Download pdf - Daniel ALIBERT Étude locale des fonctions dérivables. … · Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volum e 4 2 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous

Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volume 4 1

Daniel ALIBERT

Étude locale des fonctions dérivables. Développements limités

Objectifs : Savoir chercher si une fonction d'une variable réelle est dérivable en un point. Calculer sa dérivée, et dans certains cas ses dérivées d'ordre supérieur. Pour les calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques suivantes : fonctions dérivées, développement limité. Savoir interpréter graphiquement les premiers termes d'un développement limité. Savoir utiliser un logiciel de calcul (Maxima) pour atteindre les objectifs précédents.


Organisation, mode d'emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple. Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours. Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours. Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante. Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités : - difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée, - difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire, - difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes. L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants. Ce livre comporte quatre parties.


La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple. La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés "exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées. La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes : (☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, (�) lorsqu'une méthode plus générale est décrite, (�) renvoie à une entrée du lexique. Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée. La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique. Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant


en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension.

Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires


Table des matières

1 A Savoir ........................................................................... 7 1-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle 7 1-2 Dérivations successives des fonctions ........... 10 1-3 Développements limités ................................ 12 1-4 Développements asymptotiques .................... 15 1-5 Étude locale des fonctions ............................. 16

2 Pour Voir ....................................................................... 20 2-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle20 2-2 Dérivations successives des fonctions ........... 28 2-3 Développements limités ................................ 31 2-4 Développements asymptotiques .................... 40 2-5 Étude locale des fonctions ............................. 43

3 Pour Comprendre et Utiliser .......................................... 57 3-1 Énoncés des exercices ................................... 57 3-2 Corrigés des exercices ................................... 72 3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 121

4 Pour Chercher .............................................................. 129 4-1 Indications pour les exercices ..................... 129 4-2 Méthodes ..................................................... 136 4-3 Lexique ........................................................ 139



1� A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations. Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle

Définition

Soit x0 un réel, et f une application définie sur un intervalle ouvert centré en x0, à valeurs dans R.

On dit que f est dérivable en x0 si le quotient : f (x) − f (x0)

x − x0

admet une limite lorsque x tend vers x0, en restant différent de x0.

Cette limite est la dérivée de f en x0, notée f'(x0).

� Une autre notation usuelle pour la dérivée de f en x0 est df

dxx0( ).

� Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une application définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en 0, notée ε, telles que l'égalité suivante soit vérifiée, pour |x – x0| assez petit :

f(x) = f(x0) + (x – x0) a + (x – x0) ε(x – x0).

Le réel a est la dérivée de f en x0.

� On dit souvent, par abus, que "l'expression f(x)" est dérivable.


� Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t , x0], on dit que f est

dérivable à gauche en x0, si le quotient f (x) − f (x0)

x − x0 admet une limite

lorsque x tend vers x0, avec x < x0.

Cette limite est la dérivée à gauche de f en x0, notée fg' (x0).

On définit de manière analogue la dérivée à droite. � Si f est dérivable pour tout x d'un ensemble I, on dit que f est dérivable sur I. L'application qui à x de I associe f'(x) est l'application dérivée de f, ou la dérivée de f.

Proposition

Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0.

Proposition

Soient f et g des fonctions dérivables en x0.

1) Pour tout couple de réels (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g est dérivable en x0, et :

(α.f + β.g)'(x0) = α.f'(x0) + β.g'(x0).

2) Le produit f.g est dérivable en x0, et :

(f.g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0).

Proposition

Soit f une application définie au voisinage de x0.

Soit g une application définie au voisinage de f(x0), composable avec f.

Si f est dérivable en x0, et g dérivable en f(x0), alors l'application composée g o f est dérivable en x0, et :

(g o f)'(x0) = g'(f(x0))f'(x0).


Proposition

Soient I et J, des intervalles de R, et f : I --. J une application continue bijective. On note f −1 l'application réciproque, de J dans I.

Si f est dérivable en x0, élément de I, et si f'(x0) est différent de 0, alors f −1

est dérivable en f(x0), et sa dérivée en f(x0) est :

f −1( )' f x 0( )( )=1

f' x0( ).

Les dérivées des fonctions usuelles sont à connaître, ainsi que leur domaine de définition :

fonction dérivée domaine

x → xn, n ∈ Z x → n.xn-1 si n < 0, x ≠ 0 si n ≥ 0, R

x → log(x) (logarithme naturel)

x →1

x

x > 0 x → ex x → ex R

x → sin(x) x → cos(x) R En application de ce tableau et des résultats précédents (dérivation d'une fonction composée), on obtient un autre tableau de formules de dérivation à connaître :

forme des fonctions dérivée u

v

u' v − uv'

v2

log(u) u'

u eu

u' eu

ax, a > 0 log(a)ax

x → xα, α ∈ R x → α.xα−1, x > 0 si α ∈ N


1-2 Dérivations successives des fonctions

Définition

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit f' sa fonction dérivée, également définie sur I. Soit a un point de I. Si f' est dérivable en a, on dit que f est deux fois dérivable en a, et la dérivée de f' en a est la dérivée seconde de f en a, notée f"(a). On définit ainsi de proche en proche la dérivée n-ième de f au point a par :

f (n)(a) = f (n−1)( )' (a).

� Autre notation : dnf

dxn x0( ). � Noter que l'existence de la dérivée n-ième en a suppose l'existence des dérivées d'ordre inférieur sur un intervalle ouvert centré en a, et pas seulement en a. � Si la dérivée n-ième d'une application existe sur un intervalle ouvert I, on dit que f est n fois dérivable sur I. Si de plus la dérivée n-ième est continue sur I, on dit que f est n fois continûment dérivable sur I, ou de classe Cn sur I. On écrira souvent f ∈ Cn(I). � Si la fonction f est n fois dérivable sur I, quel que soit n, on dit qu'elle est indéfiniment dérivable, ou encore de classe C∞. � La dérivée n-ième d'une somme de fonctions est la somme des dérivées n-ièmes de chacune.


Proposition

Formule de Leibniz. Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x0. Le produit fg est dérivable n fois également et :

fg( )(n)x0( )= Cn

k f (k) x0( )g(n−k ) x0( )k=0

k =n∑ .

� Dans cette formule, on convient que f(0) désigne f.

� Rappel. Le symbole Cnk désigne le coefficient du binôme :

Cnk = k!(n − k)!

n!.


1-3 Développements limités

Théorème

Formule de Taylor-Young. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. On suppose que la dérivée n-ième en x0 existe.

Il existe une fonction h → ε(h), définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'égalité suivante soit vraie, pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x0 contenu dans I :

f(x) = f x0( )+x − x0( )k

k!f (k) x0( )

k=1

n∑ + x − x0( )nε x − x0( ).

Définition

Soit I un intervalle ouvert, et x0 un élément de l'adhérence de I, c'est-à-dire un point de I ou une de ses extrémités. Soit f : I → R, une fonction. On dit que la fonction polynôme de x :

P(x – x0) = a0 + a1(x – x0) + … + an(x – x0)n

est un développement limité à l'ordre n de f en x0 si l'expression f(x) – P(x – x0) est de la forme (x – x0)nε(x – x0), la fonction h ∞ ε(h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0.

� P est la partie régulière du développement, et (x – x0)nε(x – x0) en est le reste, ou terme complémentaire. � La formule de Taylor-Young fournit un développement limité pour les fonctions qui en vérifient les hypothèses.

Proposition

Si P existe, il est unique.


Proposition

Si f et g admettent des développements limités à l'ordre n en x0, de parties régulières P et Q, alors : 1) Pour tout couple de réels, (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g admet un développement limité à l'ordre n en x0, dont la partie régulière est la combinaison linéaire α.P + β.Q des parties régulières des développements de f et de g. 2) Le produit fg admet un développement limité à l'ordre n en x0, dont la partie régulière s'obtient en tronquant au degré n le produit PQ. (C'est-à-dire en ne conservant que les monômes en (x – x0)k, k ≤ n).

Proposition

Si f admet un développement limité en x0, de partie régulière P, et

y0 = lim(f(x)) en x0, et si g est une fonction composable avec f qui admet un développement limité en y0, de partie régulière Q, alors on obtient un développement limité de gof en x0 en substituant P(x – x0) à y dans Q(y – y0), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable (c'est-à-dire significatif compte tenu des termes complémentaires)

Proposition

Soit f : [a , b]→ R, continue.

On suppose que f admet en x0 ∈ [a , b] un développement limité à l'ordre n, de partie régulière P(x – x0).

Soit F : [a , b] → R une primitive de f. Alors F admet un développement limité à l'ordre n + 1 en x0, dont la partie régulière est obtenue en calculant la primitive de P(x – x0) égale à F(x0) en x0.


formulaire

Les développements suivants en 0 sont à connaître parfaitement.

On figure ci-dessous la partie régulière de chaque développement limité.

fonctions développements ordre

x → (1 + x)α (ci-dessous deux cas

particuliers)

1+xk

k!α(α – 1)…(α − k +1)

k =1

n∑

n

x a1

1+ x 1− x + x2 +…+ (−1)nxn

n

x a 1+ x 1+ 12

x − 18

x2 + 116

x3 − 5128

x4

4

x → sin(x)

x −x3

3!+

x5

5!+ …+ (−1)p

x2p+1

(2p+1)!

2p + 2

x → cos(x) cos(x)=1− x2

2!+ x4

4!+… +(−1)p x2p

(2p)!

2p + 1

x → ex 1+ x +

x2

2!+ …+

xn

n!

n

x → log(1 + x) x −

x2

2+ …+ −1( )n+1 xn

n

n


1-4 Développements asymptotiques

Il s'agit de généraliser l'écriture de développements limités à différents cas : � Fonction non bornée au voisinage de x0.

� Développement au voisinage de l'infini.

Définition

Soit x0 un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé (�) de ce point, non nécessairement bornée sur ce voisinage épointé. On appelle développement asymptotique d'ordre n de f au voisinage de x0

une fonction rationnelle de la forme ai x − x0( )ii =p

i =n∑ , où p et n sont des

entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant :

x −>x0

lim f(x) − ai x − x0( )ii=p

i=n∑

x − x0( )−n

= 0.

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle non borné. On appelle développement asymptotique d'ordre n de f à l'infini une

fonction rationnelle de la forme aix− i

i =p

i =n∑ , où p et n sont des entiers relatifs

(p ≤ n), vérifiant (cas de +∞) :

x −>+∞lim f(x) − aix

i

i=p

i=n∑

xn

= 0.


1-5 Étude locale des fonctions

La dérivée permet dans certains cas de résoudre des problèmes de limites (on en a vu un exemple dans le volume 3, à propos de la recherche d'équivalents).

Proposition

Règle de l'Hôpital Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert centré en a, continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage épointé (�) de a, g non nulle sur un voisinage épointé de a, enfin :

f(a) = g(a) = 0. Alors si le rapport :

f' (x)

g' (x)

a une limite finie en a, le rapport : f (x)

g(x)

a également une limite finie, et :

x−>ax≠a

limf( x)g(x)

=

x−>ax≠a

limf' (x)g' (x)

.

Corollaire

Si f est continue en a, dérivable sur un voisinage épointé (�) de a, et si f' a une limite finie en a, alors f est dérivable en a, et :

x −>ax ≠a

lim f' (x)( ) = f' (a)).

� La dérivée en un point donne également des informations sur le comportement d'une fonction au voisinage de ce point (étude locale).


� Dans un calcul de limite, on peut toujours remplacer une fonction par son développement limité s'il existe au point considéré. � Le premier terme non nul du développement limité d'une fonction, s'il existe, est un équivalent de la fonction. Cela permet d'obtenir des informations géométriques sur le graphe de la fonction.

Proposition

Soit f : R→ R, dérivable en x0, admettant en x0 un maximum local ou un

minimum local. Alors f'(x0 ) = 0 .

Soit f une application définie sur un intervalle I. On rappelle que le graphe G de f (ou courbe représentative) est le sous-ensemble du plan R2 formé des couples (x , f(x)), x étant un point quelconque de I. Soit x0 un point de I, et M(x0) le point de G d'abscisse x0. Une droite passant par M(x0) a une équation de la forme :

y = f(x0) + a.(x – x0),

a désignant le coefficient directeur. Notons cette droite D(a).

Définition

Soit M(x) le point de G d'abscisse x. On dit que D(a) est tangente à G si la fonction :

x ∈ I, x→ distance(M(x), D(a)) est négligeable devant la fonction :

x→ distance(M(x), M(x0))

quand x tend vers x0 dans I.


M(x)

M(x0)

x0 x

Proposition

Soit f une fonction dérivable en un point x0. La droite D(f'(x0)) est la tangente à G en x0.

Proposition

Soit f une fonction admettant un développement limité au voisinage d'un point x0.

1) Si ce développement est à l'ordre 1 : f(x) = a0 + a1 (x – x0) + (x – x0)ε(x – x0)

la droite d'équation y = a0 + a1 (x – x0) est la tangente au graphe de f au point d'abscisse x0.

2) Si ce développement est à l'ordre 2 : f(x) = a0 + a1 (x – x0) + a2(x – x0)2 + (x – x0)2ε(x – x0)

la position du graphe est donnée par le signe de a2 (si a2 ≠ 0).

� Si a2 > 0, le graphe est au-dessus de sa tangente.

� Si a2 < 0, la courbe est au-dessous de sa tangente.


Définition

Une droite D est asymptote à G lorsque x tend vers l'infini si, quand x tend vers l'infini, la distance du point de G d'abscisse x à la droite D tend vers 0.

Proposition

Soit f une fonction admettant un développement asymptotique en +∞ de la

forme suivante : f(x) = a−1x + a0 +a1

x+

ε(x)

x.

La droite d'équation y = a−1x + a0 est asymptote à la courbe représentative.

� Si a1 > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote.

� Si a1 < 0, la courbe est au-dessous de son asymptote.

� Les mêmes considérations s'appliquent également en –∞.


2� Pour Voir

Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension.

2-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle

"On dit que f est dérivable en x0 si le quotient f(x) − f(x0)

x − x0

admet une limite lorsque

x tend vers x0, en restant différent de x0."

exemple 1

Si f est l'application définie par :

f(x) = x3 − x + 2,

on vérifie facilement qu'elle est dérivable en 1, et même en tout point a :

f(x) − f(1)

x −1= x3 − x + 2− 2

x −1

=x(x −1)

x −1= x,

(ce calcul est fait pour x ≠ 1), donc :

x→1x ≠1

limf (x) − f (1)

x −1

= 1.


Plus généralement :

f(x) − f(a)

x − a

=

x3 − x + 2 − a3 + a− 2

x − a

=x3 − a3 − x + a

x − a

= (x − a)(x2 + ax+ a2) − (x − a)x − a

= x2 + ax+ a2 −1,

d'où :

x→ax ≠a

limf (x) − f (a)

x − a

= 3a2 −1.

On voit que le calcul est long, même dans un cas simple, d'où l'intérêt de méthodes et de formules générales.

exemple 2

(à traiter)

Soit g l'application "valeur absolue". Est-elle dérivable en 0, en 0,5 ?

# réponse

� En 0.

Il s'agit d'étudier la limite de l'expression x

x, quand x tend vers 0, en étant

différent de 0. On distingue deux cas :

si x > 0, x

x = 1, donc la limite à droite existe et vaut 1,

si x < 0, x

x = – 1, donc la limite à gauche existe et vaut – 1.


Ces deux limites partielles étant différentes, on conclut que g n'est pas dérivable en 0. � En 0,5, et plus généralement en a ≠ 0.

Dans ce cas, pour étudier la limite de x − a

x − a, on peut supposer x du même

signe de a, puisque x – a peut être supposé aussi petit que l'on veut. On conclut que g est dérivable, de dérivée 1 si a > 0, et de dérivée – 1 si a < 0.

"Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une application définie

sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en 0, notée ε, telles que l'égalité suivante soit vérifiée, pour |x – x0| assez petit :

f(x) = f(x0) + (x – x0) a + (x – x0) ε(x – x0)."

exemple 3

Prenons l'exemple de l'application définie par f (x) = x2 + x +1.

Étudions la dérivabilité en 0 :

f(x) − f(0) = x2 + x +1 −1

=x2 + x +1 −1( ) x2 + x +1+ 1( )

x2 + x + 1+1( )= x2 + x + 1−1

x2 + x +1 +1( )= x

1

x2 + x +1+1( )+ x2 1

x2 + x +1 +1( ).


Or 1

x2 + x +1 +1( ) tend vers 1

2 en 0, d'où :

f(x) − f(0) = x1

2+ x

1

x2 + x + 1+1( )−1

2+

x

x2 + x +1 +1( )

.

Le deuxième terme du second membre :

x1

x2 + x +1 +1( )−1

2+

x

x2 + x +1 +1( )

est bien de la forme voulue, x ε(x), avec ε tendant vers 0 en 0, donc

f'(0) = 12

.

exemple 4

(à traiter)

Il est parfois plus pratique d'utiliser cette propriété pour démontrer la dérivabilité d'une fonction et calculer sa dérivée. Vérifier, de cette manière, que l'expression suivante est dérivable en 0 :

2x− 3+x2 + x cos(x)− x

x2 + x + 4

et calculer sa dérivée.

# réponse

On forme d'abord la différence entre l'expression et sa valeur en a (ici, a = 0) :

2x− 3+x2 + x cos(x)− x

x2 + x + 4− (−3) = 2x +

x2 + xcos(x)− x

x2 + x + 4


puis on essaie de mettre x – a (ici, simplement x) en facteur :

2x+x2 + x cos(x)− x

x2 + x + 4= x 2+

x + cos(x)−1

x2 + x + 4

.

On étudie maintenant la limite en 0 du terme en facteur de x :

2 +x + cos(x) −1

x2 + x + 4→ 2.

Si cette limite existe, l'expression est dérivable, et la limite est la dérivée. (Comparer avec un calcul utilisant les formules usuelles de dérivation !) On peut, plus directement, distinguer dans l'expression une "partie affine", 2x – 3, et une partie où x est en facteur d'une expression tendant vers 0,

xx + cos(x) −1

x2 + x + 4. On conclut alors que – 3 est la valeur en 0, et 2x la partie

linéaire, donc 2 la dérivée. Ce n'est d'ailleurs que lorsque ce "repérage" formel est simple qu'on pourra se dispenser du calcul usuel de la dérivée. On y reviendra plus tard dans le cas des fonctions de plusieurs variables.

"Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t , x0], on dit que f est dérivable à gauche

en x0, si le quotient f(x) − f(x0)

x − x0

admet une limite lorsque x tend vers x0, avec x < x0."

exemple 5

Reprenons l'exemple 2. L'application valeur absolue n'est pas dérivable en 0, comme on a vu, mais elle est dérivable à gauche, de dérivée – 1, et à droite, de dérivée 1.

exemple 6

(à traiter)

Soit r l'application définie par :


r(x) = (x − 1) x −1.

Elle est définie pour x ≥ 1. Montrer qu'elle est dérivable à droite en 1. Calculer la dérivée à droite en 1.

# réponse

Il suffit d'écrire : (x − 1) x− 1 = 0 + 0(x − 1) + (x − 1) x − 1,

ce qui prouve la dérivabilité, puisque r(1) = 0. La dérivée est 0.

"Si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0."

exemple 7

En particulier, si une application n'est pas continue, elle n'est pas dérivable. Ainsi, l'application "partie entière" n'est dérivable en aucun point de Z. Elle est toutefois dérivable à droite, de dérivée 0, en ces points.

exemple 8

(à traiter)

Inversement, une application peut être continue en x0 sans y être dérivable. On a vu la valeur absolue en 0 (exemple 1).

Déterminer pour quelles valeurs de α, réel, l'application Lα, définie par les expressions :

L α(x) = x−1+ xα log x( ) Lα(0) = 0,

est continue, respectivement dérivable, en 0.

# réponse

Si x tend vers 0, log(|x|) tend vers – ∞, x – 1 tend vers – 1. Le produit xα log(x) tend vers 0 si et seulement si α > 0, et n'a pas de limite si α ≤ 0.


� Conclusion : l'application Lα est continue pour α > 0.

Si on factorise Lα(x) + 1 – x par x, on obtient :

L α (x) +1− x = x xα−1 log( x )( ). Si α > 1, l'expression en facteur de x a bien une limite, sinon, elle n'a pas de limite.

� Conclusion : l'application Lα est dérivable en 0 pour α > 1, et L'α(0) = 0.

"Si f est dérivable en x0, et g dérivable en f(x0), alors l'application composée g o f est

dérivable en x0, et :

(g o f)'(x0) = g'(f(x0))f'(x0)."

exemple 9

Il se peut que g o f soit dérivable en un point sans que f le soit : ainsi l'application "valeur absolue" n'est pas dérivable en 0, mais si g est l'application "élévation au carré", l'application composée g o f :

x a x a x( )2 , est égale à g, donc dérivable en 0.

exemple 10

(à traiter)

Il se peut également que g o f soit dérivable sans que g le soit. Essayer de construire un exemple.

# réponse

On peut penser à composer les deux applications précédentes : (f o g)(x) = |x2| = x2, donc f o g = g est dérivable en 0.

Ici, f est dérivable à droite en 0, et g prend ses valeurs à droite de 0, justement.


"Soient I et J, des intervalles de R, et f : I →J une application continue bijective. Si f est

dérivable en x0, élément de I, et si f'(x0) est différent de 0, alors f -1 est dérivable en f(x0),

et sa dérivée en f(x0) est f −1( )' f x0( )( )=1

f' x0( )."

exemple 11

Il n'est pas nécessaire de connaître l'expression de la réciproque de f en fonction de la variable pour appliquer ce résultat. Soit f définie sur [0 , +∞[ par :

f(x) = x4 + x3 + x2 + 1.

Elle est continue, et bijective (car strictement croissante), de [0 , +∞[ sur [1 , +∞[. Elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule pas. Sa fonction réciproque est donc dérivable. Par exemple, au point 4 = f(1) :

f −1( )' (4) =1

f' (1)=

1

4+ 3+ 2=

1

9.

exemple 12

(à traiter)

Vérifier que l'application g définie par g(x) = x |x| est continue et bijective de R sur R. Son application réciproque est-elle dérivable sur R ? Quelle est sa dérivée, lorsqu'elle existe ?

# réponse

En effet pour x > 0, g(x) = x2, donc est dérivable, et g'(x) = 2x n'est pas nul. De même pour x < 0, g(x) = – x2, et g'(x) = – 2x. Comme g(0) = 0, on voit que g est continue, et strictement croissante (signe de la dérivée), donc bijective. Si on ne veut pas utiliser ce résultat, qui sera rappelé dans un prochain volume, on peut procéder directement : si x et y vérifient x |x| = y |y|, alors x et y ont le même signe, ou sont nuls tous les deux. Dans le premier cas, supposons par exemple x et y positifs, on a x2 = y2, et x =


y toujours à cause du signe. On raisonne de même si x et y sont négatifs. Donc g est injective. Si z est un réel positif, il a une racine carrée positive, soit x, d'où g(x) = z. Si z est un réel négatif, on raisonne de même, avec – z. On trouve que g est bien surjective, donc bijective. Enfin g est continue, comme on a vu plus haut, et dérivable pour x ≠ 0. En 0, g est également dérivable, de dérivée 0 :

g(x) − g(0)

x − 0=

x x

x= x.

Donc g-1 est dérivable en dehors de g(0), soit 0 :

g−1( )' (y) =1

2 y, si y > 0, g−1( )' (y) =

1

2 −y, si y < 0.

2-2 Dérivations successives des fonctions

Soit a un point de I. Si f' est dérivable en a, on dit que f est deux fois dérivable en a, et la

dérivée de f' en a est la dérivée seconde de f en a, notée f"(a). On définit ainsi de proche

en proche la dérivée n-ième de f au point a par f (n)(a) = f (n−1)( )' (a).

exemple 13

La fonction f définie par :

f(x) =1

1+ x2

est indéfiniment dérivable sur R. En effet elle est dérivable, car quotient de fonctions dérivables, et :

f ' (x) =−2x

1+ x2( )2.

On écrira cette égalité sous la forme :

f ' (x) = −2x× f(x)2.


Il en résulte, par récurrence, que f est dérivable à l'ordre n pour tout n. En effet, c'est vrai pour n = 1, comme on l'a vu, et si f est n fois dérivable, f' aussi d'après la relation ci-dessus, donc f est n + 1 fois dérivable.

exemple 14

(à traiter)

Vérifier que, dans l'exemple ci-dessus, on a la relation :

(1+ x2)f ' (x) + 2x × f(x) = 0

et en déduire une relation entre f"(x), f'(x), f(x). Calculer f"(0).

# réponse

La première relation est facile à déduire de l'expression de f'(x). On peut la dériver :

(1+ x2) ′ ′ f (x) + 4x ′ f (x) + 2f(x) = 0.

On trouve f"(0) = – 2f(0) = – 2.

"Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x0. Le produit fg est dérivable n fois

également et :

fg( )(n)x0( ) = Cn

k f (k) x0( )g(n−k) x0( )k=0

k=n∑ ."

exemple 15

Les fonctions exponentielle et cosinus sont indéfiniment dérivables, donc leur produit également, et la formule ci-dessus donne :

exp(x) cos(x)( )(n) = Cnk exp(x)(k ) cos(x)(n−k)

k =0

k =n∑ ,

soit :

exp(x) cos(x)( )(n) = Cnk exp(x) cos(x +( n - k)

π2

)k =0

k =n∑ ,


exp(x) cos(x)( )(n) = exp(x) Cnk cos(x+ (n - k)

π2

)k =0

k =n∑ .

exemple 16

(à traiter)

Déterminer la valeur en 0 de la dérivée d'ordre n de la fonction g définie par :

g(x) = ex2

.

On calculera g'(x) en fonction de g(x), puis on utilisera la formule de Leibniz.

# réponse

Pour la dérivée :

′ g (x) = 2xex2

= 2xg(x).

D'où :

g(n+1)(x) = 2xg(x)( )(n),

= 2 Cnk (Id)(k ) x( )g(n−k) x( ),

k =0

k=n∑

= 2xg(n) x( ) + 2ng(n−1) x( ).

Pour la valeur en 0, il vient :

g(n+1)(0) = 2ng(n−1) 0( ). Donc : � Si n est impair, g(n)(0) = 0, puisque g'(0) = 0. � Si n est pair, n = 2p, g(2p)(0) = 2(2p – 1)g(2p – 2)(0), d'où :


g(2p)(0) = 2(2p−1)g(2p−2) 0( )= 2(2p−1)2(2p− 3)g(2 p−4) 0( )= 2p(2p−1)(2p− 3)…3.1.g(0)

= 2p(2p−1)(2p− 3)…3.1.

2-3 Développements limités

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x0 un élément de I. On suppose

que la dérivée n-ième en x0 existe. Il existe une fonction h ∞ ε(h), définie sur un intervalle

ouvert centré en 0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'égalité suivante soit vraie, pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x0 contenu dans I :

f(x) = f x0( )+x − x0( )k

k!f (k) x0( )

k=1

n

∑ + x − x0( )nε x − x0( ).

exemple 17

Pour les fonctions polynômes, la formule de Taylor, à un ordre supérieur ou égal au degré du polynôme, conduit à une égalité (sans terme ε(h)) :

f(x) = f x0( )+x − x0( )k

k!f (k) x0( )

k=1

n∑ .

exemple 18

(à traiter)

Écrire la formule de Taylor en 0, à l'ordre 6, pour la fonction g de l'exemple 16.


# réponse

A partir de la valeur des dérivées successives en 0, on trouve :

ex2= 1+ x2

2.2 + x4

4!.22.3+ x6

6!23.5.3+ x6ε(x),

= 1+ x2 + x4

2+ x6

6+ x6ε(x).

On dit que la fonction polynôme de x :

P(x – x0) = a0 + a1(x – x0) + … + an(x – x0)n

est un développement limité à l'ordre n de f en x0 si l'expression f(x) – P(x – x0) est de

la forme (x – x0)nε(x – x0), la fonction h --. ε(h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0."

exemple 19

Si f est définie par :

f(x) =1+ x + x2 +x2(cos(x)−1)

1+ x2,

alors 1+ x + x2 est son développement limité à l'ordre 2 en 0.

En effet, il est clair que (cos(x) −1)

1+ x2 tend vers 0 quand x tend vers 0.

exemple 20

(à traiter)

Vérifier, dans l'exemple précédent, que 1+ x + x2 est également le développement limité à l'ordre 3.


# réponse

Il faut s'assurer que l'on peut "mettre x3 en facteur" dans le terme :

x2(cos(x)−1)

1+ x2

l'autre facteur tendant vers 0. C'est-à-dire vérifier que (cos(x) −1)

x 1+ x2 tend

vers 0 quand x tend vers 0. Or le quotient (cos(x) −1)

x a pour limite la

dérivée de cos en 0, c'est-à-dire – sin(0), qui vaut bien 0.

"Si P existe, il est unique."

exemple 21

Ainsi, si la formule de Taylor s'applique à une fonction, les coefficients du développement limité sont égaux aux coefficients de la formule de Taylor, ce qui donne un calcul de la valeur des dérivées successives de cette fonction au point considéré.

Si f est la fonction étudiée à l'exemple 13, f(x) =1

1+ x2 , le développement

limité en 0 est le suivant (formulaire) : 1

1+ x2 = 1− x2 + x4 +… + (−1)px2p + x2pε(x).

Comme cette fonction est indéfiniment dérivable, on déduit les valeurs de ses dérivées en 0 :

f(2p+1)(0) = 0,

f (2p)(0) = (−1)p(2p)!

Le calcul est ici nettement plus facile par cette méthode que par un calcul des dérivées successives de f.


exemple 22

(à traiter)

Attention toutefois que ce raisonnement suppose la formule de Taylor utilisable. Il ne permet pas de démontrer l'existence d'une dérivée d'ordre supérieur à 1. Vérifier que la fonction définie par :

h(x) = 2− x + x2 − x3sin1

x , si x≠ 0, h(0) = 2,

a un développement limité à l'ordre 2 en 0, mais n'est pas dérivable deux fois en 0.

# réponse

On voit bien que 2 − x + x2 est le développement limité à l'ordre 2,

puisque le terme x3sin1

x est bien de la forme x2ε(x), ε(x) tendant vers

0 en 0. La fonction h est dérivable en 0 :

h(x) − h(0)

x= −1+ x − x2 sin

1

x ,

′ h (0)= −1.

Elle est également dérivable en dehors de 0 :

′ h (x) = −1+ 2x − 3x2 sin1x − x3 −1

x2

cos

1x

= −1+ 2x − 3x2 sin1

x + x cos

1

x .

En 0, h' n'est pas dérivable : ′ h (x) − ′ h (0)

x= 2 −3xsin

1

x + cos

1

x ,

et cette expression n'a pas de limite en 0, puisque les deux premiers termes ont une limite et le troisième n'en a pas.


"Pour tout couple de réels, (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g admet un développement limité à l'ordre n en x0, dont la partie régulière est la

combinaison linéaire α.P + β.Q des parties régulières des développements de f et de g."

exemple 23

Le développement limité à l'ordre 4 de cos(x + 1) en 0 s'écrit de la manière suivante : cos(x +1) = cos(x)cos(1) −sin(x)sin(1),

= (1−x2

2+

x4

4!+ x4ε(x)) cos(1)− (x −

x3

3!+ x4ε(x))sin(1),

= cos(1)− xsin(1)− x2

2cos(1)+ x3

3!sin(1)+ x4

4!cos(1)+ x4ε(x).

Remarquer sur cet exemple l'abus d'écriture usuel qui consiste à noter de la même manière les différents termes complémentaires (ε(x)), abus qu'il faut s'entraîner à utiliser. Remarquer également l'écriture du DL (développement limité) de sin(x) à l'ordre 4 à partir de la formule standard.

exemple 24

(à traiter)

Écrire le DL à l'ordre 3 en 0 de ex+1.

# réponse

Il suffit de remarquer que ex+1 = e.ex, d'où :

ex+1 = e(1+ x + x2

2+ x3

6+ x3ε(x))

= e+ ex+ ex2

2+ e

x3

6+ x3ε(x).


"Le produit fg admet un développement limité à l'ordre n en x0, dont la partie régulière

s'obtient en tronquant au degré n le produit PQ."

exemple 25

Il faut s'entraîner à ne pas écrire les termes superflus. Écriture du DL de l'expression exsin(x) à l'ordre 3 :

ex =1+ x +x2

2+

x3

6+ x3ε(x),

sin(x)= x −x3

6+ x3ε(x),

ex sin(x)= 1+ x+ x2

2+ x3

6+ x3ε(x)

x − x3

6+ x3ε(x)

= x + x2 − x3

6+ x3

2+ x3ε(x)

= x + x2 + x3

3+ x3ε(x).

Remarquer que, comme le DL de sin(x) est divisible par x, on aurait pu se contenter d'écrire le DL de ex à l'ordre 2.

exemple 26

(à traiter)

Écrire le DL de l'expression cos(x)

1− x en 0, à l'ordre 4.


# réponse

C'est un produit : cos(x)1− x

= cos(x)1

1− x

= 1−x2

2+

x4

4!+ x4ε(x)

1+ x + x2 + x3 + x4 + x4ε(x)( )

=1+ x + x2 1−1

2

+ x3 1−

1

2

+ x4 1

24−

1

2+1

+ x4ε(x)

=1+ x + x2

2+ x3

2+ 13x4

24+ x4ε(x).

"Si f admet un développement limité en x0, de partie régulière P, et y0 = lim(f(x)) en x0,

et si g est une fonction composable avec f qui admet un développement limité en y0, de

partie régulière Q, alors on obtient un développement limité de gof en x0 en substituant

P(x – x0) à y dans Q(y – y0), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable."

exemple 27

Écriture du développement limité en 0 à l'ordre 4 de l'expression : 1

1− sin(x).

En préliminaire, on écrit les DL de sin(x), et de 1

1− x. (formulaire) :

sin(x)= x − x3

6+ x4ε(x),

1

1− x= 1+ x + x2 + x3 + x4 + x4ε(x).

On substitue la partie régulière du DL de sin(x) dans le DL de 1

1− x.


On obtient :

1

1− sin(x)= 1+ x −

x3

6

+ x −

x3

6

2

+ x −x3

6

3

+ x −x3

6

4

+ x4ε(x).

On développe et on ordonne, en n'écrivant que les termes de degré au plus 4 :

1

1− sin(x)= 1+ x −

x3

6+ x2 − 2x

x3

6+ x3 + x4 + x4ε(x).

On obtient enfin : 1

1− sin(x)=1+ x + x2 + 5x3

6+ 2x4

3+ x4ε(x).

exemple 28

(à traiter)

Cela s'applique au cas où une fonction est un polynôme.

Écrire le DL à l'ordre 3 en 0 de 1+ x + x2 + x3 .

# réponse

Un DL préliminaire :

1+ x = 1+1

2x −

1

8x2 +

1

16x3 + x3ε(x).

D'où :

1+ x + x2 + x3 =1+1

2x + x2 + x3( )−

1

8x + x2 + x3( )2 +

1

16x3 + x3ε(x).

1+ x + x2 + x3 =1+1

2x +

1

2x2 +

1

2x3 −

1

8x2 −

1

82x3 +

1

16x3 + x3ε(x),

1+ x + x2 + x3 =1+1

2x +

3

8x2 +

5

16x3 + x3ε(x).

Remarquer qu'il est utile de savoir calculer des expressions comme (a + b +c)2, (a + b)3…


"On suppose que f admet en x0 ∈ [a , b] un développement limité à l'ordre n, de partie

régulière P(x – x0). Soit F : [a , b] --. R une primitive de f. Alors F admet un

développement limité à l'ordre n + 1 en x0, dont la partie régulière est obtenue en calculant

la primitive de P(x – x0) égale à F(x0) en x0."

exemple 29

Écriture du DL à l'ordre 4 de Arctan(x).

La dérivée est 1

1+ x2 , dont le DL à l'ordre 3 est facile à calculer :

1

1+ x2 = 1− x2 + x3ε(x),

d'où :

Arc tan(x)= Arctan(0)+ x − x3

3+ x4ε(x),

= x − x3

3+ x4ε(x).

En effet, Arctan(0) = 0. Bien noter qu'en intégrant on gagne un ordre.

exemple 30

(à traiter)

Écrire un DL à l'ordre 5 de log(1+ x2 ).

# réponse

En dérivant on obtient 2x

1+ x2 . Le DL à l'ordre 4 s'obtient en multipliant

par 2x le DL à l'ordre 3 de 1

1+ x2 . Ensuite il suffit d'intégrer :


2x1

1+ x2

= 2x 1− x2 + x3ε(x)( ),

= 2x− 2x3 + x 4ε(x),

log(1+ x2) = x2 − x 4

2+ x5ε(x).

Bien entendu, on peut aussi substituer x2 à x dans le DL de log(1 + x) à l'ordre 3 en 0, puis tronquer à l'ordre 5.

2-4 Développements asymptotiques

"Soit x0 un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé de ce point, non

nécessairement bornée sur ce voisinage épointé. On appelle développement asymptotique

d'ordre n de f au voisinage de x0 une fonction rationnelle de la forme ai x − x0( )ii= p

i=n∑

où p et n sont des entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant

x−>x0

lim f(x) − ai x − x0( )ii=p

i=n∑

x − x0( )−n

= 0."

exemple 31

Écriture d'un développement asymptotique de 1

x2 − 3x + 2 à l'ordre 1 au

voisinage de x0 = 1. On multiplie par (x – 1) pour obtenir une fonction développable au sens usuel, que l'on développe à l'ordre 2 :

x −1

x2 − 3x+ 2=

1

x − 2=

−1

1+ (1− x)= − 1− (1− x) + (1− x)2 + (1− x)2ε(x − 1)( ).

x −1

x2 − 3x + 2= −1+ (1− x) − (1− x)2 + (1− x)2ε(x −1).

On obtient donc le développement asymptotique à l'ordre 1 : 1

x2 −3x + 2= − 1

x −1−1− (x −1) + (x − 1)ε(x −1).


exemple 32

(à traiter)

Écrire le développement asymptotique en 0, à l'ordre 2, de 1

x + x2 .

# réponse

On met 1

x en facteur, puis on développe de manière usuelle :

1

x + x2 =1

x×

1

1+ x=

1

x1− x + x2 − x3 + x3ε(x)( ),

d'où : 1

x + x2 =1

x−1+ x − x2 + x2ε(x).

On appelle développement asymptotique d'ordre n de f à l'infini une fonction rationnelle

de la forme ai x−i

i= p

i=n∑ où p et n sont des entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant (cas de +∞) :

x−>+∞lim f(x) − aix

i

i=p

i=n∑

xn

= 0.

exemple 33

Il suffit de poser h =1

x, et de développer par rapport à h, pour h tendant

vers 0 (à droite si x --. +∞, à gauche si x --. – ∞). Écriture du développement asymptotique d'ordre 1 en +∞ de :

x2 +1 − x2 −1.


Ici h =1

x est positif :

x2 +1 − x2 −1 =1

h2 +1−1

h2 −1

= 1h

× 1+ h2 − 1− h2( )=

1

h× 1+

h2

2−1+

h2

2+ h2ε(h)

= h + hε(h)

= 1x

+ 1x

ε 1x .

exemple 34

(à traiter)

Écrire le développement asymptotique de la fonction précédente en – ∞.

# réponse

Ici, h =1

x est négatif, donc h2 = −h.

Le développement est donc :

x2 +1 − x2 −1 = −1

x+

1

xε

1

x .


2-5 Étude locale des fonctions

"Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert centré en a,

continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage épointé de a, g non nulle

sur un voisinage épointé de a, enfin f(a) = g(a) = 0. Alors si le rapport f' (x)

g' (x) a une limite

finie en a, le rapport f(x)

g(x) a également une limite finie, et

x−>alim

f(x)

g(x)

=

x−>alim

f'(x)

g' (x)

."

exemple 35

On utilisera cet énoncé quand le rapport des dérivées est plus simple que celui des fonctions. Étude du rapport :

log(x)

x −1,

lorsque x tend vers 1, par valeurs supérieures. Les conditions sont vérifiées, donc on peut regarder le quotient des dérivées :

1

x1

2 x −1

=2 x−1

x.

Ce quotient a pour limite 0 en 1.

Donc la limite de log(x)

x −1 en 1 existe et vaut 0.


exemple 36

(à traiter)

Déterminer la limite de l'expression :

x2 − 3x+ 2

sin(xπ)

lorsque x tend vers 1.

# réponse

On est bien dans les conditions d'application de ce résultat, donc on étudie le quotient des dérivées :

2x − 3

πcos(xπ).

En 1, la limite existe, et c'est −1

πcos(π)=

1

π.

"Si f est continue en a, dérivable sur un voisinage épointé de a, et si f' a une limite finie en a, alors f est dérivable en a, et

x−>ax≠a

lim f'(x)( ) = f' (a))."

exemple 37

Pour f définie par :

f(x) = x2 sin1

x , si x≠ 0, f(0) = 0,

on voit que la dérivée existe pour x ≠ 0, et vaut :

′ f (x) = 2x sin1x

− cos

1x

,

donc la limite en 0 n'existe pas. Pourtant f'(0) existe et vaut 0 : f (x) − f (0)

x= x sin

1

x → 0.


Ne pas utiliser de "réciproque" à cet énoncé.

exemple 38

(à traiter)

Faire la même étude pour :

f(x) = x3sin1

x , si x≠ 0, f(0) = 0.

# réponse

Dans ce cas, f'(x) existe, par un calcul direct, en x différent de 0 :

′ f (x) = 3x2 sin1x

− xcos

1x

.

Cette expression tend vers 0 en 0, donc f'(0) existe et vaut 0.

"Soit f : R --. R, dérivable en x0 , admettant en x0 un maximum local ou un minimum

local. Alors f'(x0 ) = 0 ."

exemple 39

On étudie la fonction définie par f(x) = 2x3 − 3x2. Sa dérivée est

′ f (x) = 6x2 − 6x. La dérivée s'annule pour x = 0, et x = 1. Ce sont les seuls points susceptibles d'être extremum local.

� f(0) = 0, et si x < 0, x3 < 0, donc f(x) < 0. Si 0 < x < 3

2, f(x) < 0. Donc

il y a bien un maximum en 0. � f(1) = – 1. On a :

2x3 − 3x2 +1= (x −1)2(2x+1),

donc f(1) > – 1 si 2x + 1 > 0, c'est-à-dire sur ]– 1

2 , +∞[. On a bien un

minimum local. NB : dans les deux cas, ce n'est pas un extremum absolu.


exemple 40

(à traiter)

La réciproque est fausse. Trouver un contre-exemple.

# réponse

On en rencontre souvent, par exemple f(x) = x3, en 0. Il suffit de trouver une dérivée qui s'annule sans changer de signe.

"Soit M(x) le point de G d'abscisse x. On dit que D(a) est tangente à G si la fonction x ∈

I, x → distance(M(x), D(a)) est négligeable devant la fonction x → distance(M(x), M(x0)), quand x tend vers x0 dans I."

exemple 41

Soit G la parabole, graphe de la fonction "carré", c(x) = x2. L'équation d'une droite D(m) passant par le point M(1) = (1, 1) est de la forme :

y = 1+ m(x − 1). La distance d'un point (x, x2) à cette droite est donnée par :

x2 −1− m(x −1)

1+ m2.

La distance de ce point à (1, 1) est :

(x −1)2 + (x2 −1)2 .

Le quotient est :


x2 −1− m(x− 1)

(x −1)2 + (x2 −1)2 1+ m2=

x −1 x + 1− m

x − 1 1+ (x +1)2. 1+ m2

=x + 1− m

1+ (x +1)2 . 1+ m2.

Sa limite en 1 est : 2 − m

5. 1+ m2.

Elle n'est nulle que pour m = 2. La tangente est la droite d'équation : y = 1 + 2(x – 1).

exemple 42

(à traiter)

Vérifier que la droite d'équation y = x – 1 est tangente au graphe de la fonction x → log(x).

# réponse

Il faut d'abord trouver un ou des points d'intersection : log(x) = x – 1.

Il est clair que x = 1 est une solution de cette équation. Cherchons si la droite est tangente au graphe au point (1, 0). Il faut étudier le quotient :

log(x)− x +1

2 (x − 1)2 + log(x)2.


log(x)− x +1

2 (x − 1)2 + log(x)2=

x −1log(x)

x −1−1

2 x −1 (1+ log(x)x −1

2

=

log(x)

x − 1−1

2 (1+log(x)

x − 1

2.

On sait que le quotient log(x)

x −1 a pour limite 1 quand x tend vers 1.

On déduit que le quotient ci-dessus tend bien vers 0.

Soit f une fonction dérivable en un point x0. La droite D(f'(x0)) est la tangente à G en x0.

exemple 43

On le vérifie bien dans l'exemple 41 : la dérivée de la fonction "carré" en 1 vaut bien 2, donc la tangente en (1, 1) est la droite d'équation

y – 1 = 2(x – 1).

exemple 44

(à traiter)

Procéder de même pour l'exemple 42.

# réponse

La dérivée du logarithme en 1 est bien 1 : la tangente en (1, 0) a pour équation y = x – 1.


"Dans un calcul de limite, on peut toujours remplacer une fonction par son développement

limité s'il existe au point considéré."

exemple 45

C'est un usage principal de l'outil "développement limité". Il permet en particulier d'étudier certaines "formes indéterminées" lorsque le recours aux équivalents n'est pas simple (sommes de fonctions). Étude de l'expression :

1+ x + x2 − 1+ x − x2

x2

lorsque x tend vers 0. Calcul préliminaire : DL des deux termes du numérateur. Il faut connaître (formulaire) le DL de 1+ t , t tendant vers 0, puis substituer l'expression voulue. Une des difficultés est qu'il n'est pas toujours facile de prévoir à quel ordre calculer ces DL intermédiaires : il est sans intérêt d'obtenir in fine un DL dont la partie régulière est nulle. Il est également sans intérêt et coûteux en temps de déterminer trop de termes. Ici, on calculera un DL à l'ordre 2 du numérateur pour voir s'il est possible de simplifier avec le dénominateur. On rappelle que :

1+ t = 1+1

2t −

1

8t2 + t2ε(t).

En substituant :


1+ x + x2 = 1+ 12

x + x2( )− 18

x + x2( )2 + x + x2( )2ε(x + x2)

= 1+ 1

2x + 1

2x2 − 1

8x2 + x2ε(x) = 1+ 1

2x + 3

8x2 + x2ε(x).

1+ x − x2 = 1+1

2x − x2( )−

1

8x − x2( )2 + x − x2( )2ε(x − x2)

= 1+ 12

x − 12

x2 − 18

x2 + x2ε(x) = 1+ 12

x − 58

x2 + x2ε(x).

On obtient donc :

1+ x + x2 − 1+ x − x2

x2 =1+

1

2x +

3

8x2 − 1+

1

2x −

5

8x2

+ x2ε(x)

x2

=1+ ε(x).

La limite existe et vaut 1.

exemple 46

(à traiter)

Étudier la limite de l'expression suivante lorsque x tend vers 0 :

ex2− cos(x)

x4 .

# réponse

On cherche un DL à l'ordre 4 du numérateur. Les DL à utiliser sont ceux de l'exponentielle (à l'ordre 2) et du cosinus (à l'ordre 4)(formulaire) :

ex =1+ x +x2

2+ x2ε(x),

cos(x)=1− x2

2+ x4

24+ x4ε(x).

D'où le DL de l'expression :


1+ x2 + x4

2−1+ x2

2− x4

24+ x4ε(x)

x4 =

32

x2 + 1124

x4 + x4ε(x)

x4

= 3

2x2 + 1124

+ ε(x).

Cette expression tend vers +∞ quand x tend vers 0.

"Le premier terme non nul du développement limité d'une fonction, s'il existe, est un

équivalent de la fonction."

exemple 47

Ainsi, dans les exemples précédents on a obtenu des équivalents des numérateurs :

1+ x + x2 − 1+ x − x2 ~ x2

ex2

− cos(x) ~3

2x2

On pourrait en déduire :

x→0lim

1+ x + x2 − 1+ x − x2

ex2

− cos(x)

=

2

3.

exemple 48

(à traiter)

Chercher un équivalent en 0 de l'expression : sin(x) – log(1+x) – x2.

# réponse

Écrire les DL en 0 des trois termes, à l'ordre au moins 2, 3 par exemple :


sin(x)= x −x3

6+ x3ε(x),

log(1+ x) = x −x2

2+

x3

3+ x3ε(x),

x2 = x2.

L'expression a donc le développement suivant :

−x3

6+

x2

2−

x3

3− x2 + x3ε(x)

d'où un équivalent :

sin(x) – log(1+x) – x2 ~ −x2

2.

"Soit f une fonction admettant un développement limité au voisinage d'un point x0. Si ce

développement est à l'ordre 1, f(x) = a0 + a1 (x – x0) + (x – x0)ε(x – x0), la droite

d'équation y = a0 + a1 (x – x0) est la tangente au graphe de f au point d'abscisse x0.

exemple 49

Soit f l'application définie par : f (x) =1+ x + xsin(x).

Écriture de l'équation de la tangente en (0, f(0)) au graphe de f. On trouve facilement le DL à l'ordre 1 de f en 0 :

f(x) = 1 + x + xε(x). L'équation de la tangente est donc :

y = 1 + x. Remarquer qu'il n'est pas nécessaire de calculer une dérivée.


exemple 50

(à traiter)

Déterminer l'équation de la tangente en (0, g(0)) au graphe de l'application g donnée par :

g(x) =x + x2

1+ x + 2x2 .

# réponse

Le développement limité à l'ordre 1 est :

( )( )).(²

)(2121

222

2

xxx

xxxxxxxx

xx

ε

ε

+=

+−−+=++

+

Donc la tangente a pour équation y = x. (Comparer avec le calcul de g'(0)).

"Si ce développement est à l'ordre 2 :

f(x) = a0 + a1 (x – x0) + a2(x – x0)2 + (x – x0)2ε(x – x0),

la position du graphe est donnée par le signe de a2 (si a2 ≠ 0). � Si a2 > 0, le graphe est

au-dessus de sa tangente.

� Si a2 < 0, le graphe est au-dessous de sa tangente."

exemple 51

On peut reprendre l'exemple 49 : f (x) =1+ x + xsin(x).

1+ x + xsin(x) =1+ x + x x + xε(x)( ) = 1+ x + x2 + x2ε(x).

La courbe est au-dessus de sa tangente.


Pour ne pas recommencer le calcul, on déterminera souvent non seulement la partie du premier degré, mais également le premier terme non nul qui suit.

exemple 52

(à traiter)

Dans l'exemple 50, étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente.

# réponse

Le développement à l'ordre 2 de g(x) est le suivant :

x + x2

1+ x + 2x2 = x + x2( ) 1− x + 2x2( )+ x + 2x2( )2 + x2ε(x)

= x + x2( )1− x − 2x2 + x2 + x2ε(x)( )= x + x2 − x2 + x2ε(x)

= x + x2ε(x).

Comme on le voit, le terme de degré 2 est nul, on n'obtient donc pas de renseignement sur la position. Généralisant l'énoncé précédent, on cherche le premier terme non nul de degré supérieur à 1 : on remarque que, comme x est en facteur au numérateur, il suffit de calculer l'autre DL à l'ordre 2, ce qui a déjà été fait ci-dessus.

x + x2

1+ x + 2x2 = x + x2( ) 1− x + 2x2( )+ x + 2x2( )2 + x2ε(x)

= x + x2( )1− x − x2 + x2ε(x)( )= x + x2 − x2 − x3 − x3 + x3ε(x)

= x − 2x3 + x3ε(x).


Il en résulte que la différence d'ordonnées, pour des points d'abscisse x, situés respectivement sur le graphe et sur la tangente, est x3 + x3ε(x). Cette différence change donc de signe selon le signe de x. On en conclut que le graphe traverse la tangente au point de tangence.

"Soit f une fonction admettant un développement asymptotique en +∞ de la forme

suivante f(x) = a−1x + a0 +a1

x+

ε(x)

x. La droite d'équation y = a−1x + a0 est

asymptote à la courbe. � Si a1 > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote. � Si a1 <

0, la courbe est au-dessous de son asymptote."

exemple 53

On note f la fonction définie par :

f(x) =1+ x + x2

1+ x2.

On détermine le comportement de cette fonction en +∞ et en – ∞.

Développement asymptotique (h = 1

x) en + ∞ :

1+ x + x2

1+ x2=

x2 1x2 + 1

x+1

x1x2 +1

= x1+ h + h2

1+ h2

= x 1+ h + h2( )1− h2

2+ h3ε(h)

= x 1+ h + 1

2h2 + 1

2h3 + h3ε(h)

= x +1+ 12x

+ ε 1 x( )x

.

La droite d'équation y = x + 1 est asymptote au graphe en +∞, le graphe est au-dessus de l'asymptote.


En – ∞, x2 = −x, et l'asymptote est y = – x – 1, au-dessous du graphe.

exemple 54

(à traiter)

Étudier de même à l'infini la fonction donnée par :

g(x) =x3 + x2 − x −1

x2 + x + 2.

# réponse

Tout d'abord, il faut déterminer un développement asymptotique. � En +∞ :

x3 + x2 − x −1

x2 + x + 2=

x3 1+ h − h2 − h3( )x2 1+ h+ 2h2( )

= x 1+ h − h2 − h3( )1− h − 2h2 + h2 + h2ε(h)( )= x 1+ h − h2 − h3( )1− h − h2 + h2ε(h)( )= x 1− 3h2 + h2ε(h)( )= x −

3

x+

1

xε 1 x( ).

L'asymptote en +∞ est la droite d'équation y = x, et le graphe est au-dessous de l'asymptote. � En – ∞, les calculs sont les mêmes, donc l'asymptote est la même, et le graphe est au-dessus de l'asymptote.


3� Pour Comprendre et Utiliser

3-1 Énoncés des exercices

Savoir reconnaître si une fonction est dérivable, calculer sa dérivée, ses dérivées successives.

exercice 1

Soit a un réel et f une fonction définie sur un intervalle ouvert centré en a. Pour h réel non nul tel que f soit définie sur [a – |h| , a + |h|], on note ms(h) le quotient :

ms(h)=f (a+ h) − f (a− h)

2h.

Si ms(h) a une limite lorsque h tend vers 0, on note cette limite f's(a), c'est la dérivée symétrique en a. 1) Étudier l'existence et la valeur de f's(a) (�) dans les cas suivants :

f(x) = |x|, a = 0,

f(x) = x sin1

x pour x≠ 0, f(0) = 0, a = 0,

f(x) = E(x) (partie entière), a = 1. 2) Montrer que si f a une dérivée à gauche et une dérivée à droite en a, alors la dérivée symétrique existe (☺). Exprimer sa valeur en fonction de la dérivée à gauche et de la dérivée à droite en a. 3) Examiner la réciproque : si la dérivée symétrique existe, alors la dérivée à gauche et la dérivée à droite existent (☺).


exercice 2

Existence et expression de dérivées. Pour les fonctions définies par les expressions suivantes, on demande d'étudier jusqu'à quel ordre (�) elles sont dérivables, d'écrire l'expression de leurs dérivées successives lorsqu'elles existent, ou d'en indiquer la forme générale.

1) f(x) = xk sin1

x , si x≠ 0, f(0) = 0. (☺) (�).

2) f (x) = e

−1

x2, si x ≠ 0, f(0)= 0. (☺) (�).

exercice 3

Dérivation et équations différentielles. Pour étudier l'expression de dérivées d'ordre (�) supérieur à 1, il est parfois plus facile de montrer que les dérivées successives ont entre elles une relation algébrique, plutôt que de procéder à la dérivation directement. Soit g la fonction définie par :

g(x) =1

1+ x2 .

1) Calculer directement les 5 premières dérivées de g, et formuler une conjecture concernant la forme de la dérivée d'ordre k quelconque : dénominateur, degré, signe et valeur du coefficient dominant du numérateur (☺). 2) Chercher des polynômes a(x) et b(x) tels que pour tout x réel :

a(x)g'(x) + b(x)g(x) = 0 (☺). (On dit que g est solution de l'équation différentielle (�) ay' + by = 0.) En déduire que g est de classe C∞ (�) (�). 3) En dérivant l'expression a(x)y'(x) + b(x)y(x), démontrer que pour tout k entier on a une relation du type suivant entre les dérivées successives :


u(k)dky

dxk + v(k)xdk+1y

dxk+1 + w(k)(1+ x2)dk+2y

dxk+2 = 0.

où u(k), v(k), w(k) sont des réels (☺). Établir des relations de récurrence entre (u(k), v(k), w(k)) et (u(k + 1), v(k + 1), w(k + 1)) (�). En déduire l'expression de u(k), v(k), w(k), en fonction de k. 4) En déduire la valeur de g(k)(0) selon la valeur de k (☺). 5) A l'aide de la relation démontrée ci-dessus, voir si la conjecture formulée à la première question est vraie (☺) (�).

exercice 4

Montrer que les fonctions définies par les expressions suivantes sont indéfiniment dérivables (�) (�) sur leur domaine de définition, et écrire la forme générale de leur dérivée d'ordre n. 1) g(x) = tan(x). Montrer que la dérivée d'ordre n est une expression polynomiale en g(x), dont on précisera le degré, la parité, et le terme dominant (☺) (�). 2) h(x) = x3e–x (☺).

3)m(x)=1

1− x2. (☺).

Savoir calculer un développement limité, ou asymptotique. Utiliser les développements limités (DL), ou asymptotiques, dans l'étude des limites.

exercice 5

Propriétés globales et développement limité. 1) On suppose que la fonction f est paire. Démontrer que les parties régulières (�) de ses développements limités en 0, d'ordre quelconque (s'ils existent) sont des polynômes pairs (propriété analogue pour impair) (☺).


2) Généraliser cette propriété pour un réel quelconque où f admet un développement limité (☺). 3) Si une fonction est positive, que peut-on dire de son développement limité ? (☺).

exercice 6

Quotient de DL (�). Pour étudier un quotient de fonctions à l'aide de DL, on doit savoir traiter le quotient de deux DL. Voici trois situations, en 0 :

1) Soit a+ bx+ cx2 + x2ε(x)

1+ x + x2 + x2ε(x) un quotient. En posant u = x + x2 + x2ε(x),

et en utilisant le DL de (1 + u)–1 quand u tend vers 0, calculer un DL de ce quotient (☺). 2) Dans le cas suivant, se ramener à un calcul analogue au précédent (☺) :

a+ bx+ cx2 + x2ε(x)

2 + x − 4x2 + x2ε(x)

3) Enfin pour a+ bx+ cx2 + x2ε(x)

2x− 4x2 + x2ε(x), calculer un développement

asymptotique (☺).

exercice 7

Tableau de DL à calculer : expression - ordre - point où le DL est à calculer (☺) (�). Attention : pour certains de ces cas, la bonne réponse est "il n'existe pas de DL", ou "il n'existe pas de DL à l'ordre demandé". Dans ce dernier cas, on cherchera s'il existe un DL d'ordre inférieur à celui demandé.


expression ordre point

1+ sin(x) (☺) 3 0

ecos(x) (☺) 4 0

log(x) (☺) 2 0

x3sin1

x , prolongé par 0 (☺)

3 0

ex cos(x) (☺)

4 0

x3 (☺) 3 1

x3 (☺) 3 0

x3 + x2 − x −1 (☺) 4 1

log(x + x2) (☺) 4 1

cos(x) (☺) 3 π4

e

−1

x2, prolongé par 0 (☺)

4 0

e−1x , x > 0 (☺)

3 0

log 1+ x( ), x ≥ 0 (☺) 3 0

log 1+ x( ), x ≥ 0 (☺)

2 2

x3 log(x), x> 0 (☺)

3 0


exercice 8

Écrire les développements asymptotiques suivants : expression ordre point

x −1

x + 3 (☺)

3 + ∞

x2 − x + 3

x3 −1 (☺)

2 1

tan(x) (☺)

3 π2

x3 + 2x −1

x +1 (☺)

3

– ∞

e

1

x2 +x (☺)

3 + ∞

e

1

x+ 1+x2 (☺)

2 – ∞

exercice 9

Recherche d'un équivalent à l'aide de développement limité. Il s'agit de trouver le premier terme non nul du développement limité.

expression point

cos(x)−4 − x2

4 + x2 (☺) 0

2sinx

2 −

x

1+ x2 (☺)

0

2 log(x)+ x2 − 4x + 3 (☺)

1

x tan(x)−sin(x)2 (☺) 0


exercice 10

Calcul de limites. Dans certains cas, la réponse peut être "il n'y a pas de limite", ou "l'expression tend vers +∞, – ∞" (�).

expression point

xx − x

1− x − log(x) (☺)

1

cos(x)( )1 xk

, k réel positif, x> 0 (☺)

0

log(1+ x)

log(x)

x

(☺) +∞

xlog x+ 1+ x2( )

log x2 + ex( ) (☺)

+∞

2

sin(x)2−

1

1− cos(x) (☺)

0

ex + e−x − 2

sin(x) 1+ x −1( ) (☺)

0

x

1

1−x (☺)1

log(e+ x)( )1 x (☺) 0

xe 1+x

x + log(x)( )2 (☺)

+∞

log(1− x) − log x2 −1 −1

(☺)

–∞

tan(x)log(1+ cos(x)) (☺)

π 2


Savoir interpréter le signe de la dérivée, les premiers termes d'un développement limité, ou d'un développement asymptotique pour l'étude locale d'une fonction ou de son graphe.

exercice 11

Soit f une fonction dérivable sur R et a un réel. 1) On suppose f'(a) = 0. Donner des exemples des trois situations suivantes : � f est strictement monotone (�) sur un intervalle ouvert centré en a. � f est monotone sur un intervalle semi-ouvert [a , b[, et sur un intervalle semi-ouvert ]c , a], de sens de variations différents. � Il n'existe aucun intervalle ouvert centré en a, ni d'intervalle semi-ouvert comme ci-dessus, où f est monotone (☺). 2) On suppose f'(a) ≠ 0. Existe-t-il un intervalle ouvert centré en a sur lequel f est monotone ? (☺). 3) Que peut-on dire sur ces différentes questions si, de plus, f' est continue en a ? (☺).

exercice 12

Soit h une application de R dans R, dérivable, telle que h(0) = 0. On suppose que pour tout x positif, h(x) ≥ x. 1) Donner des exemples de cette situation. Dans chaque cas, calculer h'(0). 2) Démontrer que h'(0) ≥ 1 (☺). 3) On suppose que le graphe de h est, au voisinage de (0, 0), au-dessus de la droite d'équation y = x. Démontrer que cette droite est tangente au graphe, et que, si h est deux fois dérivable, h"(0) ≥ 0 (�).


exercice 13

On propose les développements limités suivants pour une même fonction f, au voisinage de 0. Comme de coutume, ε(x) désigne ci-dessous une expression tendant vers 0 en 0. On a utilisé l'abus d'écriture usuel, selon lequel ε(x) ne désigne pas nécessairement la même expression dans chacune des égalités écrites.

(1) f(x) = x + x2 + x2ε(x),

(2) f(x) = 2x + 5x2 + x2ε(x),

(3) f(x) = x + x2ε(x),

(4) f(x) = −3x− x2 + x2ε(x),

(5) f(x) = x + xε(x),

(6) f(x) = −3x+ x2 + xε(x),

(7) f(x) = 2x + ε(x),

(8) f(x) = 2x + xε(x),

(9) f(x) = x + x2 − x2ε(x),

(10) f(x)= −3x+ x2 + x3ε(x).

1) Certains de ces développements sont compatibles (�) entre eux, d'autres non. Former des familles de développements compatibles (☺). 2) Dans une famille de développements compatibles, préciser quelles informations sont données par les différents développements, et classer la famille par ordre croissant de précision du développement (☺) (�). 3) On propose diverses représentations graphiques au voisinage de 0. On y a fait figurer une branche de courbe, et la tangente à l'origine. Établir, si possible, une correspondance entre chacun de ces dessins et une des familles déterminées plus haut (�). S'il reste des cas, proposer un développement limité à l'ordre 2 en 0 compatible avec chacun d'eux (☺).


Figure 1


Figure 2

Figure 3


Figure 4


Figure 5


Figure 6

exercice 14

Représenter, au voisinage du point indiqué, l'aspect du graphe de la fonction définie par l'expression ci-dessous : tangente, ou asymptote, position par rapport à la tangente, ou à l'asymptote (�). Pour le premier cas, on admettra que l'intégrale a bien un sens, la fonction à intégrer ayant une limite finie en 0.

expression point

et2sin2 (t)

1− 1− t2

dt

0

x

∫ (☺) 0

x2 − x

sin(xπ) (☺)

1


x2 − x −1 − x 2 − 2x − 1 (☺)

+∞

x2 − x 2 +1

x2 − 2 (☺)

2

x2 − x 2 +1x − 2

(☺)

+∞

x cos(x) − sin(x) (☺)

0


3-2 Corrigés des exercices

exercice 1-C

1) Si f(x) = |x|, le quotient est : h − −h

2h.

C'est donc 0, et la dérivée symétrique existe et est égale à 0.

Si f(x) = x sin1

x , le quotient est :

h sin1

h − −hsin

1

−h

2h.

C'est encore 0. Si f(x) = E(x), en 1, le quotient est :

E(1+ h) − E(1− h)

2h.

Si h > 0, il vaut : 1− 0

2h.

Si h < 0 : 0 −1

2h.

Dans les deux cas, il n'y a pas de limite en 0. 2) L'hypothèse signifie que le quotient :

f (a + h) − f (a)

h

a une limite si h tend vers 0, en restant positif, et une limite (éventuellement différente) si h tend vers 0 en restant négatif.


☺ indications pour résoudre - � méthode - � lexique

f(a + h) − f(a − h)2h

= f(a + h) − f(a)− f(a − h) − f(a)( )2h

= f(a + h) − f(a)2h

+ f(a − h) − f(a)−2h

.

Supposons h positif : le premier quotient tend vers ′ f d(a)

2, et le second vers

′ f g(a)

2. Si h est négatif, c'est l'inverse. Il en résulte que dans ce cas la

dérivée symétrique existe et :

′ f s(a) =′ f d(a) + ′ f g(a)

2.

(QC-1) Démontrer que si f est dérivable en a, la dérivée symétrique existe et est égale à f'(a). 3) Examinons les cas particuliers traités en 1. Pour le premier exemple, la dérivée symétrique existe, et les dérivées à gauche et à droite aussi. Pour le second, la dérivée symétrique existe. Pour la dérivée à droite par exemple, il faut chercher si le quotient :

xsin1

x − 0

x

a une limite quand x tend vers 0. On sait que ce n'est pas le cas. Nous avons donc un contre-exemple à la réciproque examinée. La réciproque est fausse. (QC-2) Donner une interprétation graphique de la dérivée symétrique, et de son existence dans les deux premiers exemples.



exercice 2-C

1) En dehors de 0, pour tout k, la fonction est dérivable, par composition de fonctions indéfiniment dérivables. Le seul problème est en 0. Si k = 0, la fonction n'est pas continue en 0. Si k = 1, elle est continue, mais pas dérivable. Si k ≥ 2, la fonction est dérivable en 0 :

xk sin1

x − 0

x= xk −1sin

1

x → 0.

La dérivée est égale à 0. Calculons f'(x) pour x ≠ 0 :

′ f (x) = kxk−1sin1x + xk − 1

x2

cos

1x

= kxk−1sin1

x − xk −2 cos

1

x .

Si k = 2, cette expression n'a pas de limite en 0, puisque le premier terme tend vers 0, et le second n'a pas de limite. En particulier f n'est pas deux fois dérivable. Si k ≥ 3, f est continûment dérivable en 0. La dérivée seconde en 0 est la limite, si elle existe, du quotient :

kxk −1sin1

x − xk−2 cos

1

x

x= kxk −2 sin

1

x − xk −3 cos

1

x .

Pour k = 3, cette expression n'a pas de limite en 0. La dérivée seconde n'existe pas en 0. Pour k ≥ 4, f"(0) existe et vaut 0. Essayons de généraliser. Il est utile de calculer quelques dérivées encore pour pouvoir conjecturer une forme. Un logiciel peut nous aider :



Supposons, par hypothèse de récurrence, que la dérivée d'ordre p de f, en dehors de 0, est de la forme :

.1

cos)(1

sin)(2

+

−

xxQ

xxPx pk

Dans cette formule, P et Q désignent des polynômes, dépendant de p et de k. Par dérivation, on voit que cette formule est bien vraie également pour la dérivée d'ordre p + 1. Par ailleurs, elle est vérifiée pour p = 1, avec P(x) = kx2, Q(x) = – 1. Il en résulte que si 2p + 2 ≤ k, la dérivée d'ordre p a pour limite 0 en 0, donc f est p fois continûment dérivable partout. Si k = 2p +1, la forme de



la dérivée d'ordre p – 1, qui existe, montre que la dérivée d'ordre p en 0 existe encore (mais f(p) n'est pas continue en 0). 2) Ici encore, en dehors de 0 la dérivabilité s'obtient par composition. On calcule quelques dérivées successives :

On peut, au vu de ces essais, formuler l'hypothèse de récurrence : la dérivée

d'ordre p est de la forme : e− 1

x2 Q(x)

x3p ,

où Q est un polynôme ne s'annulant pas en 0. Par comparaison de l'exponentielle avec la puissance, on en déduira que pour tout p la dérivée d'ordre p existe et est égale à 0 en 0.



La formule précédente est vraie pour p = 1 (Q(x) = 2), et la récursivité se vérifie par dérivation et réduction au même dénominateur. (QC-1) Interpréter géométriquement ce résultat.

exercice 3-C

1) Maxima calcule :

On observe que le dénominateur est (1 + x2)n+1. Le numérateur est un polynôme de degré n, de même parité que n, de coefficient dominant de valeur absolue (n+1)!, et de signe alterné. 2) On trouve facilement a(x) = 1 + x2, b(x) = 2x, par exemple en dérivant l'égalité :

g(x)(1 + x2) = 1.



On en déduit par récurrence que g est de classe C∞, puisque si g est n fois continûment dérivable, alors g' aussi donc g est n + 1 fois continûment dérivable. 3) En continuant à utiliser la méthode de dérivation de l'égalité ci-dessus, comme le suggère l'énoncé, on trouve d'abord sur quelques exemples :

On peut conjecturer les relations suivantes entre les coefficients :

u(k + 1) = u(k) + v(k), v(k + 1) = 2 + v(k),

w(k) = 1. On établit facilement ces relations en dérivant l'expression :

u(k)dky

dxk + v(k)xdk+1y

dxk+1 + w(k)(1+ x2)dk+2y

dxk+2 = 0.

et en identifiant à :



u(k +1)dk+1y

dxk +1 + v(k +1)xdk+2y

dxk+2 + w(k +1)(1+ x2)dk +3y

dxk+3 = 0.

Sachant que u(0) = 2, v(0) = 4, on déduit d'abord que v(k) = 2k + 4, puis que u(k) – u(k – 1) = 2k + 2 = 2 (k + 1), d'où :

u(k) – u(0) = 2 ( (k + 1) + k + (k – 1) + … + 2), d'où u(k) = (k + 1)(k + 2).

(QC-1) Retrouver ce résultat par la formule de Leibniz. 4) Pour x = 0, on obtient :

(k + 1)(k + 2)g(k)(0) + g(k+2)(0) = 0, g(k+2)(0) = – (k + 1)(k + 2)g(k)(0).

Or g'(0) = 0, et g(0) = 1, donc si k est impair, g(k)(0) = 0, et si k est pair, g(k)(0) = (– 1)k/2k! (cf. exemple 21). 5) La relation à utiliser est :

(k + 1)(k + 2)g(k)(x) + (2k + 4)xg(k+1)(x) + (1+ x2)g(k +2)(x) = 0.

On en tire g(k+2)(x) en fonction des dérivées précédentes :

−(k +1)(k + 2)g(k)(x) − (2k+ 4)xg(k+1)(x)

(1+ x2)= g(k +2)(x),

d'où par récurrence, si on suppose une forme :

g(k)(x) =(−1)k (k +1)!xk + (termes de degré inférieur à k)

(1+ x2)k +1 ,

g(k +2)(x) = −(k + 1)(k + 2)

(1+ x2 )× (−1)k (k +1)!xk + (degré inférieur à k)

(1+ x2)k +1

− (2k + 4)x(1+ x2)

× (−1)k+1(k + 2)!xk +1 + (degré inférieur à k +1)(1+ x2 )k+2



g(k+2)(x) = (−1)k+1(k + 2)!x k(k +1) + (degré inférieur à k)(1+ x2) k+ 2

− (−1)k+1(k + 2)!xk+2(2k + 4)+ (degré inférieur à k+ 2)

(1+ x2) k+3

g(k+2)(x) = (−1)k +1(k + 2)!xk+2 (k +1)− (2k + 4)[ ]+ (deg inf à k + 2)

(1+ x2)k +3

g(k+ 2)(x) = (−1)k +1(k + 2)!xk+2 −k −3[ ]+ (deg inf à k + 2)

(1+ x2)k +3

g(k+2)(x) = (−1)k +2(k + 3)!xk +2 + (deg inf à k + 2)

(1 + x2)k+3 .

La forme conjecturée est donc vérifiée par récurrence.

exercice 4-C

1) La dérivée est g'(x) = 1 + tan(x)2 = 1 + g(x)2. Donc si g est dérivable à l'ordre p, g' aussi, donc g est dérivable à l'ordre p + 1. Par récurrence, on déduit que g est indéfiniment dérivable. La dérivée première est un polynôme de degré 2 en g, pair, de terme dominant 1. On peut calculer quelques dérivées pour préciser une conjecture sur la forme de la dérivée n-ième. C'est faisable "à la main". Le recours à Maxima donne les résultats suivants :



On peut donc énoncer la conjecture suivante : la dérivée n-ième de g est un polynôme en g, de degré n + 1, de parité égale à celle de n + 1, de coefficient dominant égal à n! Cet énoncé se prouve par récurrence : si g(n)(x) = P(g(x)), P étant un polynôme ayant les propriétés données ci-dessus, alors :

g(n+1)(x) = (1 + tan(x)2)P'(g(x)). La parité de P' est différente de celle de P, donc égale à la parité de n + 2. La parité de (1 + g(x)2) est 2, donc (1 + g(x)2)P'(g(x)) est un polynôme en g(x) de parité égale à celle de n + 2. Si le degré de P est n + 1, celui de P' est n, et celui de (1 + g(x)2)P'(g(x)) est n + 2. Enfin, si le terme dominant de P est n!Xn+1, celui de P' est (n + 1)!Xn, et celui de (1 + X2)P'(X) est (n + 1)!Xn+2. La conjecture est donc prouvée par récurrence. 2) L'expression proposée est un produit de fonctions C∞, dont les dérivées ont une expression simple, on a donc recours à la formule de Leibniz. La dérivée n-ième de l'expression x3 est 0 si n > 3, la dérivée n-ième de l'exponentielle de – x est (– 1)ne-x, d'où :

h(n)(x) = x3(−1)ne−x + n3x2(−1)n−1e−x

+n(n −1)

26x(−1)n−2e− x +

n(n −1)(n− 2)

2 × 36(−1)n−3e−x

= (−1)n(x3 − 3nx2 + 3n(n−1)x− n(n −1)(n − 2))e−x.

3) Calculons m'(x) :



′ m (x) = −1

2(−2x)(1− x2)−3 2 =

x

(1− x2)3 2 .

La fonction m vérifie donc la relation différentielle : m'(x)(1 – x2) – x m(x) = 0.

Les polynômes, et leurs inverses quand ils sont définis, étant indéfiniment dérivables, on vérifie comme plus haut par récurrence que m est indéfiniment dérivable sur ]– 1 , 1[. Quelques calculs suggèrent la forme de la dérivée :

On peut donc écrire que la dérivée n-ième de m est de la forme :

Pn(x)

(1− x2)2n+1

2

,

où Pn(x) est un polynôme de degré n, de terme dominant n!, de parité égale à celle de n.



Pour calculer Pn(x), nous allons utiliser la technique de la relation différentielle. En dérivant n fois la relation écrite plus haut, on obtient, par la formule de Leibniz :

(1− x2)m(n+1)(x) − (2n+1)xm(n)(x) − n2m(n−1)(x) = 0

et en supposant par récurrence que les dérivées d'ordre n et n – 1 sont de la forme précédente, on obtient :

m(n+1)(x) = (2n+ 1)xPn(x)

1− x2( )(2n+1) 2[ ]+1 + n2 Pn−1(x)

1− x2( )(2n−1) 2[ ]+1

=(2n+ 1)xPn(x) + n2 1− x2( )Pn−1(x)

1− x2( )(2n+3) 2[ ]

Le numérateur :

(2n+ 1)xPn(x) + n2 1− x2( )Pn−1(x)

est bien un polynôme. Par hypothèse de récurrence, son terme dominant est :

(2n + 1)n! xn+1 – n2(n – 1)! xn+1 = (2n + 1 – n)n! xn+1 = (n + 1)! xn+1. L'hypothèse concernant le terme dominant est bien vérifiée. On vérifie de même facilement celle concernant la parité du polynôme. (QC-1) Donner la valeur de m(n)(0) en fonction de n.

(QC-2) Si l'on reprend la forme ci-dessus de la dérivée (n – 1)-ième, maintenant prouvée, on peut, par dérivation, obtenir une équation différentielle vérifiée par le polynôme numérateur. En déduire explicitement ce polynôme.



exercice 5-C

1) Le fait qu'une fonction f soit paire s'écrit :

∀ x, f(x) = f(– x). Si cette fonction a un développement limité, à l'ordre n, en 0, il existe un polynôme P, de degré au plus n, et une fonction ε de limite 0 en 0, vérifiant :

∀ x, |x| assez petit ⇒ f(x) = P(x) + xnε(x). Cette relation est également valable pour – x, donc :

∀ x, |x| assez petit ⇒ f(– x) = P(– x) + (– x)nε(– x), ∀ x, |x| assez petit ⇒ f(x) = P(– x) + xn(– 1)nε(– x).

Or la fonction x ∞ P(– x) est une fonction polynôme de degré au plus n et la fonction x → (– 1)nε(– x) tend vers 0 en 0. Il en résulte que P(– x) est un développement limité à l'ordre n de f en 0. Comme le développement limité est unique, on obtient bien :

∀ x, |x| assez petit ⇒ P(– x) = P(x). Les fonctions polynômes x → P(– x), et x → P(x) coïncident pour une infinité de valeurs de x, donc elles sont égales. Le polynôme P est bien pair. On procède de même pour le cas où f est impaire. 2) La propriété précédente est une propriété de symétrie qu'on peut généraliser. Si a est un réel, et si f admet un développement limité en a, alors si pour tout h réel, f(a + h) = f(a – h), la partie régulière P du développement limité au voisinage de a :

f(x) = P(x – a) + (x – a)kε(x – a) est un polynôme pair. On peut énoncer une propriété analogue si, pour tout h :

f(a + h) = – f(a – h). 3) Si f est une fonction positive, alors pour tout x réel, f(x) ≥ 0. Peut-on en conclure que si P est la partie régulière d'un DL de f, par exemple en 0, on doit avoir P(x) ≥ 0 pour tout x (suffisamment petit) ? On peut faire un essai :



Il est clair que cet énoncé est faux. (QC-1) Énoncer une propriété du premier terme non nul d'un DL.

exercice 6-C

1) Le changement de variable proposé conduit au calcul suivant :

a+ bx+ cx2 + x2ε(x)1+ x + x2 + x 2ε(x)

= a+ bx+ cx2 + x2ε(x)( )1− x + x2 + x2ε(x)( )+ x + x2 + x2ε(x)( )2 + x2ε(x)

= a+ bx+ cx2 + x2ε(x)( )1− x + x2ε(x)( )= a+ (b − a)x+(c − b)x2 + x2ε(x).

(QC-1) Chercher le DL à l'ordre 2 de tan(x) en 0. 2) Pour le second cas, il suffit de mettre le terme constant du numérateur en facteur, pour se ramener au cas précédent :



a+ bx + cx2 + x2ε(x)

2 + x − 4x2 + x2ε(x)

= 1

2a + bx+ cx2 + x2ε(x)( )1− x

2− 2x2

+ x

2− 2x2

2

+ x2ε(x)

= 1

2a + bx+ cx2 + x2ε(x)( )1− x

2+ 9x2

4+ x2ε(x)

= a2

+ 2b− a4

x + 4c− 2b+ 9a8

x2 + x2ε(x).

(QC-2) Chercher le DL à l'ordre 2 de tan(x + 1) en 0. 3) Pour cette troisième expression, on mettra en facteur au dénominateur le terme de plus bas de gré non nul, pour se ramener au premier cas :

a+ bx+ cx2 + x2ε(x)

2x − 4x2 + x2ε(x)= 1

2x× a+ bx + cx2 + x2ε(x)

1− 2x + xε(x)

= 12x

× a + bx+ cx2 + x2ε(x)( )1+ 2x + xε(x)( )

= 12x

× a + (b+ 2a)x+ xε(x)( )

= a2x

+ b + 2a2

+ ε(x).

exercice 7-C

1) 1+ sin(x) , en 0

On développe d'abord sin(x) à l'ordre 3 (formulaire) :

sin(x)= x − x3

6+ x3ε(x).

On développe également 1+ u en 0 (formulaire) :



1+ u = 1+ 1

2u+ 1

2

− 1

2

u2

2+ 1

2

− 1

2

− 3

2

u3

6+ u3ε(u)

= 1+ 12

u− u2

8+ u3

16+ u3ε(u).

D'où par substitution :

1+ sin(x) = 1+ 12

x − x3

6

−

18

x − x3

6

2

+ 116

x − x3

6

3

+ x3ε(x)

= 1+ x2

− 18

x2 + 116

x3 − 112

x3 + x3ε(x)

et, enfin :

1+ sin(x) = 1+ 12

x− 18

x2 − 148

x3 + x3ε(x).

On peut vérifier ce résultat, qu'il faut savoir établir à la main, à l'aide de Maxima.

2) ecos(x) , en 0 D'abord le développement de cos(x) à l'ordre 4 (formulaire) :



Il s'agit de développer une expression de la forme e1+u, u tendant vers 0. On met e en facteur, et un développe eu. Comme u contient x2 en facteur, il suffit d'écrire un DL à l'ordre 2 de eu : On peut maintenant substituer à u la partie correspondante du DL de

cos(x), c'est-à-dire − x2

2+ x4

24+ x4ε(x).

On obtient :

ecos(x) = e 1− x2

2+ x4

24+

− x2

2+ x4

24

2

2+ x4ε(x)

= e 1− x2

2+ x4

24+ x4

8+ x4ε(x)

= e− ex 2

2+ e

x 4

6+ x4ε(x).

Par Maxima : (%e désigne la constante d'Euler e)

3) log(x), en 0 Lorsque x tend vers 0, log(x) tend vers l'infini, il n'existe donc pas de développement limité de log(x) en 0.

4) x3 sin1x

, en 0

On ne peut pas utiliser les développements du formulaire pour ce cas. Cherchons si la formule de Taylor s'applique : si on note f la fonction définie par cette expression, on peut se reporter à l'exercice 2. La fonction f est une fois dérivable, de dérivée 0 en 0, mais pas deux fois dérivable en



0. On ne peut donc appliquer la formule de Taylor pour obtenir un développement limité d'ordre 3. On remarque que :

x3 sin1x

x2 → 0

quand x tend vers 0, donc f(x) est de la forme x2ε(x). Il existe donc un développement limité à l'ordre 2, égal à 0, pour f(x), en 0. Il en résulte que s'il existait un développement limité à l'ordre 3, la partie polynôme de degré inférieur ou égal à 2 de ce développement serait 0. Ce développement serait donc de la forme :

x3 sin1x

= a3x

3 + x3ε(x),

donc :

x3 sin1x

x3

aurait une limite en 0, ce qui n'est pas le cas. Conclusion, le développement limité demandé n'existe pas. Il existe un développement limité d'ordre 2, égal à 0.

5) ex

cos(x ), en 0 Il faut calculer le DL à l'ordre 4 de cos(x), puis, par la méthode vue à

l'exercice précédent, celui de x

cos(x), enfin substituer dans le DL à l'ordre

4 de eu. Les calculs sont les suivants (cos(x) est dans le formulaire) :



Donc :

e

xcos(x ) =1+ x + x3

2+ x 4ε(x)

+

12

x + x3

2+ x4ε(x)

2

+ 16

x + x3

2+ x4ε(x)

3

+ 124

x + x3

2+ x4ε(x)

4

+ x + x3

2+ x4ε(x)

4

ε(x).

En réduisant et en ne conservant que les termes de degré 4 au plus :

e

xcos(x ) =1+ x + x3

2+ 1

2x2 + x4( )+ 1

6x3 + 1

24x 4 + x + x3

2+ x4ε(x)

4

ε(x)

= 1+ x + x2

2+ 2

3x3 + 13

24x4 + x4ε(x).



6) x3 , en 1 Le DL demandé n'est pas en 0, il est donc préférable de faire un changement de variable pour faire apparaître une variable tendant vers 0. On pose x = 1 + h, et il faut calculer un DL de 1+ h3 à l'ordre 3, pour h tendant vers 0. C'est un DL du formulaire :

7) x3 , en 0 Cette fonction n'est pas dérivable en 0, donc elle n'a pas de DL à l'ordre 1, et pas non plus de DL à l'ordre 3. 8) x3 + x2 – x – 1, en 1 Il s'agit d'un polynôme, qui doit être écrit comme combinaison des puissances de (x – 1). Le plus simple est encore de poser x = 1 + h, de développer et d'ordonner selon les puissances croissantes de h = (x – 1) : (1 + h)3 + (1 + h)2 – 1 – h – 1 = 1 + 3h + 3h2 + h3 + 1 + 2h + h2 – 2 – h,

= 4h + 5h2 + h3, x3 + x2 – x – 1= 4 (x – 1) + 5 (x – 1)2 + (x – 1)3.

9) log(x + x2), en 1 On pose x = 1 + h :

log(x + x2) = log(1 + h + 1 + 2h + h2) = log(2 + 3h + h2)

= log(2)+ log(1+ 32

h + 12

h2).

Il faut donc écrire le développement à l'ordre 4 de log(1 + u) pour u tendant

vers 0 (formulaire), puis substituer à u l'expression 32

h + 12

h2 , enfin

ordonner en ne conservant que les termes de degré au plus 4 :



10) cos(x), en π4

D'abord un changement de variable : x = π4

+ h. On calcule, par les

formules trigonométriques usuelles :

cos(x)= cosπ4

+ h

= cos(h)cos

π4

− sin(h)sin

π4

= 22

cos(h)−sin(h)( ).

Il suffit donc de faire la différence des développements de cos(h) et sin(h) (formulaire). On peut aussi, dans ce cas, utiliser la formule de Taylor directement.

11) e−1

x2, prolongé par 0, en 0

La formule de Taylor s'applique ici, et d'après l'exercice 2, on voit que cette fonction a un DL à tout ordre, égal à 0.



12) e−1x , x > 0 , en 0

Il faut essayer d'appliquer la formule de Taylor. La limite de la fonction en

0 existe et vaut 0, puisque, x étant positif, −1x

tend vers –∞. La dérivée en

dehors de 0 est : 1x2 e

−1x

Par un raisonnement par récurrence, on montre que les dérivées

successives en dehors de 0 sont de la forme P(x)x k e

−1x . Elles ont donc pour

limite 0 en 0, donc e−1x , prolongé par 0, est dérivable à tout ordre, de

dérivée 0. La conclusion est la même que pour le cas précédent. 13) log(1+ x ) , en 0

La fonction n'est pas dérivable en 0, donc il n'y a pas de développement à l'ordre 1. On peut cependant écrire un développement dans une autre échelle que celle des monômes xk, celle des puissances fractionnaires xk/2 :

log(1+ x ) = x − x2

+ x x3

+ x xε x( ). 14) log(1+ x ) , en 2

Ici, il faut commencer par le changement de variable : x = 2 + h.

log(1+ 2+ h) = log 1+ 2 1+ h2

.

On écrit d'abord le développement du radical (formulaire), puis, après avoir mis en facteur le terme constant à l'intérieur du logarithme, on développe une forme log(1 + u) :



15) x3 log( x)., en 0

Le logarithme n'a pas de développement. On peut essayer la formule de Taylor : la fonction a pour limite 0 en 0. La dérivée première, pour x ≠ 0 est 3x2 log(x)+ x2. Elle a pour limite 0 en 0. La dérivée seconde pour x ≠ 0 est 6x log(x)+ 5x. Elle se prolonge encore par 0 en 0.

Par contre il n'y a pas de dérivée d'ordre 3 en 0, puisque le quotient : 6x log(x)+ 5x

x

n'a pas de limite en 0. Si un DL d'ordre 3 existe, il s'écrit :

x3 log( x) = a3x3 + x3ε(x).

Par simplification, cela impliquerait que log(x) a une limite finie en 0, ce qui n'est pas le cas. Il n'y a pas de DL à l'ordre 3, mais il existe un DL à l'ordre 2, qui est égal à 0.

exercice 8-C

1) x −1x + 3

., en +∞

On fait tout d'abord le changement de variable h = 1x

, h tend vers 0 par

valeurs positives : x −1x+ 3

= 1− h1+ 3h

.

On développe d'abord la fraction, puis le radical :



1− h

1+ 3h= (1− h)(1− 3h+ 9h2 − 27h3 + h3ε(h))

=1− 4h+12h2 − 36h3 + h3ε(h).

1− h

1+ 3h= 1− 4h+12h2 − 36h3 + h3ε(h)

= 1+ 12

−4h+12h2 − 36h3 + h3ε(h)( )− 18

−4h+12h2 − 36h3 + h3ε(h)( )2

+ 116

−4h+12h2 − 36h3 + h3ε (h)( )3+ h3ε(h)

= 1− 2h+ 6 − 2( )h2 + −18+12 − 4( )h3 + h3ε(h)

= 1− 2h+ 4h2 −10h3 + h3ε(h).

On obtient donc : x −1x+ 3

= 1− 2x

+ 4x2 − 10

x3 + ε(1/ x)x3 .

2) x2 − x + 3

x3 −1, en 1

Il faut d'abord changer de variable, h = x – 1 : x2 − x + 3

x3 −1= 1+ 2h+ h2 −1− h + 3

1+ 3h+ 3h2 + h3 − 1= 3+ h+ h2

3h+ 3h2 + h3

= 1h

1+ h3

+ h2

3

1

1+ h + h2

3

= 1h

1+ h3

+ h2

3

1− h − h2

3+ h + h2

3

2

− h + h2

3

3

+ h3ε(h)



x2 − x + 3

x3 −1= 1

h1+ h

3+ h2

3

1− h − h2

3+ h2 + 2h3

3− h3 + h3ε(h)

= 1h

1+ h3

+ h2

3

1− h + 2h2

3− h3

3+ h3ε(h)

= 1h

1− 2h3

+ 2h2

3− 4h3

9+ h3ε(h)

.

D'où le développement asymptotique cherché :

x2 − x+ 3x3 −1

= 1x − 1

− 23

+ 2(x− 1)3

− 4(x− 1)2

9+ x −1( )2ε x −1( ).

3) tan(x), en π2

Il faut d'abord faire un changement de variable, h = x − π2

:

tan(x)= tan h+ π2

= − 1

tan(h).

Le développement de tan(h) en 0 est connu en général, sinon on le retrouve par la formule de Taylor (facile ici) :

− 1

tan(h)= −1

h + 1

3h3 + h4ε(h)

= −1

h× 1

1+ 1

3h2 + h3ε(h)

= −1h

1− 13

h2 + h3ε(h)

=

−1h

+ h3

+ h2ε(h).

D'où le développement asymptotique :

tan(x)= 1π2

− x+

x − π2

3+ x − π

2

2

ε(x − π2

).



4) x3 + 2x −1

x +1, en –∞

On fait d'abord le changement de variable h = 1x

, h tend vers 0 par valeur

négatives :

x3 + 2x−1x +1

=

1h3 + 2

h−1

1

h+1

= 1+ 2h2 − h3

h2 + h3 = 1h2

1+ 2h2 − h3

1+ h.

Comme h est négatif, 1h2 = −1

h= −x. Il faut développer le radical

1+ 2h2 − h3

1+ h. La méthode est la même que dans le premier exemple :

développer le quotient, puis le radical. On obtient :

D'où le résultat :

x3 + 2x−1x +1

= −x 1− 12x

+ 118x2 − 21

16x3 + 1x3 ε 1

x

= −x + 12

− 118x

+ 2116x2 + 1

x2 ε 1x

.

5) e

1

x2 +x , en +∞

On pose, comme précédemment, x = 1h

. On doit développer :



e

1

x2+ x = eh2

1+h h tendant vers 0, par valeurs positives. L'exposant se développe en :

h2

1+ h= h2 1− h+ hε(h)( ) = h2 − h3 + h3ε(h).

D'où l'exponentielle :

eh2 −h3 +h3ε(h ) = 1+ h2 − h3 + h3ε(h),

e

1

x2 + x = 1+ 1x2 − 1

x3 + 1x3 ε 1

x

.

6) e

1

x+ 1+x2, en –∞

On pose :

x = 1h

.

L'exposant est à développer quand h tend vers 0 par valeurs négatives : 1

1h

+ 1+ 1h

2= 1

1h

+ 1h

2

h2 +1

= 11h

− 1h

h2 +1= h

1− h2 +1

=h 1+ h2 +1

1− h2 +1

1+ h2 +1

=h 1+ h2 +1

−h2

= − 1

h× 1+1+ 1

2h2 + h3ε(h)

= −2

h− h

2+ h2ε(h).



Il en résulte que l'exposant tend vers +∞, donc l'exponentielle aussi, donc il n'existe pas de développement limité.

exercice 9-C

La difficulté est ici qu'on ne sait pas jusqu'à quel ordre il faut calculer les développements limités. Il suffit d'obtenir un terme non nul.

1) cos(x)−4 − x2

4 + x2 , en 0

Le développement du cosinus est dans le formulaire, à un ordre quelconque. Pour la fraction, on commence par la transformer en simplifiant par 4, puis on développe :

4 − x2

4 + x2 =1− x2

4

1+ x2

4

= 1− x2

4

1− x2

4+ x 4

16+ x4ε(x)

= 1− x2

2+ x4

8+ x4ε(x).

On voit que la différence est d'ordre 4, un équivalent de cos(x)−4 − x2

4 + x2

est donc :

x 4

24− x4

8= − x4

12.

Les graphes de ces deux fonctions sont donc très proches pour x petit.

2) 2sinx

2 −

x

1+ x2 , en 0

Ici encore, le développement du sinus peut être facilement calculé à un ordre quelconque :



Pour la fraction, il s'agit d'un calcul facile, également

La différence est donc d'ordre 3, équivalente à 2324

x3.

3) 2 log(x)+ x2 − 4x + 3, en 1

Ici, il faut d'abord faire un changement de variable : h = x – 1. Le développement du logarithme est dans le formulaire, on obtient :

2 log(1+ h) + (1+ h)2 − 4(1+ h) + 3= 2 h− h2

2+ h3

3+ h3ε(h)

− 2h+ h2

= 2

3h3 + h3ε(h).

Un équivalent en 1 est donc 23

(x −1)3.

4) x tan(x)−sin(x)2, en 0

Les développements de base sont connus, il faut les combiner : Un

équivalent est 23

x4.

exercice 10-C

1) forme 00

.

xx − x

1− x − log(x), en 1



Le numérateur et le dénominateur tendent vers 0, on ne peut donc pas conclure directement. Comme d'habitude on fait le changement de variable x = 1 + h, h tendant vers 0. Pour xx − x :

xx − x = e(1+ h) log(1+h) −1− h

= e(1+ h)(h+hε(h)) −1− h

= eh+h2 + h2ε( h) −1− h

= 1+ h + h2 + h2ε(h) + h2

2−1− h.

Donc le numérateur est équivalent à 32

h2.

Pour 1 – x – log(x) : 1 – x – log(x) = – h – log(1 + h)

= – 2h + h ε(h). Donc le dénominateur est équivalent à – 2h. L'expression étudiée tend donc vers 0. 2) forme 1∞.

cos(x)( )1 xk, en 0

Le cosinus tend vers 1, l'exposant vers +∞, donc on ne peut pas conclure directement. En général, on étudie le logarithme de l'expression soit ici :

log(cos(x))xk =

log 1− x2

2+ x2ε(x)

xk ~0

− x2

2xk = − x2−k

2,

donc si 2 – k > 0, la limite du logarithme est 0, si 2 = k, la limite est −12

,

enfin si 2 – k < 0, la limite est – ∞.



Conclusion : si k < 2, cos(x)( )1 xk tend vers 1, si k = 2, cos(x)( )1 xk

tend

vers 1e

, et si k > 2, cos(x)( )1 xk tend vers 0.

3) forme 1∞.

log(1+ x)

log(x)

x

, en +∞

On transforme d'abord log(1+ x)

log(x) :

log(1+ x)log(x)

=log(x)+ log 1+ 1

x

log(x)= 1+ 1

x log(x)+

ε 1x

x log(x).

Le logarithme de cette expression donne donc :

log 1+ 1x log(x)

+ε 1

x

x log(x)

= 1x log( x)

+ε 1

x

x log(x),

et après multiplication par x :

x loglog(1+ x)

log(x)

= 1

log(x)+

ε 1x

log(x),

dont la limite est 0. Il en résulte que :

x →+∞lim

log(1+ x)log(x)

x

= 1.

4) forme ∞∞

.

xlog x+ 1+ x2( )

log x2 + ex( ) , en +∞



Pour comparer numérateur et dénominateur, on en cherche un équivalent en +∞. Pour le numérateur :

log x + 1+ x2

= log x 1+ 1

x2 +1

= log(x)+ log 1+ 1

x2 +1

.

Comme log 1+ 1x2 +1

tend vers log(2) et log(x) vers +∞, le second

terme est négligeable devant log(x), donc le numérateur est équivalent à : x log(x).

Pour le dénominateur :

log x2 + ex( )= log ex x2e−x +1( )( )= x + log x2e−x +1( ). Le dénominateur est donc équivalent à x. On obtient :

xlog x + 1+ x2

log x2 + ex( ) ~+∞

x log(x)x

= log(x)x

.

Il en résulte que xlog x+ 1+ x2( )

log x2 + ex( ) tend vers 0 en +∞.

5) forme ∞ – ∞.

2

sin(x)2−

1

1− cos(x), en 0

Il faut chercher le premier terme non nul d'un développement asymptotique de cette expression en 0.

Pour 2

sin(x)2 :



2

sin(x)2= 2

x − x3

6+ x3ε(x)

2 = 2

x2 × 1

1− x2

6+ x2ε(x)

2 = 2

x21

1− x2

3+ x2ε(x)

= 2

x2 1+ x2

3+ x2ε(x)

.

Pour 1

1− cos(x) :

11− cos(x)

= 1

x2

2− x4

24+ x 4ε(x)

= 2

x2 × 1

1− x2

12+ x2ε(x)

= 2

x2 1+ x2

12+ x2ε(x)

.

On obtient par différence :

2

sin(x)2− 1

1− cos(x)= 2

x2 1+ x2

3+ x2ε(x)

−

2

x2 1+ x2

12+ x2ε (x)

= 2

3− 2

12+ ε(x).

Donc :

x→0lim

2sin(x)2

− 11− cos(x)

= 1

2.

6) forme 00

.

ex + e−x − 2

sin(x) 1+ x −1( ), en 0

Pour lever cette indétermination, il faut chercher un équivalent du numérateur et du dénominateur. Pour le numérateur :



ex + e−x − 2 = 1+ x + x2

2+ x2ε(x)+1− x + x2

2+ x2ε(x) − 2

~0

x2.

Pour le dénominateur :

sin(x) 1+ x −1( )~0

x× x2

= x2

2.

Il en résulte que la limite de ex + e−x − 2

sin(x) 1+ x −1( ) en 0 est 2.

7) forme 1∞.

x

1

1−x , en 1 On fait d'abord le changement de variable h = x – 1. L'expression à étudier devient :

(1+ h)1

−h . Comme on l'a dit, on étudie le logarithme :

− 1h

log(1+ h)~0

− 1h

h = −1.

La limite est donc 1e

.

8) forme 1∞.

log(e+ x)( )1 x, en 0

On étudie le logarithme de l'expression : 1x

log(log(e+ x)) = 1x

log log(e)+ log 1+ xe

= 1x

log 1+ log 1+ xe

~0

1

xlog 1+ x

e

~0

1

x

x

e.

Donc :



x →0lim log(e + x)( )1 x = e

1e

..

9) forme ∞∞

.

xe 1+x

x + log(x)( )2, en +∞

Il faut chercher un équivalent pour le numérateur et le dénominateur.

Pour xe 1+x :

xe 1+x = xex 1+1

x = xex 1+1

2x+ε(1/ x)x( )

= xex + 1

2 x+ε(1 / x)

x

~∞

xe x .

Pour x + log(x)( )2 : log(x) est négligeable devant x donc le dénominateur est équivalent à x2. Le quotient tend donc vers + ∞. 10) forme ∞ – ∞.

log(1− x) − log x2 −1 −1

, en –∞

Il faut chercher un équivalent de l'expression, par calcul d'un développement asymptotique :



log(1− x) − log x2 −1 −1

= log −x 1− 1

x

− log −x1

x+ 1− 1

x2

= log(−x)+ log 1− 1

x

− log(−x)− log1

x+ 1− 1

x2

= −1x

+ 1x

ε 1x

− log

1x

+1+ 1x

ε 1x

= −2

x+ 1

xε 1

x

.

La limite est donc 0. 11) forme ∞ × 0.

tan(x)log(1+ cos(x)), en π2

Comme cos(x) tend vers 0, log(1 + cos(x)) est équivalent à cos(x), donc l'expression étudiée est équivalente à tan(x)cos(x), soit sin(x). la limite est donc 1.

exercice 11-C

1) Les deux premiers cas sont souvent rencontrés : � f(x) = x3. Cette fonction est croissante sur R, sa dérivée s'annule en 0. � f(x) = x2. Cette fonction est décroissante sur ]– ∞ , 0], croissante sur [0 , +∞[, et sa dérivée s'annule en 0.

Le troisième cas est moins classique. Penser à la fonction x → sin1x

.

Cette fonction n'est pas dérivable en 0. Par contre la fonction :

x → x2 sin1x

est dérivable sur R, et sa dérivée s'annule en 0.



Montrons que la fonction n'est monotone sur aucun intervalle de la forme ]0 , b[, b > 0 : soit n un entier naturel non nul, sur l'intervalle :

1π2

+ 2nπ ,

1

− π2

+ 2nπ

la fonction est croissante, comme on le voit d'après le signe de sa dérivée :

2x sin1x

− cos

1x

.

(QC-1) le démontrer en comparant tan(X) et X/2. De même, sur l'intervalle :

13π2

+ 2nπ ,

1π2

+ 2nπ

la fonction est décroissante. En choisissant n assez grand, on peut faire en sorte que ces deux intervalles soient contenus dans ]0 , b[, pour tout b > 0.



(QC-2) Démontrer que f n'est injective sur aucun intervalle centré en 0. 2) A partir du dernier exemple de la question précédente, on peut construire un exemple où f'(a) ≠ 0, et f non monotone :

f (x) = x2

+100x2 sin1x

.

on voit que f'(0) = 1/2. Pour x ≠ 0, la dérivée est :

f' (x) = 12

+ 200x sin1x

−100 cos

1x

.

Il est clair qu'elle prend des valeurs positives et négatives sur tout intervalle centré en 0, donc f n'est pas monotone. 3) Si la dérivée est continue, dans la question 2, si f'(a) > 0, pour fixer les idées, alors f'(x) > 0 sur un intervalle centré en a, donc f est strictement croissante sur cet intervalle, donc injective. Dans la question 1, les deux premiers cas correspondent à une dérivée continue. Le troisième cas à une



dérivée non continue en 0. Cependant, il suffit de choisir plutôt x3 sin1x

pour avoir les mêmes propriétés, avec une dérivée continue.

exercice 12-C

1) Exemples : � h(x) = x + x2, h'(0) = 1. � h(x) = 6x, h'(0) = 6. � h(x) = ex – 1, h'(0) = 1. 2) On peut écrire le taux d'accroissement, pour x > 0 :

h(x) − h(0)x − 0

= h(x)x

≥ 1.

Or ce taux d'accroissement a une limite quand x tend vers 0, qui est h'(0). Il en résulte que h'(0) ≥ 1. 3) Le même raisonnement, pour x < 0, conduit à h'(0) ≤ 1, donc h'(0) = 1. La tangente a bien pour équation y = x. Si h est deux fois dérivable, écrivons la formule de Taylor à l'ordre 2, en 0 :

h(x) = h(0)+ x ′ h (0)+ x2

2′ ′ h (0)+ x2ε(x),

soit, compte tenu de h(0) = 0, et h'(0) = 1 :

h(x) = x+ x2

2′ ′ h (0)+ x2ε(x),

et comme h(x) ≥ x, on conclut que h"(0) ≥ 0. (QC-1) Énoncer (et démontrer) une généralisation de cette propriété géométrique.



exercice 13-C

1) Rappelons que, comme ε(x) désigne une fonction quelconque tendant vers 0 en 0, tout terme de la forme xk, dans la même expression qu'un terme de la forme xpε(x), avec p < k, n'apporte aucune information supplémentaire : xk + xpε(x) = xp(xk–p + ε(x)) est encore de la forme xpε(x). Le premier travail est de simplifier les expressions proposées en ne conservant que les informations significatives :

(1) à (5) : pas de changement

(6) f(x) = –3x + xε(x) (7) f(x) = ε(x)

(8) : pas de changement. (9) supprimée car équivalente à (1)

(10) : pas de changement. Ensuite nous appliquons la règle suivante : si deux DL sont du même ordre, ils sont compatibles s'ils sont exactement identiques (unicité du DL). Si deux DL ne sont pas de même ordre, ils sont compatibles si celui qui est d'ordre plus élevé se réduit à l'autre par troncature à un degré moins élevé. Dans un ensemble de DL compatibles entre eux, le plus précis est celui qui est d'ordre le plus élevé. En appliquant ces principes, on forme les 5 familles suivantes :

(I)

(7) f(x)= ε(x)

(5) f(x)= x + xε(x)

(1) f(x)= x + x2 + x2ε(x)

(II)

(7) f (x)= ε(x)

(5) f (x)= x + xε(x)

(3) f (x)= x + x 2ε(x)



(III)

(7) f (x)= ε(x)

(8) f (x)= 2x + xε(x)

(2) f (x)= 2x + 5x2 + x2ε(x)

(IV)

(7) f (x)= ε(x)

(6) f (x)= −3x+ xε(x)

(4) f (x)= −3x− x2 + x2ε(x)

(V)

(7) f(x)= ε(x)

(6) f(x)= −3x + xε(x)

(10) f(x)= −3x + x2 + x3ε(x)

2) Famille (I) : l'égalité (7) signifie que f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0 ; l'égalité (5) signifie que la dérivée en 0 existe et vaut 1 ; le graphe de f a pour tangente en (0, 0) la droite d'équation y = x ; enfin l'égalité (1) montre que le graphe de f est situé au-dessus de sa tangente en 0. Si f est deux fois dérivable en 0, alors f"(0) = 2. Famille (II) : La formule (3) ne permet pas de conclure quant à la position du graphe par rapport à sa tangente. Si f est deux fois dérivable en 0, f"(0) = 0. Famille (III) : (7) et (8) signifient respectivement que f(x) tend vers 0 en 0, et que la tangente en (0, 0) au graphe de f est la droite d'équation y = 2x, la dérivée f'(0) valant 2 ; (2) entraîne que le graphe est situé au-dessus de la tangente en 0, et si f"(0) existe, f"(0) = 10. Famille (IV) : (7) s'interprète comme ci-dessus ; (6) signifie que f est dérivable en 0, et f'(0) = – 3, la tangente en (0 , 0) est la droite d'équation y = – 3x ; (4) entraîne que le graphe est situé au-dessous de sa tangente en (0, 0), avec f"(0) = – 2 si f est deux fois dérivable.



Famille (V) : l'interprétation est la même que pour la famille (IV), avec cependant (10) qui implique que le graphe est au-dessous de sa tangente en (0, 0), et f"(0) = 2 si f est deux fois dérivable en 0. Enfin, si f est trois fois dérivable en 0, f"'(0) = 0. 3) La famille (I) est compatible avec la figure 2, la famille (II) avec la figure 6, la famille (III) avec la figure 3, la famille (IV) avec la figure 1, la famille (V) avec la figure 4. Il reste la figure 5 :

Le graphe passe à l'origine, et la tangente est la droite d'équation y = – 3x, donc le développement commence par – 3x. La courbe n'est pas du même côté de la tangente pour x > 0 et pour x < 0, donc le terme en x2 est nul. On peut donc proposer pour la figure 5 : f(x) = – 3x + x2ε(x).



exercice 14-C

Dans chaque cas, il faut déterminer la limite, le terme de degré 1 du développement limité ou asymptotique, et le premier terme non nul suivant.

1) et2

sin2 (t)

1− 1− t2

dt

0

x

∫ , en 0

La limite en 0 est 0. On obtiendra un développement limité par intégration

d'un développement limité de et2

sin2(t)

1− 1− t2 :

et2sin2(t)

1− 1− t2=

1+ t2 + t2ε(t)( ) t − t3

6+ t3ε(t)

2

1− 1− t2

2− t4

8+ t4ε(t)

=t2 + 2

3t4 + t4ε(t)

t2

2+ t4

8+ t4ε(t)

= 2+ 56

t2 + t2ε(t).

Par intégration :

et2sin2 (t)

1− 1− t2

dt

0

x

∫ = 2x + 518

x3 + x3ε(x).

D'où le graphe au voisinage de 0 :





2) x2 − x

sin(xπ), en 1

On fait le changement de variable usuel, x = 1 + h : x2 − xsin(xπ)

= (1+ h)hsin(π + πh)

= − (1+ h)hsin(πh)

= − (1+ h)h

πh − (πh)3

6+ h3ε(h)

= − 1π

(1+ h) 1+ (πh)2

6+ h2ε(h)

= − 1

π1+ h + (πh)2

6+ h2ε(h)

.

Donc le point considéré est (1, − 1π

), la tangente a pour équation y = − 1π

x

, et la courbe est située au-dessous de sa tangente.



3) x2 − x −1 − x 2 − 2x − 1, en +∞ On met x en facteur, et on développe en 1/x :

x2 − x −1 − x 2 − 2x− 1 = x 1− 1

x− 1

x2 − 1− 2

x− 1

x2

= x 1− 12x

− 12x2 − 1

8x2 −1+ 1x

+ 12x2 + 1

2x2 +ε 1

x

x2

= 12

+ 38x

+ε 1

x

x.

Le graphe présente une asymptote d'équation y = 12

, et se situe au-dessus

de son asymptote.

4) x2 − x 2 +1

x2 − 2, en 2

On pose x = 2 + h :



x2 − x 2 +1x2 − 2

=2 + h( )h +1

h h+ 2 2( ) = 1+ h 2+ h2

2 2h + h2

= 1

2 2h× 1+ h 2 + h2

1+ h2 2

= 1

2 2h1+ h 2 + h2( )1− h

2 2+ hε(h)

= 1

2 2h1+ h 2 − 1

2 2

+ hε(h)

= 1

2 2h1+ 3

2 2h+ hε(h)

= 12 2h

+ 38

+ ε(h).

Donc la fonction admet une asymptote verticale d'équation x = 2 . La fonction tend vers +∞ si x > 2 , et – ∞, si x < 2 .



5) x2 − x 2 +1

x − 2, en +∞

On effectue un développement asymptotique en 1/x :

x2 − x 2 +1x − 2

= x1− 2

x+ 1

x2

1− 2

x

= x 1− 2

x+ 1

x2

1+ 2

x+ 4

x2 + 1

x2 ε 1

x

= x 1+ 2− 2

x+ 5− 2 2

x2 + 1

x2 ε 1

x

= x + 2− 2 + 5 − 2 2x

+ 1x

ε 1x

.

On voit que ce graphe a pour asymptote la droite d'équation : y = x + 2 − 2

et est situé au-dessus de son asymptote.



6) x cos(x) − sin(x) , en 0

Un développement limité donne :

x cos(x)− sin(x)= x 1− x2

2+ x2ε(x)

− x + x3

6+ x3ε(x)

= − x3

3+ x3ε(x).

On en déduit qu'au point (0, 0) le graphe a pour tangente la droite d'équation y = 0, et se situe au-dessus si x < 0, et au-dessous si x > 0.



3-3 Corrigés des questions complémentaires

exercice 1-QC

(QC-1) C'est clair, puisque si f est dérivable en a, les dérivées à gauche et à droite sont égales à f'(a). La formule précédente donne bien ′ f (a) = ′ f s(a).

(QC-2) Graphiquement, le quotient dont la limite est la dérivée symétrique s'interprète comme la pente d'une droite. C'est la droite qui joint les points du graphe de f d'abscisses a – h et a + h : La dérivée symétrique, si elle existe est la pente limite de cette droite variable. Dans les deux premiers exemples, la fonction étant paire, la droite variable dont on cherche la position limite est toujours parallèle à l'axe des abscisses, d'où le résultat, indépendamment de l'existence d'une tangente au graphe au point considéré.

exercice 2-QC

(QC-1) Graphiquement, le fait que la fonction soit négligeable devant toute fonction puissance xp se traduit par un graphe "plat", c'est-à-dire plus proche de sa tangente que toute fonction polynôme :

exercice 3-QC

(QC-1) Le produit g(x)(1 + x2) se dérive par la formule de Leibniz :

g(x) 1+ x2( )( )(n )= Cn

kg(x)(n−k ) 1+ x2( )( k)

k=0

k=n

∑ ,

et comme (1 + x2)(k) = 0 pour k ≥ 3, on obtient :



g(x) 1+ x2( )( )(n )= Cn

kg(x)(n−k ) 1+ x2( )( k)

k =0

k =2

∑= g(x)(n ) 1+ x2( )+ ng(x)(n−1)2x+ n(n−1)

2g(x)(n−2)2,

ce qui redonne bien la formule obtenue par récurrence.

exercice 4-QC

(QC-1) Pour x = 0, on obtient :

m(n+1)(0)= n2m(n−1)(0),

Donc si n est pair, n = 2p, m(2p)(0) = (2p – 1)2…32m"(0) = (2p – 1)2…32,

et si n est impair, n = 2p + 1, m(2p+1)(0) = (2p)2…22m'(0) = 0.

(QC-2) Cette équation est, pour Pn-1 :

(1 – x2) P"(x) + (2n – 3)x P'(x) – (n – 1)2 P(x) = 0. On trouve pour Pn :

(1 – x2) P"(x) + (2n – 1)x P'(x) – n2 P(x) = 0. On peut résoudre cette équation en utilisant le fait que P est un polynôme. Posons :

P(x) = a0 +…+ ak xk +… + anxn.

′ P (x)= a1 + …+ kakxk−1 +…+ nanxn−1,

′ ′ P (x)= 2a2 + …+ k(k − 1)akxk−2 + … + n(n −1)anxn−2.

L'équation s'écrit donc :



2a2 +…+ k(k − 1)akxk −2 +… + n(n −1)anxn−2 −

a2x2 +…+ k(k −1)ak xk +…+ n(n −1)anxn( )+

(2n− 1) a1x +… + kak xk +…+ nanxn( )−

n2 a0 +… + akxk + …+ anxn( )= 0.

Soit, en séparant les termes de degrés différents, pour les deux premiers :

2a2 − n2a0 = 0

6a3 + (2n−1)a1 − n2a1 = 0

6a3 − (n −1)2a1 = 0

pour les deux derniers :

−(n−1)(n − 2)an−1 + (2n− 1)(n −1)an−1 − n2an−1 = 0

−an−1 = 0

(−n(n −1)+ (2n −1)n − n2)an = 0

0.an = 0

et entre 3 et n – 2 (n > 4) :

(k + 2)(k +1)ak+2 − k(k −1)ak + (2n −1)kak − n2ak = 0

(k + 2)(k +1)ak+2 − (n − k)2ak = 0

D'où :

ak =(k + 2)(k +1)

(n − k)2 ak+2.

Supposons n pair. Le terme an-1 étant nul, tous les termes de degré impair sont nuls, d'après les relations précédentes. Pour les termes de degré pair, on a les égalités :



an−2 =n(n −1)

22 an,

an−4 =(n − 2)(n − 3)

42 an−2 =(n − 2)(n −3)

42 ×n(n −1)

22 an,

a0 = n!

n(n − 2)(n − 4)…2[ ]2an

et on sait que dans ce cas la valeur en 0 est : a0 = (n – 1)2(n – 3)2…32,

donc on a bien an = n! et en général, pour k pair, k ≤ n – 2 :

ak =n(n −1)…(k +1)

2 × 4…(n − k)[ ]2n!.

Supposons n impair. Ce sont maintenant tous les termes de degré pair qui sont nuls. Pour les termes de degré impair, on procède comme dans le cas précédent, en remarquant que le terme a1 du polynôme Pn est égal au terme constant du polynôme Pn+1. Si n = 2p + 1, a1 = n2(n – 2)2…32, d'où an = n! et en général, pour k impair, k ≤ n – 2 :

ak =n(n −1)…(k +1)

2 × 4…(n − k)[ ]2n!

exercice 5-QC

(QC-1) Si une fonction a un DL en un point, par exemple 0, et si cette fonction est à valeurs positives, on a vu que la partie régulière du DL n'est pas nécessairement un polynôme à valeurs positives. Par contre le premier terme non nul est à valeurs positives. On le vérifie bien sur les exemples. En général, soit f une fonction dont les valeurs sont de signe fixe, admettant un DL en 0, dont le premier terme non nul est akxk :

f (x) = akxk +…+ anxn + xnε(x).

On écrit, plus simplement :



f (x) = akxk + xkε(x).

La fonction ε tend vers 0 en 0, donc pour x assez petit, |ε(x)| < |ak/2|.

Il en résulte l'encadrement :

−ak

2≤ ε(x)≤

ak

2,

donc si ak > 0 :

0 < ak

2≤ ε(x)+ ak ≤ 3

ak

2,

et si ak < 0 :

3ak

2≤ ε(x) + ak ≤ ak

2< 0.

En résumé, pour x assez petit, ak + ε(x) est du signe de ak.

Comme f (x) = akxk + xkε(x), le signe de f(x) ne peut-être fixe que si le signe de xk est fixe au voisinage de 0, c'est-à-dire si k est pair, donc xk positif. Le signe de f(x) est donc celui de ak.

En résumé, si f(x) a un signe fixe, et f a un DL en 0 dont le premier terme non nul est akxk, alors :

� k est pair, � ak est du signe de f(x).

exercice 6-QC

(QC-1) C'est le quotient des DL de sin(x) et cos(x) :

tan(x)= sin(x)cos(x)

= x + x2ε(x)

1− x2

2+ x2ε(x)

= x + x2ε(x)( )1+ x2

2+ x2ε(x)

= x + x2ε(x).



(QC-2) C'est le quotient des DL de sin(x + 1) et cos(x + 1) :

tan(x+1) = sin(x +1)cos(x+1)

= sin(1)cos(x) + cos(1)sin(x)cos(1)cos(x)− sin(1)sin(x)

=sin(1) 1− x2

2+ x2ε(x)

+ cos(1) x+ x2ε(x)( )

cos(1) 1− x2

2+ x2ε(x)

− sin(1) x+ x2ε(x)( )

=sin(1)+ xcos(1)− x2

2sin(1)+ x2ε(x)

cos(1)− xsin(1)− x2

2cos(1)+ x2ε(x)

.

On procède donc comme dans l'exercice : mise en facteur au dénominateur de cos(1), puis utilisation de la formule de (1 + u)-1 :

sin(1)+ xcos(1)− x2

2sin(1)+ x2ε(x)

cos(1)− xsin(1)− x2

2cos(1)+ x2ε(x)

= tan(1)+ x − x2

2tan(1)+ x2ε(x)

1+ x tan(1)+ x2

2+ x2ε(x)+ x2 tan2(1)

= tan(1)+ x 1+ tan2(1)( )+ x2

2− tan(1)+ 2 tan(1)+ tan(1)+ 2 tan3(1)( )+ x2ε(x).

D'où, enfin :

tan(x+1) = tan(1)+ x 1+ tan2(1)( )+ x2 tan(1)+ tan3(1)( )+ x2ε(x).

NB : dans ce cas, le recours à la formule de Taylor est beaucoup plus efficace.



exercice 11-QC

(QC-1) Étudions la fonction définie par T(X) = tan(X)− X2

. Sa dérivée est

:

′ T (X) = 1+ tan2(X) − 12

= 12

+ tan2(X).

Elle est donc strictement positive, donc T est croissante. Comme T(0) = 0, on voit que T(X) ≥ 0 si X ≥ 0, et T(X) ≤ 0 si X ≤ 0.

Ici, X = 1x

> 0, donc :

sin1x

cos1

x

≥ 12x

,

et comme cos1x

≥ 0, puisque − π

2+ 2nπ ≤ 1

x≤ π

2+ 2nπ, on obtient bien :

2x sin1x

− cos

1x

≥ 0.

(QC-2) On remarque par exemple que f(x) = 0 a des solutions sur tout

intervalle centré en 0, puisqu'il suffit de prendre x = 12nπ

, n étant un entier

naturel non nul.

exercice 12-QC

(QC-1) On a donc vérifié ici que si une fonction h est deux fois dérivable au point 0, et si son graphe a en commun avec la droite d'équation y = x le point (0, 0), tout en étant situé au-dessus de cette droite, alors la droite est la tangente, et la dérivée seconde en 0 est positive. On peut généraliser ces diverses circonstances particulières : Soit h une fonction dérivable en un point a. Soit D une droite passant par le point (a, h(a)). On suppose que le graphe de h est entièrement situé d'un



même côté de D (variante : au voisinage de (a, h(a)), le graphe est situé d'un même côté de D). Alors D est la tangente en (a, h(a)) au graphe de h, et, si h"(a) existe, le signe de h"(a) est déterminé par le côté où se situe le graphe : positif si le graphe est au-dessus de D, négatif dans le cas contraire. L'argument est essentiellement le même que celui développé dans l'exercice : le taux d'accroissement est supérieur à la pente de la droite d'un côté, et inférieur à cette pente de l'autre côté du point (a, h(a)), donc la limite est égale à cette pente. La droite D est bien la tangente. La considération du développement limité à l'ordre 2 permet de conclure sur h"(a).



4� Pour Chercher

4-1 Indications pour les exercices (☺)

Le symbole (M) signifie que Maxima peut apporter une aide sur le point considéré.

exercice 1-I

2) Reprendre la définition. 3) Utiliser les exemples de la première question. QC-2) Un taux d'accroissement correspond à la pente d'une droite.

exercice 2-I

1) Séparer le cas x ≠ 0, du cas x = 0. Faire quelques essais (M) et formuler une conjecture sur l'existence et la forme des dérivées. 2) Ici aussi, séparer les deux cas. faire quelques essais (M), et utiliser la comparaison entre exponentielle et polynôme.

exercice 3-I

1) Calculer directement ces dérivées, à la main, ou à l'aide d'un logiciel adapté au calcul formel (M). Ne considérer que les caractéristiques du terme de plus haut degré du numérateur. 2) Procéder par identification, ou, mieux, en dérivant g(x)(1 + x2) = 1 (M). 3) Continuer à dériver (3 ou 4 dérivations) pour voir apparaître une forme régulière. Examiner comment on forme u(k + 1), v(k + 1), w(k + 1) à partir de u(k), v(k), w(k) (en dérivant). Puis résoudre ces relations de récurrence (M). 4) Distinguer k pair de k impair.



5) Raisonnement par récurrence : si la forme conjecturée est valable pur g(k) et g(k+1), alors voir qu'elle s'applique encore à g(k+2). QC-1) 1 + x2 a des dérivées successives simples à calculer.

exercice 4-I

1) Faire quelques essais (M). Énoncer une conjecture, l'établir par récurrence. 2) Penser à la formule de Leibniz. 3) Passer par une équation différentielle simple vérifiée par cette fonction, pour prouver qu'elle est indéfiniment dérivable. Calculer quelques dérivées pour voir quelle est leur forme (M). QC-1) Distinguer n pair et n impair. QC-2) Écrire une équation différentielle pour le polynôme numérateur. La résoudre par identification.

exercice 5-I

1) Utiliser l'unicité du DL, et l'égalité f(x) = f(–x) pour tout x. 2) C'est une propriété de symétrie qu'il faut généraliser. 3) faire quelques essais avec des DL simples de fonctions positives (M). QC-1) Le premier terme non nul d'un DL donne le signe.

exercice 6-I

1) Simple calcul : ne pas écrire de termes de degré supérieur à 2. 2) Mettre le terme constant du numérateur en facteur. 3) Mettre en facteur au dénominateur le terme de plus bas degré. QC-2) Quotient ou formule de Taylor.

exercice 7-I

1) Développer le sinus, puis (1 + u)1/2, u étant le DL du sinus (M).



2) Développer d'abord le cosinus, puis e1+u = e.eu, 1 + u étant le DL du cosinus (M). 3) En 0, log(x) n'a pas de limite… 4) Ne pas passer par le formulaire, mais par la formule de Taylor. Utiliser l'exercice 2. 5) Après avoir calculé le DL de cosinus, calculer celui du quotient par la méthode de l'exercice 4. Enfin, substituer dans la DL de eu (M). 6) Faire un changement de variable pour faire apparaître une variable tendant vers 0 : x = 1 + h. Ensuite utiliser le formulaire (rappelons que les formules qu'il contient sont à connaître par coeur) (M). 7) La fonction est-elle dérivable en 0 ? 8) Faire un changement de variable comme en 6) (M). 9) Ici également (M).

10) Ici également, x = π4

+ h.. Utiliser les formules trigonométriques

connues (M). Autre possibilité : utiliser la formule de Taylor. 11) Voir l'exercice 2, pour appliquer la formule de Taylor. 12) Analogue au précédent. 13) La fonction est-elle dérivable en 0 ? 14) Faire un changement de variable : x = 2 + h (M). 15) Le logarithme n'a pas de DL. Utiliser la formule de Taylor, si possible…

exercice 8-I

1) Changer de variable : x = 1/h, h tendant vers 0, h > 0. Puis développer le quotient (exercice 4), enfin le radical. 2) Changer de variable : x = 1 + h. Pour le quotient, utiliser la méthode de l'exercice 4-3).



3) Changer de variable : x = π2

+ h.. Utiliser le DL de tan(h) en 0 (à établir

s'il n'est pas connu). Ensuite traiter le quotient comme dans l'exercice 4-3) ci-dessus. 4) Changer de variable : x = 1/h. Attention : ici h est négatif, il faut en tenir compte pour mettre h en facteur du radical. 5) Même changement de variable. Ici h est positif. Développer d'abord l'exposant, puis substituer dans eu. 6) Changer de variable : x = 1/h. Ici h est négatif. Faire un développement asymptotique de l'exposant. L'expression a-t-elle une limite finie ?

exercice 9-I

1) Le DL du cosinus, à un ordre quelconque est connu. Pour la fraction : simplifier par 4. La développer à l'ordre 4 (M). 2) Le sinus est dans le formulaire. Développer la fraction à l'ordre 3 (M). 3) Changer de variable : x = h + 1. Le DL du logarithme est à prendre à l'ordre 2 puisque le polynôme est de degré 2 (M). 4) Combiner deux DL connus. Développer à l'ordre 4 (M).

exercice 10-I

Dans tous les cas, voir qu'il s'agit d'une forme indéterminée. Repérer de quel type. 1) Changement de variable x = 1 + h. L'expression xx est à transformer sous forme d'exponentielle. 2) Étudier le logarithme de l'expression. Discuter selon les valeurs de k. 3) Étudier le logarithme de l'expression. Écrire (1 + x) = x (1 + 1/x). 4) Chercher séparément des équivalents du numérateur et du dénominateur. Écrire :

x + 1+ x2 = x 1+ 1x2 +1

.



Écrire : x2 + ex = ex (x2e-x + 1).

Revoir la notion de fonction négligeable devant une autre, et de fonctions équivalentes (volume 3). 5) Chercher un développement asymptotique de chaque terme, et faire la différence. 6) Chercher des équivalents du numérateur et du dénominateur, à l'aide de développements limités. 7) Changement de variable x = 1 + h. Étudier le logarithme de l'expression. 8) Étudier le logarithme de l'expression. Écrire :

e + x = e (1 + x/e). 9) Chercher un équivalent du numérateur et un équivalent du dénominateur. Écrire :

e 1+x = ex 1+ 1

x puis développer le second radical. Voir que log(x) est négligeable devant x. 10) Chercher un développement asymptotique. Écrire :

1− x = −x 1− 1x

en pensant que x est négatif. Écrire :

x2 −1 −1= −x1x

+ 1− 1x2

.

Simplifier avant de calculer les développements. 11) Penser à un équivalent en 0 de log(1 + u).



exercice 11-I

1) Deux cas très courants. Pour le troisième, utiliser l'expression sin1x

.

Prouver soigneusement la non-monotonie. 2) Chercher un cas de fonction non monotone (dérivée de signe variable). 3) Dans le cas où f' est continue, si f'(a) ≠ 0, f'(x) est non nul sur un intervalle centré en a (revoir pourquoi). QC-1) Étudier les variations (dérivée). QC-2) Voir par exemple f(x) = 0.

exercice 12-I

2) Passer par le taux d'accroissement à droite en 0. 3) Utiliser le taux d'accroissement à droite et celui à gauche. Les hypothèses permettent d'appliquer la formule de Taylor à l'ordre 2.

exercice 13-I

1) Simplifier d'abord les DL proposés en ne conservant que les termes significatifs. Un des DL est superflu car équivalent à un autre, le supprimer. Quand des DL de même ordre sont-ils compatibles ? Quand des DL d'ordres différents sont-ils compatibles ? On trouvera 5 familles. 2) Préciser : la limite en 0, la tangente, la position par rapport à la tangente. 3) Ces éléments géométriques permettent de reconnaître les figures correspondant aux différentes familles. Il reste deux graphes. Procéder en sens inverse. Au vu de la figure, proposer un terme constant (valeur en 0), un terme de degré 1 (pente de la tangente), un terme de degré 2 (position par rapport à la tangente). Il n'y a pas une réponse unique.



exercice 14-I

Dans chaque cas, il faut déterminer la limite, le terme de degré 1 et le premier terme non nul suivant. 1) Intégrer un DL de l'intégrande. 2) Changer de variable : x = 1 + h. 3) Mettre x en facteur. Développer en h = 1/x. 4) Changer de variable : x = 2 + h. 5) Faire un développement asymptotique en 1/x. 6) Faire un DL à l'ordre 3.



4-2 Méthodes (�)

Mode d'emploi de cette partie : vous trouverez d'abord une liste de méthodes de résolution des types de questions présentées dans ce volume ; par commodité, on a précisé ensuite à propos de chaque exercice où une méthode a été indiquée par (�) le (ou les) numéro de la méthode concernée. S'agissant d'un discours sur les mathématiques, et non d'un discours mathématique, on trouvera naturel qu'il utilise les abus de langage usuels, les raccourcis allusifs, et de façon générale qu'il se rapproche d'un discours oral qui pourrait être tenu devant les étudiants.

1- Faire un raisonnement par récurrence. Pour démontrer qu'une

propriété P dépendant d'un entier n est vraie. (1) Supposer que la propriété P est vraie, pour la valeur n – 1, montrer qu'elle est vraie pour la valeur n (récursivité). (2) Démontrer que la propriété est vraie pour n = 0, ou 1, plus généralement pour n0. On peut alors en déduire que P est vraie pour tout n ≥ n0.

2- Établir l'existence, une inégalité, une valeur, pour une dérivée. La dérivée est la limite d'un taux d'accroissement. On établira souvent une relation sur le taux d'accroissement pour l'obtenir sur la dérivée par "passage à la limite".

3- Étudier la dérivabilité d'une fonction définie "par morceaux". Généralement le problème ne se pose qu'aux points de raccordement, à étudier particulièrement. Utiliser la méthode précédente. Penser aussi au cas où la fonction est continue et où sa dérivée, définie en dehors d'un point par des considérations générales, a une limite au point en question : cette limite est la valeur de la dérivée en ce point.



4- Montrer qu'une fonction est indéfiniment dérivable. On peut établir une relation entre la fonction et sa dérivée, et s'en servir dans un raisonnement par récurrence.

5- Calculer une dérivée n-ème. On peut utiliser la formule de Leibniz si la fonction est produit de deux fonctions dont la dérivation est simple à calculer. On peut également essayer de procéder par récurrence (�) en établissant une relation entre des dérivées successives.

6- Calculer le développement limité, ou asymptotique, d'un quotient. Mettre le dénominateur sous la forme 1 + u, u étant une expression tendant vers 0, puis utiliser le DL standard de (1 + u)–1. Pour transformer le dénominateur, essayer de mettre en facteur le terme le plus "grand" (celui devant lequel les autres sont négligeables).

7- Calculer le développement d'une expression composée f(g(x)). Calculer d'abord un DL de g(x), puis substituer ce DL à t dans le DL correspondant de f(t).

8- Calculer un DL sans utiliser le formulaire. Dans certains cas, il faut avoir recours à la formule de Taylor. C'est exceptionnel, aussi cela demande à être bien examiné. On rencontrera le cas de fonctions non composées de fonctions figurant dans le formulaire, ou leurs primitives. On connaît quelques cas où il est aussi simple d'utiliser la formule de Taylor car les dérivées successives sont faciles à calculer (tan(x)). Penser aussi aux cas où le DL n'est pas en 0, et où le changement de variable ne donne pas de formule simple.

9- Calculer un développement en un point différent de 0. Dans tous les cas, faire d'abord un changement de variable pour se ramener à une variable tendant vers 0 : x – a, pour un DL en a, 1/x pour un développement à l'infini.



10- Chercher la limite d'un quotient d'expressions tendant vers 0, ou vers l'infini. A l'aide de développement, ou d'autres techniques (volume 3), chercher un équivalent du numérateur et du dénominateur.

11- Chercher la limite d'une expression f(x)g(x). Généralement, étudier le logarithme de l'expression. C'est en particulier le cas si f(x) tend vers 1 et g(x) vers l'infini, ou f(x) et g(x) vers 0.

12- Chercher la limite d'un produit f(x)g(x), où f(x) tend vers 0 et g(x) vers l'infini. Chercher des équivalents des deux expressions.

13- Chercher la limite d'une expression de la forme f(x) – g(x) où les deux tendent vers +∞. Chercher des développements des deux expressions.

14- Déterminer des caractéristiques géométriques à partir d'un développement. Il faut disposer de trois termes, les deux premiers peuvent être nuls, le troisième ne doit pas l'être pour apporter une information. Le terme de degré 0 donne la valeur (ou la limite) de la fonction. Le terme de degré 1 donne la tangente (ou asymptote). Le troisième terme est le premier terme de degré au moins 2 non nul. Il donne la position du graphe de la fonction par rapport à la tangente (ou asymptote).

Les méthodes dans les exercices :

ex. 1 : 2 ex. 2 : 2, 3 ex. 3 : 1, 4, 5 ex. 4 : 1, 4, 5 ex. 6 : 6 ex. 7 : 6, 7, 8, 9 ex. 8 : 6, 7, 8, 9 ex. 9 : 6, 7, 8, 9 ex. 10 : 6 à 13 ex. 12 : 14 ex. 13 : 14 ex. 14 : 14



4-3 Lexique (�) C

Classe : une fonction f est de classe Ck sur un intervalle I si elle est k fois dérivable sur I, et si sa dérivée k-ème est continue sur I. Elle est de classe C∞ si elle est de classe Ck pour tout k.

Compatible : des développements sont compatibles s'ils peuvent être différents développements de la même expression.

E Équation différentielle : une fonction f est solution de l'équation

différentielle a(x) y' + b(x) y = c(x), où a, b, c sont des fonctions de x, si pour tout x, on a l'égalité :

a(x) f'(x) + b(x) f(x) = c(x). Une telle équation est dite du premier ordre. Elle est linéaire. On peut également introduire des équations différentielles du second

ordre etc. linéaires ou non… Dans tous les cas, ce sont des relations à vérifier entre une fonction

et certaines de ses dérivées.

I Indéfiniment dérivable : une fonction f est indéfiniment dérivable si elle

est dérivable à tout ordre (�). Elle est alors de classe C∞ (�).

Injective : une application f est injective si f(x) = f(y) � x = y.

M Monotone : une fonction f monotone est une fonction croissante, (resp.

décroissante) : si x ≤ y, alors f(x) ≤ f(y), (resp. f(x) ≥ f(y)). Elle est dite strictement monotone si elle est strictement croissante (resp. strictement décroissante) : si x < y alors f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)). Dans ce cas elle est injective (�).



O Ordre de dérivabilité : une fonction f est dérivable à l'ordre p en un point

a si la dérivée f(p)(a) existe.

P Partie régulière : la partie régulière d'un développement limité, ou

asymptotique est la partie polynomiale, ou fraction rationnelle explicite, à l'exclusion du terme complémentaire (�).

T Terme complémentaire : dans un développement limité, ou

asymptotique, le terme complémentaire indique l'ordre de grandeur des termes négligés. La notation usuelle est (cas d'un DL en 0) xkε(x), où, par convention, ε(x) désigne "une expression tendant vers 0".

Terme dominant : le terme dominant d'un polynôme est le terme de plus haut degré.

V Voisinage épointé : soit a un réel, on dit qu'une propriété est vraie sur un

voisinage épointé de a, si elle est vraie sur un intervalle ouvert centré en a, ]a – h , a + h[ (h > 0), sauf peut-être en a.