11/04/23 1
Master 1 – Outils statistiques
11/04/23 2
Plan du cours
Introduction aux plans d’expériences
Problématique
Notion d’espace expérimental
Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k
Plan à deux facteursPlan à trois facteursUn exemple de plan à cinq facteursNotation matricielle
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Construction des plans fractionnairesGroupe des générateurs d’aliasesCalcul des contrastesTechnique pour désaliaser
11/04/23 3
Problématique
Les systèmes peuvent être complexes. Ils sont pilotés par de nombreux paramètres de conception et de réglages (X1, X2, Xi,…).
L'objet des plans d’expériences (experimental designs) est de quantifier l'influence des paramètres sur la réponse à partir de résultats d'expérimentations.
11/04/23 4
Pour cela, il existe plusieurs stratégies d'expérimentation :
Les plans complets : Cette stratégie consiste à tester toutes les combinaisons des paramètres sélectionnés (très long et coûteux)
Les plans réduits : Cette stratégie consiste à tester une partie de toutes les combinaisons des paramètres.
Les plans Taguchi : Génichi Taguchi a proposé une sélection de plans réduits (non traité ici).
Problématique
11/04/23 5
Cette catapulte a été conçue de manière à ce que l’on puisse facilement modifier 5 des paramètres de construction ou d’utilisation :
1. bandage de l’élastique 2. accrochage de l’élastique3. position du bol sur le bras4. angle de butée de percussion5. angle d’armement Catapulte et ses différents réglages
Problématique
11/04/23 6
En résumé
Problématique
But: Optimiser la distance de tir!
11/04/23 7
Problématique
Méthode classique: on fixe le niveau de toutes les variables sauf une et on mesure la réponse y en fonction de plusieurs valeurs non fixées x1
11/04/23 8
Problématique
Méthode des plans d’expériences
On fait varier les niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience, mais de manière programmée et raisonnée.
Choquant? Non!!
Avantages (mais pas toujours intuitifs):
•Diminution du nombre d’essais.•Nombre de facteurs étudiés très grand•Détection des interactions entre facteurs•Détection des optimaux•Meilleure précision sur les résultats•Optimisation des résultats•Modélisation des résultats
DANS CE COURS, LE BUT SERA SURTOUT LA RECHERCHE DES FACTEURS INFLUENTS (PAS FORCEMMENT DE L’OPTIMAL)
11/04/23 9
Plan du cours
Introduction aux plans d’expériences
Problématique
Notion d’espace expérimental
Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k
Plan à deux facteursPlan à trois facteursUn exemple de plan à cinq facteursNotation matricielle
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Construction des plans fractionnairesGroupe des générateurs d’aliasesCalcul des contrastesTechnique pour désaliaser
11/04/23 10
Notion d’espace expérimental
La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée niveau. Lorsqu'on étudie l'influence d'un facteur, en général, on limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut.
11/04/23 11
Notion d’espace expérimental
11/04/23 12
Eventuellement: modéliser la réponse
Notion d’espace expérimental
11/04/23 13
Plan du cours
Introduction aux plans d’expériences
Problématique
Notion d’espace expérimental
Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k
Plan à deux facteursPlan à trois facteursUn exemple de plan à cinq facteursNotation matricielle
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Construction des plans fractionnairesGroupe des générateurs d’aliasesCalcul des contrastesTechnique pour désaliaser
11/04/23 14
PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX Ces plans possèdent un nombre de niveaux limité à deux pour chaque facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectuées au cours de l'expérimentation. Ces plans peuvent être utilisés indistinctement pour les variables continus et pour les variables discrètes.
Plans factoriels complets à deux niveaux
Exemple: Le rendement d’une réaction dépend de t° et de P.
A B C D
60°C 80°C 60°C 80°C1 bar 1bar 2 bars 2 bars
11/04/23 15
P
2
1
60 80 t
C
A B
D
On peut démontrer que la meilleure stratégie consiste à choisir les 4 points aux extrémités du domaine expérimental.
Plans factoriels complets à deux niveaux
11/04/23 16
N essais T (facteur 1) P(facteur 2) rendement
1
2
3
4
-
+
-
+
-
-
+
+
60
70
80
90
Niveau - 60°C 1 bar
Niveau + 80°C 2 bars
Facile: meilleur rendement 80°C, 2 bars
Plans factoriels complets à deux niveaux
11/04/23 17
Plans factoriels complets à deux niveaux
P
+1
-1
-1 +1 t
y3
y1 y2
y4
60%
80% 90%
70%
70% 80%
Moyenne des réponses au niveau bas de t
)(2
131 yyy
)(2
142 yyy
y y
%54
1
)(2
1)(
2
1
2
1
4321
3142
yyyyE
yyyyE
t
t
Effet moyen de t
%104
14321 yyyyEP
Effet moyen de P
Moyenne des réponses au niveau haut de t
11/04/23 18
Plans factoriels complets à deux niveaux
%754
14321 yyyyI
Ajoutons la moyenne
11/04/23 19
Plans factoriels complets à deux niveaux
N essais T (facteur 1) P(facteur 2) rendement
1
2
3
4
-
+
-
+
-
-
+
+
60
70
80
95
Niveau - 60°C 1 bar
Niveau + 80°C 2 bars
Autre exemple, mais cette fois avec un catalyseur
11/04/23 20
%25,64
14321 yyyyEt
Effet moyen de t
%25,114
14321 yyyyEP
Effet moyen de P
%25,14
14321 yyyyEtP
Interaction température pression
Plans factoriels complets à deux niveaux
11/04/23 21
N essais Moyenne T (facteur 1) P(facteur 2) Interaction rendement
1
2
3
4
++++
-
+
-
+
-
-
+
+
+
-
-
+
60
70
80
95
diviseur 4 4 4 4
Effet 76,5 6,25 11,25 1,25
Plans factoriels complets à deux niveaux
11/04/23 22
Plans factoriels complets à deux niveaux
N° essai
M F1 F2 F3 Rep.
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
38
37
26
24
30
28
19
16
Plan complet à trois facteurs 23
11/04/23 23
N° essai
M F1 F2 F3 I12 I13 I23 I123
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
+
-
-
+
-
+
+
+
-
-
-
-
+
+
-
+
+
-
+
-
-
+
div. 8 8 8 8 8 8 8 8
Effet 27,5 -1 -6 -4 -0,25 -0,25 0,25 0
Plans factoriels complets à deux niveaux
Sans effet
11/04/23 24
Plans factoriels complets à deux niveaux
Construction des plans d’expériences
Signes du facteur 1: - + - + - + …Signes du facteur 2: - - + + - - + + …Signes du facteur 3: - - - - + + + + … Etc…
11/04/23 25
Plans factoriels complets à deux niveaux
11/04/23 26
Plans factoriels complets à deux niveaux
Sans influence
11/04/23 27
Plans factoriels complets à deux niveaux
1,3,9,11 identiques puisque les facteurs 2 et 4 sont sans influence
11/04/23 28
Plans factoriels complets à deux niveaux
Tout se passe comme si l’on avait répété quatre fois un plan à trois facteurs
11/04/23 29
Plans factoriels complets à deux niveaux
Meilleur résultat:Concentration maïs faiblePrésence de précurseurAbsence de glucose
11/04/23 30
Plans factoriels complets à deux niveaux
Notation matricielle
N essais Moyenne T (facteur 1) P(facteur 2) Interaction TP
1
2
3
4
++++
-
+
-
+
-
-
+
+
+
-
-
+
1111
1111
1111
1111
X
1111
1111
1111
1111
tX
transposée
11/04/23 31
Plans factoriels complets à deux niveaux
Matrice vecteur Y des réponses
12
2
1
4
3
2
1
4
1111
1111
1111
1111
E
E
E
I
y
y
y
y
Matrice vecteur E des effets
soit
XtY=4E
E=XtY/nUne fois généralisée:
11/04/23 32
Plan du cours
Introduction aux plans d’expériences
Problématique
Notion d’espace expérimental
Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k
Plan à deux facteursPlan à trois facteursUn exemple de plan à cinq facteursNotation matricielle
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Construction des plans fractionnairesGroupe des générateurs d’aliasesCalcul des contrastesTechnique pour désaliaser
11/04/23 33
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Pour 7 facteur, 27 = 128 essais!!!
Pour diminuer le nombre des essais en conservant la possibilité d'étudier tous les facteurs, les plans factoriels fractionnaires à deux niveaux sont introduits.
11/04/23 34
N° essai
M F1 F2 F3 Rep.
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
38
37
26
24
30
28
19
16
Plan complet à trois facteurs 23
N° essai
M F1 F2 F3 Rep.
2
3
5
8
+
+
+
+
+
-
-
+
-
+
-
+
-
-
+
+
37
26
30
16
Plan fract. 23-1
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
On expliquera ce choix plus tard
11/04/23 35
Plan complet
Plan fract.
I
Fact1
Fact 2
Fact 3
27,5
-1
-6
-4
27,5
-0,75
-6,25
-4,25
25,64
1
75,04
1
85322
85321
yyyye
yyyye
…
Très proches finalement… mais quel est le prix à payer??
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
11/04/23 36
8532123
8765432112
876543213
4
18
18
1
yyyyEE
yyyyyyyyE
yyyyyyyyE
Reprenons les calculs de E3 et E12
e3 = E3 + E12
E3 et E12 sont dits aliasés, e3 peut être appelé aliase ou contraste ou simplement effet.
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
11/04/23 37
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Nombre d’expériences divisé par 2.
Prix à payer: Les effets calculés ne sont plus « purs », ils sont mélangés ou aliasés avec les interactions.
Ici les interactions étaient négligeables donc
Interprétations d’une façon générale plus complexe!!
e3 E3
11/04/23 38
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Hypothèses d’interprétation
1. Les interactions du troisième ordre ou plus sont considérées comme négligeables.
2. Si un contraste est nul, cela peut signifier :que les effets aliasés sont nulsque les effets aliasés se compensent (cas rare)
3. Si deux effets sont faibles, on supposera que leur interaction l’est aussi
4. Si deux effets sont forts, on se mefiera de leur interaction qui peut également être forte.
11/04/23 39
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
N° essai
I F1 F2 F3 I12 I13 I23 I123
5
2
3
8
+
+
+
+
-
+
-
+
-
-
+
+
+
-
-
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
+
-
+
+
++
+
1
6
7
4
+
+
+
+
-
+
-
+
-
-
+
+
-
+
+
-
+
-
-
+
+
+
-
-
+
-
+
-
-
-
-
-
1er demiplan
2e demiplan
Identiques pour les facteurs 1 et 2
Si on considère le ½ plan sup. 3 = 12 équivalent à e3=E3+E12
Si on considère le ½ plan inf. 3 = -12 équivalent à e’3=E3-E12
Notation de Box
11/04/23 40
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Sur le premier ½ plan:
e1 = E1 + E23
e2 = E2 + E13
e3 = E3 + E12
eM = I + E123
Sur le deuxième ½ plan:
e’1 = E1 - E23
e’2 = E2 - E13
e’3 = E3 - E12
e’M = I - E123
Une colonne de signes multipliée par elle-même donne une colonne de signes +
I = 12 = 22 = 32
11/04/23 41
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Générateur d’aliases
Pour le ½ plan sup.
I = 123
I x 1 = 123 x 11 = 12231 = 23
2 = 13 3 = 12
générateur d’aliases
On comprend maintenant le choix des essais 5, 2, 3, 8. On a pris les essais correspondant aux signes + de l’interaction 123.
11/04/23 42
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Méthode dangereuse?
Non, on peut toujours réaliser la deuxième moitié du plan s’il y a un doute.
Au mieux, seulement la moitié des expériences est réalisée.
Outils qui s’adapte parfaitement à l’acquisition progressive des données
11/04/23 43
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Contruction des plans fractionnaires
2 facteurs -> 3 facteurs (23-1 fractionnaire)
N° essai
M F1 F2 I12
1
2
3
4
+
+
+
+
-
+
-
+
-
-
+
+
+
-
-
+
N° essai
M F1 F2 F3
1
2
3
4
+
+
+
+
-
+
-
+
-
-
+
+
+
-
-
+
3 = 12
On prend une interaction d’ordre élevé. Ici I12Générateur d’aliases : 123
11/04/23 44
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
I F1 F2 F3 I23 I123
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
-
+
+
-
+
-
-
+
Contruction des plans fractionnaires3 facteurs -> 5 facteurs (25-2 fractionnaire)
I F1 F2 F3 F4 F5 234 1235
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
-
+
+
-
+
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4 = 23 5=123
On prend deux interactions d’ordre élevé. Ici I23 et I23Deux générateurs d’aliases : I = 234 et I = 1235
11/04/23 45
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
11/04/23 46
Ces deux générateurs d’aliases : I = 234 et I = 1235 sont dits indépendants.
Ils traduisent le fait que 234 = 1235 = I
Si l’on multiplie entre eux les générateurs d’aliases indépendants, on obtient:
I x I = 1235 x 234I = 1223245 = 145
I = 234 = 1235 = 145
Tous ne présentent que des signes +
Le générateur I = 145 est dit dépendant
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Groupe des générateurs d’aliases des plans 2k-p
11/04/23 47
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Calcul des contrastes
I = 234 = 1235 = 145
I x 1 = 234 x 1 = 1235 x 1 = 145 x 11 = 1234 = 235 = 45
e1 = E1 + E1234 + E235 + E45
…
11/04/23 48
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Générateur d’aliases: faisons une parenthèse
Imaginons
4 = 1235 = 126 = 237 = 13
Ce qui donne comme GA indépendantsI = 1234 = 125 = 236 = 137
Les générateurs d’aliases dépendants se calculent à partir des générateurs indépendants en les multipliant 2 à 2, 3 à
3, et 4 à 4
11/04/23 49
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Multiplication 2 à 2
1234 x 125 = 3451234 x 236 = 1461234 x 137 = 247125 x 236 = 1356125 x 137 = 1267
Multiplication 3 à 31234 x 125 x 236 = 24561234 x 125 x 137 = 567125 x 236 x 137 = 5671234 x 236 x 137 = 3467
Multiplication 4 à 41234 x 125 x 236 x 137 = 1234567
11/04/23 50
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Le GGA devient:
I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 1356 = 2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 567 = 3467 = 1234567
Ouf! Heureusement on néglige les interactions d’ordre supérieur à 2 dans les calculs des contrastes.
11/04/23 51
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Notion de résolution:
On appellera plan de résolution III, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions d’ordre 2. C’est le cas d’un plan 23-1 défini par I = 123
e1 = E1 + E23
e2 = E2 + E13
e3 = E3 + E12
On appellera plan de résolution IV, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions d’ordre 3. C’est le cas d’un plan 24-1 défini par I = 1234
Exemple…
11/04/23 52
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Un exemple: le gâteau d’anniversaire
La réponse est la hauteur du cake mesurée en millimètres. Plus, il sera haut meilleur sera le résultat.
Comme on ne veut pas préparer 32 gâteaux, on décide d'exécuter un plan factoriel fractionnaire 25-2 en aliasant le facteur 4 sur l'interaction 123 et le facteur 5 sur l'interaction 13.
11/04/23 53
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Générateur d’aliases indépendants: 1234 et 135Générateur d’aliases dépendant: 1234 x 135 = 245
I = 135 = 245 = 1234
-
-++
11/04/23 54
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
I = 135 = 245 = 1234
I x 1 = 135 x 1 = 245 x 1 = 1234 x 11 = 35 = 1245 = 234
e0= E0 + E135 + E245 + E1234 E0
e1 = E1 + E35 + E1245 + E234 E1 + E35 e2 = E2 + E45 + E134 + E1235 E2 + E45 e3 = E3 + E15 + E124 + E2345 E3 + E15 e4 = E4 + E25 + E123 + E1345 E4 + E25 e5 = E5 + E13 + E24 + E12345 E5 + E13 + E24 e12 = E12 + E34 + E235+ E145 E12 + E34 e14 = E14 + E23 + E125 + E345 E14 + E23 Les contrastes sont simplifiés en tenant compte des hypothèses
d'interprétation (Hypothèse 1)
11/04/23 55
e0 E0 = 30e1 E1 + E35 = -11e2 E2 + E45 = 1e3 E3 + E15 = -2e4 E4 + E25 = 1e5 E5 + E13 + E24 = 12e12 E12 + E34 = 2e14 E14 + E23 = 1
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Cinq contrastes sont faibles. D'après l'hypothèse 2, on peut conclure que les effets et les interactions aliasés dans ces contrastes sont tous faibles. On néglige les facteurs Durée (2), Farine (3) et Sucre (4).
11/04/23 56
En revanche les contrastes e1 et e5 ne sont pas négligeables. Il faut donc se méfier de l'interaction E15 qui pourrait être forte (Hypothèse 4).
Cette interaction est aliasée avec le facteur 3 dans le contraste e3.
Comme ce contraste est faible, l'interaction l'est aussi (Hypothèse 2). On peut donc conclure qu'il y a 2 facteurs influents sur la hauteur du gâteau, la Température (1) et le nombre d'oeufs (5). Il n'y a pas d'interaction entre ces deux facteurs.
Si l'on veut un gâteau de bonne hauteur, il faut travailler à 160°C (niveau bas) et avec 4 oeufs (niveau haut).
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
11/04/23 57
Technique pour désaliaser
Un exemple: Un plan fractionnaire 25-2
On construit un plan de base 23 que l’on aliase avec les facteurs supplémentaires
4 = 123 et 5 = 13
Le groupe de générateur d’aliases devient
I = 1234 = 135 = 245
On obtient après simplification…
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
11/04/23 58
e1 E1 + E35 = -2,18e3 E3 + E15 = -3,33e5 E5 + E13 + E24 = -4,55
e2 E2 + E45 0 soit E2 0 et E45 0 e4 E4 + E25 0 soit E4 0 et E25 0 e12 E12 + E34 0 soit E12 0 et E34 0 e14 E14 + E23 0 soit E14 0 et E23 0
Semblent non significatifs
Semblent significatifs
Il est difficile de conclure car l’interaction 35 peut être différente de zéro étant donné que les effets 3 et 5 sont influents. De même pour les interactions 15 et 13…
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
11/04/23 59
e’1 E1 - E35
e’3 E3 - E15
e’5 E5 - E13
Il faudrait pouvoir calculer les contrastes:
E1 = (e1 + e’1)/2E35 = (e1 - e’1)/2
parce qu’on obtiendrait:
Nous devons donc bâtir un plan complémentaire
4 = 123 et 5 = -13
Avec comme GGA : I = 1234 = -135 = -245
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Générateur d’aliasesI= -135
11/04/23 60
E1
E2
E3
E4
E5
E15
E25
E35
E45
E12+E34
E13+E24
E14+E23
I +E1234
-1,34 1
-0,78 1
-0,07 1
-0,87 1
-3,84 1
-3,26 1
0,97 1
-0,84 1
0,22 1
0,09 1
-0,71 1
-0,68 1
25,45 1
Conclusion
Seuls deux facteurs sont influents et une forte interaction existe entre ces deux facteurs
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
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