C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Skrie I, p. 1313-1316, 1997
GomCtrie diff&entielle/DifTerenfia/ Geometry
L’kquation 2&f = p pour les tenseurs
de type (1,U
Francisco-Javier TURIEL
Geometria y Topologia, Facultad de Ciencias Ap. 59, 29080 Milaga, Espagne
E-mail : [email protected]
R&urn& ConsidCrons, sur une variCt6 rCeIle ou complexe, une 2-forme p et un tenseur J de type (1,l) A torsion de Nijenhuis nulle, tel que PI = 0, oti PI est l’invariant introduit dans (41 (conditions, par exemple, vCrifiCes par les J qui s’krivent localement a coefficients constants). Dans cette Note on donne une condition nkcessaire et suffisante pour I’existence locale, sur I’ouvert rkgulier, d’une fonction f telle que d($ o J) = ,8, oti (df o J)(X) = df(JX). Lorsque ,J” = -Id on retrouve l’kquation 283f = /f.
The equation 2iaaf = ,O for (l,l)-tensor fields
Abstract. Consider, on a real or complex manifold, a 2-form ,9 and a (1: I)-tensorjeld J whose Nijenhuis tomion vanishes, such that PI = 0, where P., is like in [4] (for example, that is the case if J can be locally written with constant coeficients). In this Note we give a necessary and suflcient condition fc>r the local existence, on the regular open set, of a functionf such that d(df o J) = (1, where (df o J)(X) = df (.JX). When J” = --Id we jnd the equation 2i8af = [j.
Dans cette Note on r&out localement, pour une large classe de tenseurs J de type (1, 1) qui comprend les intkgrables, 1’Cquation d(df o J) = ,i3, qui est l’analogue de l’kquation 28af = 0 bien connue sur les variCt&s complexes (prendre comme J la structure complexe). Notre mkthode de rksolution transforme ce type d’tquation en un probkme de gComCtrie symplectique sur le fibrC cotangent de la variCtt. En outre, le resultat obtenu permet d’itudier, aisbment, l’existence de sections bilagrangiennes locales d’une fibration en tores bilagrangiens.
ConsidCrons une vari&tC diffkrentielle rtelle ou complexe M, de dimension m, munie d’un tenseur J de type (1, 1). Si T est une 1-forme, on notera 7 o J la l-forme dkfinie par (T o J)(X) = T( JX).
Pour chaque p E M, soit F(2, J)(p) le sous-espace vectoriel de toutes les 2-formes ,& dCfinies par ,OLT(w~w) = a(Jv, w) - a(v, Jw), oti ?I, zu E T,A!l et oh n est une forme bilinCaire symktrique sur T,hl. Soit FJ(P) = h*TEM/F(2, J)(p). fitant donnC N E TzA4 et une fonction f, dkfinie au voisinage de p, telle que df(p) = Q, alors la classe de d(df o J)(p) dans FJ(P) ne depend que de a.
-- Note prCsentCe par Charles-Michel MAKLE.
07&I-4442/97/0325 13 13 0 Acadtmie des Sciencefilsevier, Paris 1313
F.-j. Turiel
Ceci definit une application lineaire PJ(~) : TGM -+ FJ (p) ou, globalement, P, : T*M --f FJ, oti FJ est l’union disjointe de tous les FJ(~). Bien stir, F(2, J) sera l’union disjointe de tous les F(2, J)(p).
CJne 2-forme p Ctant donnee, on notera PJ la 2-forme definie par P,r (X, Y) = a( .1X: Y) +p(X, JY). Soit K,v[~] I’algebre des polynomes d’une variable a coefficients dans l’anneau des fonctions
differentiables sur une variete N reelle (fonctions C”) ou complexe (fonctions holomorphes). Considerons un champ d’endomorphismes H d’un fibre vectoriel sur N. On dira que le gpe &g&brique
de H est constant, s’il existe des polynomes ~1: . . ,cp~; E KN [t], irreductibles et premiers entre eux en chaque point, et des entiers positifs u,~~, % = 1, . . . . rj, .j = 1 { $“’ (p)}, 1: = 1, . . . . r-j, ,j = 1; ‘..) li
, . . . . C, tels que pour tout p E N, la famille , soit la famille des diviseurs Clementaires de H(p).
Notons NJ la torsion de Nijenhuis de J. Soient gk = trace(J”) et E = ny=“=, Ker (lyj. Si NJ = 0, alors JE c E; darts ce cas on dit qu’un point p E M est regulier s’il existe un voisinage ouvert A de ce point sur lequel le type algebrique de .I est constant, E est un sous-hbre de T.A et le type
algebrique de la restriction de J a E est aussi constant. L’ensemble des points reguliers est un ouvert dense de M, appele desormais l’ouvert regulier.
Supposons donnees, sur une variete reelle ou complexe, une forme symplectique w et une 2- forme fermee wr. Soit J le tenseur de type (1.1) defini par wr(X, Y) = w(.?X, Y) ; alors chaque wk(X:Y) = w(.i”X.Y) est une 2-forme. On rappelle que le couple {w;wl} est dit compatible si Nj = 0. Ceci Cquivaut a dire que dwp = 0 (voir [3]). L’ouvert regulier et le polyn8me caracteristique de {w, WI} seront ceux de J. Bien sGr bilagrungien voudra dire lagrangien pour w et isotrope pour wl. Un sous-espace vectoriel de l’espace tangent en un point est dit super-lagrangien s’il est bilagrangien et s’il admet en outre un supplementaire bilagrangien.
THBORBME 1. - Considerons sur une varie’te’ differentiable M, reelle ou complexe, un tenseur J de ape (1,1) et une 2-forme [I. Supposons NJ = 0 et I’, = 0. Alors il existe, au voisinage de chaque point regulier de J, une fonction f telle que d(df o J) = [? si et sedement si [ j et ,fiJ ,miztferm&s
et ,0(p) E F(2, d)(p) pour tout point regulier p de J.
De’monstrution. - Pour simplifier on supposera reguliers tous les points de M. Comme NJ = 0 et PJ = 0, il existe, au voisinage de chaque point, des coordonnees (zr! . . ..z.,,,) telles que d(tk, o J) = 0, j = 1, . . . . m (voir [4]). Par la suite, ces coordonnees seront appelees spe’ciales. Les conditions sont necessaires. En effet, si [j = d(df o J), alors p(p) = -[IO-, oh (T est l’hessien en 11 de f calcule par rapport a un systeme de coordonnees speciales. D’autre part, d(df o J’)(X:Y) = d(df o J)(.JX,Y) + d(df o J)(X, JY), done 0.r = d(df o J2).
Demontrons maintenant que ces conditions sont suffisantes. Soit CJ : T*M + T*M le morphisme de fib& defini par c~(r) = r o ,I, et soit w la forme symplectique de Liouville de T*M. Posons 61 = w et RI = (CJ)*W quand cJ est regard6 comme une application differentiable. Alors ($2, or} est compatible car NJ = 0 (voir [3]), done dR2 = 0. En outre, le couple {w, WI}, oti wr = 121 - n*,8 et rr : T*M -+ M est la projection canonique, est compatible aussi puisque w2 = f22 - r*pJ.
‘La section zero nous permet de considerer M comme une sous-variete de T*M. Supposons que par un point p E hl c T*M passe une sous-variete N bilagrangienne pour {w: WI} et transverse a la fibre ~-l(p). Alors, comme N est w-lagrangienne, elle peut Ctre identifiee, au voisinage de p, a df pour une certaine fonction f. Le fait pour N d’etre wl-isotrope entraine que d(df o J) - 0 = 0, c’est-a-dire ,8 = d(df o J). B re , f notre probleme se reduit a la recherche d’une telle sous-variete N. Pour cela, on va appliquer les resultats et les methodes de [3] et [4] en laissant de c&e les details techniques, fastidieux quoique Clementaires.
D’abord un calcul, a l’aide de coordonnees sur T*M associees a un systeme de coordonnees speciales sur M, montre que tous les points de T*M sont reguliers pour {w, wl} car ceux de M l’etaient pour J et que ,8 est une section de F(2, J). De m&me, chaque T,~l(p) est {w, WI}-super-
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L’bquation 2iB3f = ,j
lagrangien et le polynome caracteristique de {w: wl} est (t’” + (h,,-i o 7r)t”‘-l + . . + (h,, o T))~, oii Y” + h,,-ltr”-l + . . + ha est celui de .I. En particulier, la differentielle de chaque fonction coefficient du polynbme caracteristique de {w,wl} est nulle sur T,r-l(p).
La methode de decomposition en produit, utilisee dans [3] pour classifier autour de chaque point regulier les couples compatibles {in, wl}, et le fait pour T,7r-‘(y) d’etre super-lagrangien et d’annuler la differentielle de chaque coefficient du polynbme caracttristique de {w.wr}, reduit la recherche de N au probleme suivant :
fitant donne un couple compatible {X. Xi}, defini sur une variete P et de polynome caracteristique
(t + b)? et un sous-espace super-lagrangien U c T,P, ou p est regulier et dh(U) = 0, trouver une sous-vat-i&e bilagrangienne Q passant par p telle que T,P = U $ TPQ.
Si h est constante alors A et X1 peuvent Ctre &rites simultadment, au voisinage de p, B coefficients constants (theoreme 3 de [3]) et il suffit d’identifier Q a un supplementaire bilagrangien de cr. Lorsque h n’est pas constante, on applique les lemmes 1, 2, 3 et 4 de [4], en remplacant Kern*(y) par U, pour trouver des coordonnees (5, y) = ((zi), yr, y/2), % = l! . . . . 27.j et ~1 > ~2 > . . . > rf, dans lesquelles
A = c ( c ds;k&, A d&) + ny, A dyl,:
j=i ._.., e k=l._.,. r,
Xl = (m + CL)A + c ( d2&1 A dzJ,,+,)
j=l,... ;Y k=l,..., rj-l
+ b: + c ( c [(k + (1/2))&$&, + (k - (1/2))3:;&:rjzk])] ,, dy2, 3=1,..., P k=l...., r,
p s’identifie a l’origine et T,Ao $ U = T,P, 00 A0 est la sous-variete definie par les equations zgk = y1 = 0, k = 1 > . . . . T j , j = 1; . . . . e. I1 suffira done de faire Q = Ao.
Remarque. - Les tenseurs J pour lesquels NJ = 0 et P. 1 = 0 on et6 classifies localement, sur l’ouvert regulier, dans [4]. Lorsque J definit une G-structure NJ = 0 et PJ = 0 Cquivaut a la nullite de la premiere fonction de structure ou tenseur de Bernard. En outre, J(p) cyclique entraine F(2, J)(p) = h2TjM, et par suite PJ(P) = 0. D’un autre c&Z, et pour les cm 02 M es? me varie’te’ rkelle :
a) Si la forme bilineaire .y(X, Y) = p( JX, Y) est symetrique, c’est-a-dire BJ = 0, et si J est inversible, alors b est une section de F(2, J) (pour J2 = fId la reciproque est aussi vraie). En outre, lorsque p est symplectique et N J = 0, la connexion de Levi-Civita associee a g rend paralleles 4 et J (on adapte la demonstration du cas kW?ien), done tous les points sont reguliers et P.7 = 0; d’apres le theoreme 1, il existe au voisinage de chaque point une fonction f telle que d(df o J) = [I. Ceci &end un resultat bien connu dans le cas kahlerien.
b) Supposons maintenant que M soit la base d’une fibration bilagrangienne en tores (voir [ 11). Alors il existe sur M un tenseur J, de type (1: I), a torsion de Nijenhuis nulle et tel que d(dy o J) = 0 pour toute coordonnee action q ; done PJ = 0. Dans [1] on a classifie les tibrations bilagrangiennes qui admettent, au-dessus de chaque point de la base, une section locale bilagrangienne. L*existence d’une telle section est Cquivalente a celle d’une solution locale de l’equation d(@ o J) = 0 pour une certaine 2-forme fermee p telle que d,6~ = 0 (voir [l] de nouveau).
par consequent, sur l’ouvert regulier, une telle fibration admet des sections locales bilagrangiennes
au voisinage de chaque point si et seulement si ,8 est a son tour une section de F(2; J). En particulier, c’est le cas automatiquement lorsque J est cyclique, ce qui generalise la proposition 3 de ] 1 I.
c) Supposons desormais M compacte, NJ = 0 et PJ = 0. Du point de vue global, l’existence d’une fonction f definie sur M toute entiere telle que d(df 0 ,I) = /-I, entrame que fi et ,8~ sont exactes
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et /3 une section globale de F(2, J) ; il s’agit done de trois conditions necessaires pour l’existence d’une telle f. Lorsque d est la structure complexe d’une structure kahlerienne, ces conditions sont aussi suffisantes (dd’-lemme de [2]).
En general, cela n’est pas le cas. Prenons une 1-forme fermee T ; alors /? = d(r o J) verifie les trois conditions preddentes. L’existence d’une fonction f globale Cquivaut a dire que l’on peut choisir p E [T] telle que d(p o J) = 0. On peut done se demander a quelle condition H1(M, W) esf. J-r&disable, c’est-a-dire chaque classe est realisable par une l-forme p telle que d(p o J) = 0. Quand J2 = - Id, p est la partie reelle d’une forme holomorphe, done [p] = 0 Cquivaut a p = 0, et J-realisable entraine que la dimension de H1(M, W) est paire. Or, il y a des varietes complexes, m&me pseudo-kahleriennes, a premier nombre de Betti impair.
Considerons maintenant sur M deux feuilletages supplementaires 31 et 32, de dimension et codimension un respectivement, et le tenseur J Cgal a Id sur 31 et a - Id sur 3~. Si H1(M, W) est J-realisable alors, soit chacun de ses elements peut Ctre donne par une forme 3i-basique, soit il existe une l-forme 3a-basique non nulle. Par exemple, si l’on regarde S1 x Y-l, n > 2, comme le quotient de R’” - (0) par le groupe des homotheties exp(k Id), k E Z, et si 31 et 32 sont les feuilletages quotients de ceux de R’” - (0) definis par a/a z1 et dzi = 0 respectivement, alors H1(S1 x S’-‘, R) n’est pas J-realisable. En revanche, H1(S1 x S-l, W), n > 3, devient J-realisable si l’on Cpaissit la feuille compacte de 32 pour introduire un paquet de feuilles compactes sans holonomie.
Note remise le 1.5 octobre 1997, acceptee le 20 octobre 1997.
RCfkences bibliographiques
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