Download pdf - Bac S 2013 Mathematiques Obligatoire

OBLIG

ATOIR

EBACCALAURAT GNRAL

SESSION 2013

MATHMATIQUES

Srie S

Dure de lpreuve : 4 heures Coefficient : 7

ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Les calculatrices lectroniques de poche sont autorises,conformment la rglementation en vigueur.

Le sujet est compos de 4 exercices indpendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un rsultat prcdemment donn dans le texte pouraborder les questions suivantes, condition de lindiquer clairement sur la copie.Le candidat est invit faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou nonfructueuse, quil aura dveloppe.Il est rappel que la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prisesen compte dans lapprciation des copies.

Avant de composer, le candidat sassurera que le sujet comporte bien 6 pagesnumrotes de 1/6 6/6.

13MASCOMELR1 page 1 / 6

EXERCICE 1 (4 points)

Commun tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants darbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des

plants proviennent de lhorticulteur H1, 25% de lhorticulteur H2 et le reste de lhorticulteur H3.

Chaque horticulteur livre deux catgories darbres : des conifres et des arbres feuilles.

La livraison de lhorticulteur H1 comporte 80% de conifres alors que celle de lhorticulteur H2nen comporte que 50% et celle de lhorticulteur H3 seulement 30%.

1. Le grant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les vnements suivants :

H1 : larbre choisi a t achet chez lhorticulteur H1 ,



C : larbre choisi est un conifre ,

F : larbre choisi est un arbre feuillu .

a. Construire un arbre pondr traduisant la situation.

b. Calculer la probabilit que larbre choisi soit un conifre achet chez lhorticulteur

H3.

c. Justifier que la probabilit de lvnement C est gale 0,525.

d. Larbre choisi est un conifre.

Quelle est la probabilit quil ait t achet chez lhorticulteur H1 ? On arrondira

103.

2. On choisit au hasard un chantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On sup-

pose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse tre assimil un

tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.

On appelle X la variable alatoire qui donne le nombre de conifres de lchantillon choisi.

a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.

b. Quelle est la probabilit que lchantillon prlev comporte exactement 5 conifres ?

On arrondira 103.

c. Quelle est la probabilit que cet chantillon comporte aumoins deux arbres feuillus ?

On arrondira 103.




Sur le graphique ci-dessous, on a trac, dans le plan muni dun repre orthonorm(O ; ~i , ~j

), la

courbe reprsentativeC dune fonction f dfinie et drivable sur lintervalle ec0, +db.

C

b

B

b

Ob

A~i

b

C

b

~j

On dispose des informations suivantes :

les points A, B , C ont pour coordonnes respectives (1, 0), (1, 2), (0, 2) ;

la courbe C passe par le point B et la droite (BC ) est tangente C en B ;

il existe deux rels positifs a et b tels que pour tout rel strictement positif x,

f (x)= a+b lnxx

.

1. a. En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f (1).

b. Vrifier que pour tout rel strictement positif x, f (x)= (b a)b lnxx2

.

c. En dduire les rels a et b.

2. a. Justifier que pour tout rel x appartenant lintervalle ec0, +db, f (x) a lemme signeque lnx.

b. Dterminer les limites de f en 0 et en +. On pourra remarquer que pour tout relx strictement positif, f (x)= 2

x+2 lnx

x.

c. En dduire le tableau de variations de la fonction f .

3. a. Dmontrer que lquation f (x)= 1 admet une unique solution sur lintervalle ec0, 1ec.b. Par un raisonnement analogue, on dmontre quil existe un unique rel de linter-

valle ec1, +db tel que f ()= 1.Dterminer lentier n tel que n

4. On donne lalgorithme ci-dessous.

Variables : a, b et m sont des nombres rels.

Initialisation : Affecter a la valeur 0.

Affecter b la valeur 1.

Traitement : Tant que b a > 0,1Affecter m la valeur

1

2(a+b).

Si f (m)< 1 alors Affecter a la valeur m.Sinon Affecter b la valeur m.

Fin de Si.

Fin de Tant que.

Sortie : Afficher a.

Afficher b.

a. Faire tourner cet algorithme en compltant le tableau ci-dessous que lon recopiera

sur la copie.

tape 1 tape 2 tape 3 tape 4 tape 5

a 0

b 1

b am

b. Que reprsentent les valeurs affiches par cet algorithme ?

c. Modifier lalgorithme ci-dessus pour quil affiche les deux bornes dun encadrement

de damplitude 101.

5. Le but de cette question est de dmontrer que la courbe C partage le rectangle OABC en

deux domaines daires gales.

a. Justifier que cela revient dmontrer que

11e

f (x)dx = 1.

b. En remarquant que lexpression de f (x) peut scrire2

x+ 2 1

x lnx, terminer la

dmonstration.




Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la r-

ponse choisie.

Il est attribuunpoint par rponse exacte correctement justifie.Une rponse non justifie nest

pas prise en compte. Une absence de rponse nest pas pnalise.

1. Proposition 1 : Dans le planmuni dun repre orthonorm, lensemble des points M dont

laffixe z vrifie lgalit |z i | = |z +1| est une droite.

2. Proposition 2 : Le nombre complexe(1+ i

p3)4

est un nombre rel.

3. Soit ABC DE FG H un cube.

Proposition 3 : Les droites (EC ) et (BG) sont orthogonales.

b

Ab

B

b CbD

bE b F

b

Gb

H

4. Lespace est muni dun repre orthonorm(O ;

i ,

j ,

k

). Soit le plan P dquation car-

tsienne x + y +3z +4= 0. On note S le point de coordonnes (1 , 2, 2).Proposition 4 : La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P a pour re-

prsentation paramtrique

x = 2+ ty =1+ tz = 1+3t

, t R.



Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit

Soit la suite numrique (un) dfinie sur N par :

u0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+1 =2

3un +

1

3n +1.

1. a. Calculer u1, u2, u3 et u4. On pourra en donner des valeurs approches 102 prs.

b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2. a. Dmontrer que pour tout entier naturel n,

un 6 n +3.

b. Dmontrer que pour tout entier naturel n,

un+1un =1

3(n +3un) .

c. En dduire une validation de la conjecture prcdente.

3. On dsigne par (vn) la suite dfinie sur N par vn = un n.

a. Dmontrer que la suite (vn) est une suite gomtrique de raison2

3.

b. En dduire que pour tout entier naturel n,

un = 2(2

3

)n+n.

c. Dterminer la limite de la suite (un).

4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

Sn =n

k=0uk = u0+u1+ ...+un et Tn =

Sn

n2.

a. Exprimer Sn en fonction de n.

b. Dterminer la limite de la suite (Tn).
