Exercices sur les suites numriques (chapitre 3)

3.10 Premiers termes dune suite

Donner les 5 premiers termes des suites suivantes :

a) .

b) et .

c) , et .

SOLUTION

a) , , , et .

b) , , et .

c) , , , et .

3.11 Amortissement par annuits

Un industriel amortit une machine, achete 413000 , avec des annuits formant une suite arithmtique de premier terme 10000 et de raison 3000 .

Combien dannes faudra-t-il pour amortir la machine ?

SOLUTION

En appelant chaque annuit, cherchons lentier n vrifiant . Cette suite tant arithmtique, on a une formule qui donne la somme de ses premiers termes

. Do ,

c'est--dire ou ,

trinme dont on calcule le discriminant et la seule racine positive : 13. En conclusion, il faudra 13 annes lindustriel pour amortir la machine.

3.12 Suite arithmtique intermdiaire

On considre la suite numrique dfinie par .

a) Calculer les premiers termes de la suite et conjecturer son comportement asymptotique.

b) On pose la suite dfinie par . Montrer que cette suite est arithmtique de

raison 2.

c) En dduire une expression de en fonction de n.

d) En dduire ensuite une expression de en fonction de n.

e) Dterminer alors .

f) Montrer que .

SOLUTION

a) , , , , On peut conjecturer que la suite tend vers linfini.

b) : la suite est donc arithmtique de raison 2.

c) On a donc la formule .

Dunod, 2011 - Mathmatiques BTS industriels - Groupements B et C - Laurent Lubrano, Stphane Le Mteil, Patrick Lemnicier, et al.

d) On en dduit (la suite tant clairement positive).

e) , car (ce que lon avait conjecturer).

f) car .

3.13 Dsintgration radioactive

Le polonium 210 est un lment radioactif qui se dsintgre en donnant du plomb. La masse de

polonium se trouvant dans un chantillon est divise par 2 tous les 138 jours (priode de dsintgration

de cet lment radioactif).

Sachant quun chantillon contient 10 g de polonium le 1er janvier 2010, combien en restera-t-il au 1er janvier 2030 ?

SOLUTION

En appelant la masse de polonium la date du 1er janvier 2010 + 138n jours, on peut

crire et donc remarquer que lon obtient une suite gomtrique de raison . On a

donc la formule . Cherchons ensuite le premier entier n vrifiant

: on obtient n = 53. Au 1er janvier 2010, il restera , c'est--dire

environ 10-15 g de polonium.

3.14 Suite gomtrique intermdiaire

On considre la suite numrique dfinie par .

a) Montrer que la suite dfinie par est gomtrique.

b) En dduire une expression de en fonction de n, puis une expression de en

fonction de n.

c) Dterminer la limite de la suite .

SOLUTION

a) autrement dit . Cette suite

est donc gomtrique de raison .

b) Alors, pour tout entier , on utilise .

Ensuite, on a aussi pour tout entier , .

c) Daprs le cours sur les croissances compares de certaines suites, la suite est

ngligeable devant la suite quand . Donc .

Dunod, 2011 - Mathmatiques BTS industriels - Groupements B et C - Laurent Lubrano, Stphane Le Mteil, Patrick Lemnicier, et al.