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Composantes cubiques normales des tenseurs spheriques

J. P. CHAMPION, G. PIERRE, F. MICHELOT ET J. MORET-BAILLY Ltrbortrtoire tlo .\pu trorrot?~ie t~~olPcrrlaire, Eqrripe de rec11er.clle ossocic;e trrr C.N.R.S.,

Ut~ i~ ,e r .s i t i de Dij017, 21000 DijOt7. Frxrtlce

R e ~ u le 8 juin 1976'

La construction complttte d e la matrice de passage des composantes 'standard' aux composantes 'cubiques normales' des tenseurs spheriques est etablie dans le cas des groupes propres SO(3) et 0 . Les valeurs numeriques des elements matriciels sont donnees jusqu'a J = 15. Les resultats sont ensuite etendus aux groupes impropres 0(3), T,/ et O,, utilises en physique atomique et moleculaire.

The entire matrix which connects 'standard' to 'cubic normal' components of spherical tensors is defined. Numerical values of the matrix elements are given up to J = 15. The results may be used for proper or improper groups (S0(3), O(3) - 0, T,/, 01,) useful in atomic and molecular physics.

Can. J. Phys., 55. 512(1977)

I. Introduction De nombrei~x systeines physiques possedent

en premiere approxiillation Line symttrie tlevte qui, B une meilleure approximation, se trouve rtduite: la symttrie reprtsentte initialement par un groupe G n'est finalelllent pliis que celle d'un sous-groupe H de G.

Un ion monoatomique [G = 0(3)] perturb6 par un champ exttrieur magnitique [ H = 0(2)], cristallin, etc. ..., ilne moltcule 'toiipie sphtrique' XY, (resp. XY,) [G = 0(3)] dont le groupe de recoiivrement est H = T,, (resp. 0,,) sont des exemples de tels systemes.

Pour t t i~dier ces systemes on est gtntrale~nent a ~ n e n t B i~tiliser des reprtsentations du groupe G 'orienttes' par rapport A celles du sous-groupe H . Nous nous limiterons aux cas oh G = O(3) et H = T, ou O,, qui se dtdi~isent directement de l'ttude des groupes G = SO(3) et H = 0.

Soit ( j )T ilne representation irrtductible du groilpe S0(3), et (J)9 sa reprtsentation matri- cielle standard (Cartan 1894) (voir Cartan (1952)). A tout t l tment R de SO(3) est associte - -

-^ p2 transforriiation unitaire:

Soit C une reprtsentation irrtductible dii sous-groupe 0 de S0(3), et D(') une de ses reprtsentations matricielles. A tout t l tment S de 0 est associte la transformation unitaire:

'Revision reque le 9 septembre 1976.

oh o dtsigne 1es difftrentes composantes de symttrie C.

La restriction de la reprtsentation ( j )T de SO(3) au sous-groupe 0 est en g tn t ra l rtduc- tible :

La rtduction s'effectue l'aide d'une matrice unitaire notte (J)G:

~ 4 ~ 1 T,(JNC) = C (J)G 111 (J) NCo 111

I,,

avec

oh N distingue les reprtsentations de mCme symttrie C ( N = 1, ... , ni pour C = Ci).

Le changement de base ainsi rtalist, oriente les reprtsentations matricielles de SO(3) relativement a celles de 0 (Hilico 1970). S t tant un t l tment de 0 , donc de S0(3), on a :

- 6NN'6CC' [ ( C ) ~ ( ~ ) ] u o ' [6] [(J'9(S)]NcoN'C'u' -

Les matrices (J)G ne sont bien dtfinies (a des facteurs de phase pres) que si ni 5 1. En effet, dans le cas contraire, qui est le cas gtntral , on conserve la mCme orientation lorsqu'on effectue une similitude quelconque sur N, c'est a dire u n changement de base du type :

[7 I A L ~ ~ o N'C'o ' - N'6 C'6 a '

- n 7 ~ C o

oh m est une matrice unitaire.

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Les composantes cubiques introdi~ites par Bethe (1929) sont les composantes d'un tenseur orient6 relativement au sous-groupe 0 .

De nombreux auteurs dtfinissent l'indice N de f a ~ o n arbitraire. Par exemple, Jahn (1938) le definit en prenant ( J ) ~ N c a O puis ( J ) ~ N C a i l puis (J)G '2 ... nuls aussi souvent qu'il est possible. Moret-Bailly (1961) live l'arbitraire sur N par des considerations physiques likes a ]'etude des molecules toupies spheriques en definissant des composantes cubiqi~es dites 'normales'.

En mtcanique quantique, les operateurs rota- tionnels et les fonctions d'onde de tels syst6mes peuvent s'exprimer sous forme de tenseurs spheriques irreductibles. Les operateurs associts a des observables sont des composantes totalement symktriques de ces derniers. 11s sont notts 3/fAl(K) oh K est l'ordre du tenseur (Moret- Bailly 1961).

Seuls les tenseurs d'ordre 0,4,6,8, ... possident une composante totalement symetrique dans 0; l'operateur rotationnel de perturbation prepon- derant, qui rtduit la symktrie spherique la symttrie cubique est donc l'optrateur A?,,,(4).

En choisissant des fonctions de base cubiques Y Nca(J) (fonctions propres du rotateur sphtrique orienttes dans 0) , on effectue une diagonalisation partielle par blocs de l'optrateur 2 , , ( 4 ) , chaque bloc ttant associe a une reprtsentation irreductible C du sous-groupe 0 .

La diagonalisation complite de l'operateur 2 A , ( 4 ) dtfinit les composantes cubiques normales., (Dans la suite, nous caracterisons les composantes normales par l'indice n la place de N.)

Moret-Bailly et al. (1965) effectuent ce calcul directement h partir des symboles 35 de Wigner: d'apris le thtorkme de Wigner-Eckart, les 616- ments matriciels de l'optrateur /f,,1(4) dans la base standard sont donnts par (Fano et Racah

D'aprks ce qui preckde, les tltments matriciels (4)GA sont parfaitement definis, a un facteur de phase pris, car il n'existe qu'une seule reprtsentation de type A, dans la dtcomposition

ZProctdk analogue au calcul des coordonnkes normales qui sont obtenues a partir des coordonnkes symktriques en diagonalisant la partie prkponderante du potentiel.

de ( 4 ) r . En d'autres termes, Yf,, est une corn- posante cubique normale de l'optrateur ten- soriel Les (4 )~ ,1" ' sont donnts par Jahn (1938) par exemple.

Les valeurs propres de la matrice

definissent les coefficients FL: ,,& (Moret- Bailly 1961), les vecteurs propres conduisent a la determination des elements (J)G,,cu"'.

Dans l'ktude des bandes de vibration-rotation triplement dtgentrees des toupies spheriques, seuls interviennent les coefficients du type F L ~ l l ~ a Ceux-ci sont diagonaux en o et independants de o, aussi Moret-Bailly (1961) a-t-il limit6 son calcul a une seule composante pour chaque reprtsentation irrtductible du sous- groupe: (J)GA,n', (J)GAzn', ,,,, "I, ( J ) ~ "' et ( J ) ~ f I F z z n l . (Les differentes composantes des tenseurs irreductibles seront nottes 1 et 2 pour la reprtsentation E et x,y,z pour les representations F, et F,.)

Dans cet article nous dtterminons les eltments ( J )~ , I cu" relatifs aux autres composantes, ntces- saires au calcul de tous les symboles 35 cubiques donnes par (Moret-Bailly 1961):

oh p reprksente le triplet p = nCo. Nous dkterminons egalement des symboles de

couplage dans le sous-groupe 0 qui correspondent aux symboles 35 dtfini par la relation [9].

Ces symboles de couplage dans le groupe et dans le sous-groupe (avec C, different de A,) interviennent dans de nombreux problimes, tels que le calcul des intensitts de transition, les ex- tensions tensorielles sous-groupe-groupe, etc.

11. Reprksentations matricielles de SQ(3) et de Q

Les coefficients ( J ) ~ p n ' calcules par Moret- Bailly et al. (1965) font passer des composantes 'standards' des tenseurs sphtriques (Fano et Racah (1959), p. 20) aux composantes cubiques normales A,, A,, E l , F,z, F,z. Dans ce paragraphe nous precisons le choix des representa-

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tions de SO(3) et de 0 intervenant dans le calcul des coefficients (J)Gllcu"' relatifs aux autres corn- posantes.

Les matrices d'CICments [(J)9(R)]l,, ."I ([I 1) sont les representations 'standards' du groupe SO(3) (Fano et Racah, p. 22):

Pour le sous-groupe 0 , la donnCe des coefficients (J)Gpnl dCji calculCs impose certains choix de phase que nous prCcisons ci-dessous. Les deux gkntrateurs, notCs C, et C, du groupe 0 , correspondent respectivement a une rotation d'angle 2x13 autour de I'axe du tritdre Oxyz et d'angle x/2 autour de I'axe Oz.

Pour les reprksentations unidimensionnelles A , et A, les matrices se rtduisent aux carac- t t res; pour les reprtsentations dtgtnCrCes E, F, e t F,, elles sont donnCes par le tableau 1.

111. Calcul de la matrice (J)G Les propriCtCs des reprtsentations matricielles

difinies a la Sect. I1 permettent de dCduire les Cltments ( J ) ~ p n ' les uns deb autres. D 'apr ts les relations 1, 2 et 4a, b on a :

Soit S un Cltment quelconqi~e du sous-groupe 0 , conformCment a [6], on peut ecrire pour tout C et pour tout 17:

- - --.- --TABLEAU l.-ReprCsentations matricielles du groupe 0

( C ) D ( S ) c3 c4 (J

soit encore :

x (J)~lICu,111'[(J)9(~)]ll l~m 111'

(111.1) Coeflcients relatifs fj. C = F1 ou F, Les matrices ( F 1 ) ~ ( C 3 ) et (F2)D(C3) sont

identiques (tableau I) et correspondent 2 une permutation circulaire des indices x,y,z: [I31 slCcrit alors :

[14] ( J ) ~ n c ' ' ' = x ( J ) ~ l l c z " l ' [(J)9(C3)],,,,"1 Ill '

De meme en considkrant I'opCration C,' on effectue une permutation circulaire de x,y,z en sens inverse et on obtient:

[15] (J )~ , ICyl l ' = x 111' ( J ) ~ l I C I 1 l l ' [(J)9(C32)]111,111

(111.2) Coeflcients relatifs fj. C = E La relation 13 pour C = E, S = C,, of = 1

donne :

(111.3) Applications: Calc~rl des (J)Gl,culll La matrice (J)!3(C3) intervenant dans [14],

[I51 et [I61 est la niatrice 9(J)($,0,+) (Fano e t Racah (1959), p. 22) correspondant i I'ClCment C3(+ = 0 = n / 2 , + = 0):

A partir des propriCtCs de cette matrice et de le relation gCnCrale (Moret-Bailly 1961),

[I81 - (- l)m (J)G "1 ( J ) G ~ - ~ - P

on obtient la relation suivante

[19] ( J ) ~ l , c , n l = (- i lC (- I ) ~ + i- (J)G1lc-ul

valable pour C = F, ou F, avec ( - I ) ~ ' = - 1 et (- 1)F2 = 1.

Les tltments (J)GllElnl, (J)GIIFIZ1lz et (J)GllF2S11'

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r = g ou u caracttrisant les representations de [24] [ ( C ) ~ ( ~ ) ] a . a = 1 ( J 1 ) ~ l l c , a . I n 1

O(3) live toute ambiguite. 111' ,lII

(IV.2) Repre'sentations matricielles de 0,, [(J)g(s)lnl,~1l ( J ~ ) G "CT'J

De la meme f a ~ o n , O,, etant isomorphe oh s est un element quelconque dl1 sous-groupe produit direct 0 x I, les representations de de O,, sont difinies par: A partir de [12] et [24] on obtient: [21a] ( C g ) ~ ( ~ , ) = ('")D(C,) = (')D(C,)

~ 2 5 ~ 1 C [ ( C ) ~ ( s ) ] , , a ( J )G "1 (J"G nCa" - 11Ca I l l

- [2 1 b ] ' C g ' ~ ( ~ 3 ) = - ( C U ) ~ ( S 3 ) = (')D(C3) a , ~ n

et deux autres relations analogues relatives aux c ( J ) G , ~ ~ , ~ ( J I ) G "Ca (c ) 111 ,a

11, C D(S)I,"" deux autres gCnCrateurs C, et S , du groupe 0,.

La encore, I'indice r = g ou u permet de POsOns

differentier les representations de O,, et de 0 ( J r n C ) ~ , a ' ' = C ( J ) G , , ~ ~ ~ I ( J T ) G , , " ~ ~ "

sans ambiguite. 111

( IV.3) Repre'sentations matricielles de Td Le groupe Td est isomorphe au groupe 0. Les

representations de T, (notees D*) sont identiques celles de 0 . Pour les deux ginerateurs C , et S ,

de Td (correspondant respectivement aux genera- teurs C , et C, de 0) on a les relations:

V. Matrice (")G relative au groupe des rotations O(3)

Nous envisageons successivement deux orien- tations des representations matricielles du groupe 0 ( 3 ) , la premiere relativement aux reprtsentations de O,,, la seconde relativement a celles de Td.

Les diffirentes matrices de passage des composantes standards aux composantes cubiques seront designees par le mCme symbole G ; les indices figurant dans 1'Ccriture complite d'un Clement matriciel precisent ]'orientation (0, ou Td) sans ambiguiti.

( V.1) Orientation de O ( 3 ) par rapport d O,, - -

.-= -' La matrke- ( J 5 ) ~ est definie par une relation analogue a [12]:

oh Test un ClCment quelconque du sous-groupe 0,.

D'apris [20a, b ] et [21a, b ] , quelque soit r = g o u u o n a ;

La relation 25a montre que la matrice ( J " ' C ) ~

commute avec toutes les matrices ("D(s) de la representation irreductible C. D'apris le theoreme de Schur, ( J " ' C ) ~ est une matrice scalaire. On a donc nkcessairement

et comme les matrices ( J ) ~ et (JT)G sont unitaires Ih(Jr,n,C)I = 1.

Nous choisirons la phase h(Jr,n,C) = 1 quelque soit Jr,n,C.

( V.2) Orientation de O(3) par rapport d Td La matrice (J')G est dtfinie par la relation:

oh Test un element quelconque du sous-groupe Td.

D'aprks [20a, b ] et [22a, b ] , suivant que l'on considire une operation propre ou impropre de Td on obtient deux types de relations:

Pour T = C , on a quelque soit r = g ou u

x [ (J )9(C3)]rn ,'I1 ( J r ) ~ l l , n c a

Pour T = S ,

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oh E, = 1 ou - 1 suivant que r = g ou u respec- TABLEAU 3. Correspondance entre les coefficients tivement. ('r)Gnc,"' et (J)G,,c,,"' (I'astCrisque indique un change-

ment de signe) (V.2a) Reprbentations de O(3) du type Jg Dans ce cas on a pour tout S de 0 SO(3) J 0 Al A2 E l E2 F1O F20

A partir de [12] et [29] et en faisant le meme raisonnement que dans le paragraphe prtctdent on obtient

Nous choisirons de la meme manikre la phase h(Jg,n,C) = 1 pour tout J , n, C:

1301 (Jg)GnCom = (J)G,~,"' (V.2b) Reprksentations de O(3) du type Ju Dans ce cas, on doit distinguer les opkrations

propres et impropres qui conduisent d 'aprb [27] et [28] B deux relations diffkrentes (changement de signe pour les opkrations impropres).

Pour C = A,, A,, F, ou F,, d'aprks le tableau 1 on a :

oh C' = A,, A,, F, et F, lorsque C = A,, A, , F, et F,.

Cette propriktt permet de remplacer [27] et [28] par la suivante:

Comme prtctdemment on est conduit B la relation

et en choisissant la phase h(Ju,n,C) = 1 pour tout J, n, C

Pour C = E on est conduit a chercher une transformation unitaire telle que

D'aprks la dtfinition des matrices ( E ) ~

(Tableau 1) on montre que 071 est unique B un facteur de phase prks

Des relations 27, 28 et 340, b on tire alors

Comme prtctdemment on est conduit B la relation

Nous choisirons les facteurs de phase suivant : 4 = 0 et h(Ju, n, E) = 1 pour tout J e t ?z

D'oh les relations:

Le tableau 3 rkcapitule [27], [30] et [38a,b].

VI. Symboles de couplage Suivant les notations de Moret-Bailly (1961)

et Hilico (1965) nous dtsignons par la meme lettre F tous les symboles de couplage introduits dans la suite. Les indices apparaissant dans l'tcriture d'un symbole F suffisent a caracttriser sans ambiguitt le groupe auquel i l est relatif et Cventuellement le sous-groupe par rapport auquel il est orientk.

(VI.1) Sy~?iboles F (IE SO(3) La relation 10 permet de calculer tous les

symboles 3J cubiques F(;: 2 J,;) difinis par Moret-Bailly (1961). Plusieurs tables de certains de ces symboles d'un type particulier ont ttk publites pour rtpondre B des besoins precis:

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(6 J , (Moret-Bailly et A]. 1965) F: J,;? et F A , , , (6 J J ! F A , , , et FYI JP (Hilico et Dang Nhu 1974)

;:) (Bobin et Hilico 1975)3

F(:: {' (Hilico et al. 1976)

Dans les problemes de liaison tensorielle groupe-sous-groupe, on est ament B effectuer des couplages tantBt dans le groupe, tantat dans le sous-groupe. I1 est alors indispensable d'utiliser des symboles de couplage dans le sous- groupe qui soient compatibles avec ceux du

Leur mtthode ne fait pas intervenir les symboles 3 J du groupe SO(3).

Nous proposons, dans ce paragraphe, une mtthode de calcul des symboles F de 0 B partir des symboles F de S0(3), qui ttablit directement la correspondance entre ceux-ci et ceux-la.

Pour Ji, ni et Ci (i = 1, 2,3) fixts, les symboles F de SO(3) sont proportionnels aux symboles F de 0 (Hilico 1965)

[39] F ( r ~ l C l a l J I rrzCzaz J z n3C3a3 J 3 1 =

K [ J I J 2 5 3 ) F ( C I C 2 C 3 ) rl1C1 r12C2 r 1 j C 3 ) a 1 02 a 3

groupe. Le calcul des symboles F de 0 peut Ctre (VI.2) Syr?7boles F de 0 effectut simplement en normalisant les symboles

Plusieurs auteurs, dont parrni les plus rtcents F de SO(3) par rapport aux reprtsentations Griffith (1962) et Hilico (1965) ont calcult des irreductibles deO; lecoefficient de normalisation symboles de couplage dans le sous-groupe 0 . dttermine le carrt du coefficient K.

Les syniboles Fde 0 sont ainsi dttermints B un facteur de phase pres. Nous proposons un choix de phase [tableau 43 coherent avec les tables de symboles V , Wet X de Griffith (1972) et des symboles 6j de Hilico (1965). (Certains symboles 3j publies par ce dernier ont ainsi des signes erronts.)

(VI.3) Syn~boles F de O(3) Les symboles F de O(3) orientts par rapport 0,, (resp. T,) s'obtiennent a partir des symboles F

du SO(3) orientts par rapport B 0 en utilisant la correspondance donnte par [25a, b, c] (resp. par le tableau 3).

Pour exemple :

(VI.4) Sytnboles F c/e 0,, et T, Les symboles F de 0, s'obtiennent ii partir de

eeux de 0 en-ajoutant aux types de symttrie C les indices g ou u avec les regles de stlection usuelles.

g x g = u x u = g

u x g = g x u = u

Les symboles F de T, sont identiques B ceux de 0.

3Dans la table publike par Bobin et Hilico (1975), les signes des syrnboles F':, ::' avec C = E, 12' = 0 et J' = 5,7,8,9,10,11,12,13 doivent Ctre changks.

VII. Composantes cubiques de tenseurs sphkriques, d'usage courant

Les matrices G permettent de passer des composantes standard d'un tenseur sphtrique quelconque B ses composantes cubiques; certains auteurs, inttressts par des composantes cubiques de tenseurs donnent implicitement une matrice G en calculant, par exemple, des combinaisons lintaires des harmoniques sphCriques prisentant la symttrie cubique; en pratique, leurs rtsultats sont difficilement utilisables pour un calcul de matrices G, en raison des risques d'erreur dus au choix des facteurs de phase et des coefficients de normalisation.

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TABLEAU 4. Symboles F du group 0

CI c 2 c 3 (31 (32 (33 F

'6mp disigne le symbole de Kronecker. = 0 si deux des indices sont identiques.

b ~ m ~ ! { = 1 pour une permutation paire de s j, z. =: - I pour une permuta~ion impaire de .T j8 .-.

C[cl dbsigne la dimension de la rcpresental~on r .

Les tenseurs sphtriques les plus simples ont pour composantes des conlbinaisons lintaires de polynomes homogenes par rapport aux coordon- ntes carttsiennes d'un point du c6ne isotrope de l'origine (Cartan 1938). Les composantes de tenseurs cubiques correspondants ont t t t don- ntes pour tout J par Moret-Bailly (1961); elles ne sont ni normales, ni normtes, ni ortho- gonales.

Par projection harmonique, on en dtduit immtdiatement des combinaisons lintaires des

que les autres colnposantes puisque leur utilisa- tion amene dans Lln probleme de mtcanique quantique, une factorisation nettement plus pousste des Cquations stculaires. Elles se dtduisent des algorithmes ttablis par Moret- Bailly (1961), et, explicitement, des tables numtriques de coefficients G calcultes jusqu'i J = 21 par Moret-Bailly et a/. (1965).

Michelot et Moret-Bailly (1975) et Michelot (1976) calculent, sous forme algtbrique (pour tout J ) une matrice quasi-diagonale dont les

harmoniques sphtriques qui sont des compo- vecteurs propres conduisent aux G normaux.

- - santes cubiques non normales de tenseurs Kibler (1968) a publit une table de coefficients sphe'iiqyes. De tel'lei cbmposantes ont t t t cal- de Clebsch-Gordan non normaux. cultes sous forme o r thonorm~e et exacte par Jahn (1938) ( J < lo), Hecllt (1960) ( J < 13) et Altman (1957, 1962), Altman et Bradley (1962) et Altman et Cracknell (1965) ( J < 12). Des tables dtcimales pousstes jusqu'8 J = 30 se trouvent dans Muller et Priestley (1966) et Muggli (1972). Fox et Ozier (1970) calci~lent par rtcurence des matrices qui, par diagonalisation conduisent a ces combinaisons, pour tout J.

Les composantes cubiques normales des tenseurs sphtriques sent bien plus inttressantes

Des tables numtriques de coefficients de Clebsch-Gordan normaux ont t t t publites par Moret-Bailly et a/ . (1965), Bobin et Hilico (1975), Hilico et Dang N h u (1974) et Hilico et a/. (1976).

Yi et a/. (1968), Dorney et Watson (1972), Kirschener et Watson (1973) ont donnt des tables de valeurs n u m t r i q ~ ~ e s proportionnelles B certains coeficicnts de Clebsch-Gordan normaux; les coefficients de proportionalitt ont CtC calcults par Hilico et a/. (1976).

Nous somlnes i la disposition de toutes les

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personnes inttresskes Dour Ieur envover des molecular symmetry groups (Prentice-Hall, Englewood . - ~

iables nurntriques de coefficients de klebsch- Gordan d'un type quelconque. HECHT, K. T. 1960. J . Mol. Spectrosc. 5, 355.

HILICO. J. C. 1965. Cah. Phys. 19,328.

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