003254891 0.049054632 0.049008058 0.066779666 -0.0106391

BIAT 0.01607449 0.00325489 0.019144791 0.010617172 0.015102237 0.018601056 -0.0141533

BNDT 0.050548818 0.04905463 0.010617172 0.085564529 0.050358779 0.057491687 -0.0083749

BNA 0.047382432 0.04900806 0.015102237 0.050358779 0.055834045 0.052588029 -0.0310611

BS 0.054410562 0.06677967 0.018601056 0.057491687 0.052588029 0.066523349 -0.0180083

BT -0.019106192 -0.01063909 -0.01415329 -0.00837489 -0.031061132 -0.01800828 0.034073

STB 0.034122751 0.03162599 0.004607427 0.067366546 0.024385783 0.040885071 0.0143352

UBCI 0.027875001 0.02319819 0.017380018 0.02078205 0.015900275 0.036114866 0.0037716

BTEI 0.001078348 -0.01513473 0.002678482 0.016748622 -0.005352196 2.70028E-05 0.0128103

AMEN 0.053785474 0.06462084 0.015100149 0.068375981 0.049505175 0.06568182 -0.0092766

BH 0.052750914 0.0237518 0.01435227 0.105894405 0.04605076 0.056311118 0.0052265

TL 0.011810272 0.02129943 0.003137032 -0.00623219 0.006651879 0.016860059 0.0017038

SFBT 0.070895343 0.11200945 0.037771961 0.099201666 0.008985427 0.113377869 0.069076

AMS 0.038817396 0.00830007 -0.01878062 0.133310303 0.030755415 0.03500373 0.0404354

ICF 0.008660454 0.02230596 -0.00459506 0.01332349 0.013666344 0.010341101 -0.0068804

PALM 0.017415656 0.03247384 -0.00149108 0.03018656 0.013802144 0.02350245 0.0055656

TUNISAIR -0.036392942 -0.08886786 0.006570533 -0.03807797 -0.054114302 -0.04559425 0.0349342

PLACTSIE 0.013769882 0.01549638 -0.00388157 0.033974791 0.001550644 0.018466436 0.025112

STIL 0.042066498 0.04723986 0.024494156 0.080143279 0.02422228 0.058078128 0.0118648MONOPRIX 0.008435237 -0.00325623 0.005418692 0.03066457 -0.001212052 0.010751069 0.0158277

UIB -0.015571312 -0.01810068 -0.01160485 0.011891521 -0.039690668 -0.01240714 0.0561573





SITEX -0.004059342 0.02675761 -0.01229142 0.032336844 -0.019787959 0.005740053 0.0385012

STB UBCI BTEI AMEN BH TL SFBT AMS

0.03412275 0.027875 0.001078348 0.05378547 0.05275091 0.01181027 0.07089534 0.03881740.03162599 0.02319819 -0.015134732 0.06462084 0.0237518 0.02129943 0.11200945 0.00830007

0.00460743 0.01738002 0.002678482 0.01510015 0.01435227 0.00313703 0.03777196 -0.01878062

0.06736655 0.02078205 0.016748622 0.06837598 0.10589441 -0.00623219 0.09920167 0.1333103

0.02438578 0.01590028 -0.005352196 0.04950518 0.04605076 0.00665188 0.00898543 0.03075542

0.04088507 0.03611487 2.70028E-05 0.06568182 0.05631112 0.01686006 0.11337787 0.03500373

0.01433515 0.00377156 0.012810348 -0.00927664 0.00522652 0.00170375 0.06907598 0.04043537

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0.01332349 0.03018656 -0.03807797 0.03397479 0.08014328 0.03066457 0.01189152 0.03233684

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