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[ Corrig du baccalaurat S Pondichry \17 avril 2015

EXERCICE 1 4 pointsCommun tous les candidats

Partie A

1

2

3

1 2 3 4-1-2

C

a

1. On sait que e2x > 0 quel que soit le rel x, donc 1+e2x > 1> 0. Le dnomi-nateur tant non nul, la fonction f est drivable sur R et sur cet intervalle la

fonction tant de la forme3

u(x), avec u(x)= 1+e2x , donc u(x)=2e2x on

a :

f (x) = 3u(x)

(1+u(x))2 = 3 (2)e2x(1+e2x

)2 = 6e2x

(1+e2x

)2 > 0 car quotient de deuxnombres suprieurs zro. la fonction f est donc strictement croissante surR (comme le laisse supposer le graphique).

2. On a limx+

2x = et en posant X =2x, limX

eX = 0, do

limX

1+eX = 1 et enfin par quotient de limites limx+

f (x)= 3 : ceci montreque la droite () dquation y = 3 est asymptote C au voisinage de pluslinfini.

3. Sur lintervalle [0 ; +[, la fonction f est continue car drivable, strictementcroissante de f (0)= 3

1+1 = 1,5 3 : il existe donc un rel unique [0 ; +[tel que f ()= 2,999.La calculatrice donne :

f (4) 2,99899 et f (5) 2,9999, donc 4

Corrig du baccalaurat S A. P. M. E. P.

2. La fonction H est drivable sur R et sur cet intervalle :

H (x) = 32 2e

2x

1+e2x =3e2x

1+e2x =3e2x +331+e2x =

3e2x +31+e2x

3

1+e2x =3(e2x +1

)1+e2x

3

1+e2x = 3 f (x)= h(x).Donc H est une primitive de h sur R.

3. a. On a vu que sur R donc en particulier sur lintervalle [0 ; a] (avec a >),la fonction h est positive, donc lintgrale

a0h(x) dx est gale en units

daire la mesure de la surface limite par la reprsentation graphique deh, laxe des abscisses, et les droites dquation x = 0 et x = a.Mais comme h(x) = 3 f (x), cette surface est la surface limite par ladroite , la courbe C et les droites dquation x = 0 et x = a (voir lairehachure ci-dessus.

b. Daprs la question B. 2., on a :a0h(x)dx = [H(x)]a0 =H(a)H(0)=

3

2ln(1+e2a

)+ 32ln(1+e20

)=

3

2ln2 3

2ln(1+e2a

)= 32ln

(2

1+e2a).

c. Daprs la question prcdente, on sait que laire de Da , surface limitepar la droite , la courbe C et les droites dquation x = 0 et x = a estgale

3

2ln

(2

1+e2a).

Or limx+

e2x = 0, donc limx+

1+ e2x = 1 et limx+

(2

1+e2x)= 2, donc

finalement par composition, laire deD est gale limx+

3

2ln

(2

1+e2x)=

3

2ln2 1,04 (u. a.)


Partie A

1. On a pour tout naturel n, vn+1 =un+1b

1a = aun +bb

1a =

aun +b(1a)b

1a = aun ab

1a = a[un

b

1a

]= avn .

Lgalit vn+1 = avn , vraie pour tout naturel n montre que la suite (vn) estgomtrique de raison a.

2. On sait que vn = v0an ; donc si a ]1 ; 1[, alors limn+

an = 0, donc

limn+

vn = 0 limn+

un b

1a soit limn+un =b

1a .

Partie B

1. Aprs la taille la plante mesure 80(1 1

4

)= 80 3

4= 60 (cm). Au bout de

1 an elle a pouss de 30 cm ; elle mesurera donc en mars 2016 avant la tailles60+30 = 90 cm.

2. a. Dune anne sur lautre, tailler le quart revient multiplier par3

4= 0,75

et la pousse annuelle est de 30 cm, donc :

hn+1 = 0,75hn +30.

Pondichry 2 17 avril 2015


b. Mars 2015 correspondant n = 0, on a : h0 = 80 ; h1 = 90,h2 = 0,7590+30 = 67,5+30 = 97,5 : la suite semble tre croissante.Initialisation : on sait dj que h0 < h1 ;Hrdit : supposons quil existe p N tel que hp < hp+1, alors0,75hp < 0,75hp+1 0,75hp +30 < 0,75hp+1 +30 hp+1 < hp+2 :lhrdit est dmontre, donc la suite (hn ) est croissante.

c. Si la suite (hn ) converge vers , par continuit lgalit :

hp+1 = 0,75hp +30 donne en passant aux limites linfini := 0,75+30 0,25= 30 = 120.La plante aura donc une taille infrieure 120 cm. ( la calculatrice

h20 119,873 cm).On utilise le rsultat de la partie A avec la suite (hn ) et les coefficientsa = 0,75 et b = 30.

Comme1< 0,75< 1, la suite (hn ) converge versb

1a =30

10,75 =30

0,25=

120.


Les parties A et B peuvent tre traites indpendamment

Partie A tude de la dure de vie dun appareil lectromnager

1. a. Par symtrie P (1046 X ) = 0,16 et donc P (646 X 6 104) = 120,16 =10,32 = 0,68.

b. On vient donc de trouver que P (206 X 6+20)= 0,68 : donc 20.2. a. La variable Z est centre et rduite : elle suit donc une loi normale centre

rduite.

b. On part de P (X 6 64)= 0,16, do P (X 6 64)= P (X 84620)=

P

(X 84

620

)= P

(Z 620

).

Finalement P

(Z 620

)= 0,16

c. Le rsultat prcdent entrane que 20 0,9945 20

0,9945soit

20,111 103 prs.3. Dans cette question, on considre que = 20,1.

a. Il faut trouver :

P (246 X 6 60) 0,115 (calculatrice)b. On a P (X > 120)= 0,5P (846 X 6 120) 0,037.

Partie B tude de lextension de garantie dElEctro

1. a. SiG est la variable alatoire donnant le nombre de clients ayant pris lex-tension de garantie, puisque les tirages sont indpendants et de mmeprobabilit 0,115, G suit une loi binomiale B(12, 0,115).

La probabilit quexactement 3de ces clients fassent jouer cette extensionde garantie est gale :

P (G = 3)=(123

)0,1153(10,115)9 0,1114 soit 0,111 aumillime prs.

b. On a P (G > 6)= 1P (G 6 5) 0,001 au millime prs.



2. Si le client utilise lextension le gain algbrique est 65399 =334 ; Si le client nutilise pas lextension le gain algbrique est 65

a. Si le client utilise lextension le gain algbrique est 65399 =334 ; Si le client nutilise pas lextension le gain algbrique est 65.La variable alatoire Y prend donc deux valeurs 65 et 334 avec les pro-babilits respectives 0,885 et 0,115.

b. On a E(Y ) = 65 0,885+ (334) 0,115 = 19,115 19,12 (au centimeprs. Loffre est donc avantageuse pour lentreprise puisque celle gagnepresque 20( par client.

EXERCICE 4 5 pointsCandidat nayant pas suivi lenseignement de spcialit

Soit un cube ABCDEFGH darte 1.Dans le repre

(A ;

AB ,

AD ,

AE

), on considre les points M, N et P de coordonnes

respectives M

(1 ; 1 ;

3

4

), N

(0 ;

1

2; 1

), P

(1 ; 0 ; 5

4

).

1. Voir la figure la fin.

2. Dterminer les coordonnes des vecteursMN et

MP .

MN

(1 ; 1

2;1

4

)et

MP (0 ; 1 ; 2).Les vecteurs

MN et

MP ne sont pas colinaires, les droites (MN) et (MP) ne

sont pas parallles donc les points M, N et P ne sont pas aligns.

3. a. 10+(12

) (1)+

(1

4

) (2)= 1

2 12= 0

b. Lalgorithme 1 calcule le produit scalaireMN MP = 0, donc les vecteurs

sont orthogonaux donc les droites (MN) et (MP) sont perpendiculaires :le triangle MNP est donc rectangle en M.

4.

5. a. Si n est un vecteur normal au plan (MNP) une quation de celui-ci est :

5x8y +4z = d , avec d R ;

N (MNP) 8 12+41= d = 0= d

Une quation cartsienne du plan (MNP) est donc 5x8y +4z = 0.b. On traduit la relation vectorielle : M(x ; y ; z) FM = tn , t R

soit

x1 = 5ty 0 = 8tz1 = 4t

x = 1+5ty = 8tz = 1+4t

6. a. Les coordonnes de K vrifient lquation du plan et lquation param-trique de , soit :

5x8y +4z = 0x = 1+5ty = 8tz = 1+4t

5(1+5t)8 (8t)+4(1+4t) = 0

105t +9= 0 t = 9105

t = 335

.

Do x = 1+5( 335

)= 1 3

7= 47;

y =8( 335

)= 2435

;



z = 1+4( 335

)= 1 12

35= 2335

.

Donc F

(4

7;24

35;23

35

).

b. Puisque (FK) est orthogonale au plan MNP, [FK] est hauteur du ttradreMNPF, donc

VMNPF =1

3A (MNPFK).

Or MNP est rectangle en M, donc A (MNP= MNMP2

.

MN2 = 1+ 14+ 116= 2116MN=

p21

4;

MP2 = 1+4= 5MP=p5 ;

Donc V = 13p21

4 12p5

27

35= 124

212735

p5=

1

24

81

5p5= 9

24= 38.



EXERCICE 4 5 pointsCandidat ayant suivi lenseignement de spcialit

1. Voir le cours.

2. On considre le nombre deMersenne 2331.

a. Si 3 divise 2331 et 4 divise 2331, comme 3 et 4 sont premiers entre eux,daprs le 1. 12 devrait diviser 2331 ce qui est contradictoire avec ce quedit llve : il a donc tort.

b. 233 est un naturel pair donc 2331 est impair donc 4 ne peut le diviser.c. 21 [3] 23 (1)3 [3] 23 1 [3]

(23)11 (1)11 [3]

233 1 [3] ce qui montre que 3 ne divise pas 2331.d. S = 1+23+

(23)2+ (23)3+ + (23)10 ;

23S = 23+24+(23)3+ (23)3+ + (23)11, do par diffrence :

7S =(23)111 S =

(23)1117

.

e. S est une somme dentiers naturel donc est un entier naturel ; le rsultatprcdent montre que

(23)111 est donc un multiple de 7.

Finalement 2331 est divisible par 7.

3. 271= 1281= 127.Ce nombre nest divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (dans la divisionreste 1), ni par 11 (dans la division reste 7), ni par 13 (dans la division reste10) et comme 132 = 169, il est inutile de continuer : 127 est premier.

4. a. Comme on vient de le voir pour 127, lalgorithme cherche le reste de ladivision de 2331 par les naturels 2, 3, 4, etc., k 6

p2n 1 tant que le reste

est non nul.

Or on a vu que le nombre 2331 est divisible par 7, donc lalgorithme vaafficher ce diviseur 7 et CAS 2 .

Si on entre n = 7, lalgorithme affiche 12 et CAS 1 .b. Le cas 2 concernedonc les nombres deMersennenonpremiers et le nombre

k est le plus petit de ses diviseurs (diffrent de 1).

c. Le CAS 1 concerne les nombres Mersenne premier comme 271.



ANNEXE remettre avec la copie

EXERCICE 4 : Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit

A

B

C

D

E

F

G

H

+

+

+P

N

M

Algorithme 1 Algorithme 2 ( complter)Saisir xM, yM,zM,xN, yN,zN,xP, yP,zP Saisir xM, yM,zM,xN, yN,zN,xP, yP,zPd prend la valeur xN xM d prend la valeur xN xMe prend la valeur yN yM e prend la valeur yN yMf prend la valeur zN zM f prend la valeur zN zMg prend la valeur xP xM g prend la valeur xP xMh prend la valeur yP yM h prend la valeur yP yMi prend la valeur zP zM i prend la valeur zP zMk prend la valeur d g +eh+ f i k prend la valeur d g +eh+ f iAfficher k l prend la valeur d2+e2+ f 2

m prend la valeur g 2+h2+ i 2Si k = 0 et si l =m

Afficher : Le triangle MNPest rectangle isocle en M Sinon Afficher : Le triangle MNPnest pas rectangle ou nest pas iso-cle en M
