Troisième Partie : Superoosition de deux ondes planes proqressives(40 % du barème de ce problème)
Dans un repère orthonormé direct R(O, ù,,û ,,ù ,), on considère deux ondesélectromagnétiques planes, progressives, monochromatiques, de même pulsation ro(O.P.P.M.) et polarisées rectilignement suivant /,. Ces deux ondes (Or) et (Oz) sepropagent dans le vide dans deux directions du plan (yOz) faisant avec I'axe (Oy)les angles -a et a :
Figure 3
On écrit, en notation complexe, les champs électriques de ces ondes en tout point M@Ivf -V) de coordonnées (x,y,z), sous la forme:
Erç,t1 - Eori(ox-ErÛ ,, (onde or) et Erçr,t'; = Eori(r'x-irû o, (onde oz), oùf'amplitude Eo est une constante réelle positive et le nombre complexe j est tel quej '= -1 .
3.1.1.1. Quel est le lieu des points où, à un instant donné, la phase de I'onde (Or)est constante? On caractérisera ce lieu par rapport au vecteur d'ond" f, .
3.1.1.2. Montrer que ces deux ondes sont en phase à I'origine O du repère R.Représenter graphiquement les plans d'onde respectivement de (Or) et (Oz)passant par le point O.
3.1.1.3. A partir des équations de Maxwell dans le vide, montrer que chacun deschamps électriques n, g,t1 et E, 1i,t1 satisfait à une équation aux dérivéespartielles, du second ordre, dite équation d'onde ou de d'Alembert. En déduire queEret E, sont de même norme.
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3.1.2. Ecrire fes composantes des vecteurs d'onde h et k2 des ondes (Or) et (Oz)dans R. En déduire, en notation complexe, les expressions des champs magnétiques
Et G,t) et Ez G,r) en fonction de 8", o, c et cr (c étant la élérité de la lumière dansle vide).
3.1.3,1. Les champs des ondes (Or) et (Oz) se superposent en tout point de l'espace.Ecrire, en notation complexe, I'expression du champ électrique E, 17,t1 résultant de
la superposition de E1 (i,r) et Ez G,t) au point M( Où =l) sous la forme:
ErG,t) = EotG)eiQ'x-Pv) û, , où p est une constante réelle.(tf*^ E.p [r7 .t P
9.1.9.2. Justifier, sans calcul, que le champ électrique E, 17,t1 vérifie l'équationd'onde.
3.1.3.3. Vérifier que Eo,G) est une fonction périodique de z dont on calculera la
période p en fonction de À et o (À étant la longueur d'onde dans le vide).
3.1.3.4. Donner I'expression de la phase du champ électrique résultant ; en déduirefa direction de propagation de la phase et la vitesse de phase Vq de Ê, (f ,t) .
3.1.4.1 Calculer, en notation complexe, les composantes du champmagnétique E,F,t)associé au champ résultant E, (7,r). Vérifier que E, 1î,t1 est la
somme de deux champs progressifs, E, (bngitudinal) et E, (transversal),respectivement parallèle et orthogonal à la direction de propagation de la phase del'onde résultante.
9.1.4.2. Comparer la structure de I'onde (8,,8,) à cefle de I'Onde Plane ProgressiveMonochromatique.
3.1.4.3. Donner les expressions réetles E, 1i ,t7 ,Ê, (7 ,r) et É, 11 ,t1 Fout' cr= 0 et
o=!. Décrire les phénomènes physiques correspondants.2
Dans la suite, I'angle o êst quelcongue.
g.2.L Calculer le carré ln,l' de la norme du champ étectrique réel Ê, . En déduire
f'équation des surfaces telles que ("tt)= ca , la notation ( ) désignant ici la
moyenne temporelle.
Paaa A cr rr 7
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3.2.2.1. La pulsation ro de ces ondes se situe dans le domaine visible. L'æil étant
sensible à I'intensité lumineuse I proportionnelle à (lt,f), Oru.iser les positions des
surfaces correspondant à une intensité maximate tr"]. "t
! une intensité minimale |,.,.,in.
3.2.2.2. On place un écran dans le plan y=0. Qu'observe-t-on ?Déterminer la période spatiale i (interfrange) de l'intensité lumineuse en fonction de cret de À.
3.3.1.1. Calculer le vecteur de Poynting fr de l'onde résultante (8,,À,) "t
sa valeur
moyenne au cours du temps (f). Que représentent les lignes de champ de (^R) ?
3.3.1.2. Pouvait-on, connaissant la structure de l'onde résultante, prévoir la directionet le sens de (n) ?
3.3,1.3. Déterminer la période spatiale p de (n).Comparerp à l'interfrange i lorsqu'ils'agit d'onde électromagnétique dans le domaine visible. Commenter.
3.3.1.4. En déduire la puissance moyenne P qui traverse une section Srectangulaire du plan (xOz) de côtés ((r,A grands devant la période spatiale p.
3.3.2.1. Calculer la valeur moyenne, dans le temps et dans l'espace, de la densitévofumique d'énergie électromagnétique notée 1u ).
3.3.2.2. Déterminer l'énergie électromagnétique moyenne qui traverse la sectionS(lx,l) au cours de I'intervalle de temps dt, puis en déduire la vitesse de propagationV" de l'énergie. Quelle relation simple trouve-t-on entre V" et Vr?
3.3.2.3. Représenter sur un même graphique les variations de V" et V" lorcque o
croit de 0 à i.
Commenter la figure obtenue.
Fin de l'épreuve
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