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Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d'un espace de RIEMASN

par G. VRANCEANU, Buearest

On sait d'apr~s des rdsultats dus s G. DE RHAM et W. HODGE1), qu%tant donn6 un espace de RIEMANN compact orientable, le nombre des tenseurs harmoniques ind6pendants d 'un certain ordre p qu'on peut eonstruire dans l'espace, est dgal au nombre de BETTI B~. D'autre part on sait, d'apr~s un th60r~me de K. u 2) que chaque tenseur harmonique est un invariant par rapport h u n mouvement de l'espace. I1 y a donc une relation 4troite entre le nombre r des param~tres du groupe de mouvement d 'un espace V~ compact et les nombres de BETTI de cet espace. D'autre part, comme chaque tenseur harmonique est en m~me temps un tenseur s d~riv6e extdrieure nulle, ou comme on dit encore un tenseur fermi, il y a une relation dtroite entre le nombre des tenseurs fermds invariants et le groupe G~ de 1 espace.

Dans la premiere partie nous allons donner certaines formules qui lient les tenseurs symgtriques gauches avec le groupe de mouvement G~ de l'espace.

Dans la seconde partie nous allons supposer que l'espace est rapportd s un syst~me de congruences orthogonales et nous allons montrer que dans le cas oh l'espace poss~de un groupe de mouvement s i m p l e m e n t t rans i t i / et l'on utilise les congruences orthogonales s coefficients de rotation constants3), la recherche des tenseurs harmoniques de l'espaee devient un probl~me alg6bri- que, ce qui gdndralise un r~sultat de HODGE relatff aux espaces~des groupes semi-simples.

I

Etant donn6 un espace de RXEMANN V., d~fini comme une vari~td diff6ren- tiable, dont la mdtrique dans un certain voisinage est donn~e par la formule

ds 2 ~ a~jdx~dx ~ , (1)

on salt que si l'espace V~ est compact, il peut ~tre couvert par un nombre fini de voisinages. Une certaine propridt~ est valable pour l'espace V~ compact, si elle est valable dans ehacun de ces voisinages. Consid~rons alors un tenseur sym6trique gauche quelconque ~ . . . i p eovariant d'ordre p. On sait qu'on peut

1) W. HODGE, The theory and applications o/harmonic integrals, Cambridge Univ. Press, 1952. ~) K. YANO, Curvature and BETTI numbers, Annals of Math. Studies, Princeton 1953, p.48-49. s) G. V~ANCEANU, Sur le# espaces de RIE~A~'Y, ayant leurs coe/]icicnts de rotation constants,

C. R. Paris, t. 184, 1929, p. 386-388.

11 Commentarli Mathematiei Helvetic!

162 G. V~c~a~,r

former avec ce tenseur un tenseur sym6tr ique gauche d 'ordre p -t- 1

a~q.. .~ a#~. . .~ a#q.. .~ A~#q. . .~v - - ax~ axq - . . . ox~ (2)

qu 'on appelle, la d~rivde ext~rieure du tenseur ~ q . . . ~ . Si cet te d6rivde ex- t~rieure est nulle on dit que le tenseur est fermd.

Considdrons ma in t enan t un vec teur con t revar ian t ~ . On sait qu 'un tel vec teur dgfmit un groupe G~ cont inu ~ un param~tre, la t r ans format ion in- finitdsimale de ce groupe dtant donnd par la formule

x '~ = x ~ + ~ (3)

oh ~ sont consid~rds comme des quanti tds du premier ordre. On peu t former l 'aide du tenseur ~ . . . ~ et du vec teur ~ la d~riv~e de L ~

L ~ I . . . ~ - - Ox ~ ~ + ~,q . . . . . .~ ~ + . . . + ~ , Ox~p (4)

e t ce t te d~rivde est nulle si le tenseur ~ia... % admet le groupe de m o u v e m e n t G 1, ou comme on di t encore, s'il est invar ian t par le groupe Gx, ou bien par le m o u v e m e n t (3).

D ' au t r e par t , on peut associer aux deux tenseurs ~i~...~v et ~ le tenseur sym4tr ique gauche d 'ordre T -- 1

bh. ..~v_~ = ~ - ~ (5) �9 "

Cela fait, nous avons les formules

Lbi l ~v ~ = ~TIL~q...~v-~z . . . . (6)

l Akbi~...iv-1 = ~) A ~ q . . . ~ p _ ~ -+- L~q...~p-~k "

Pour la ddmonstra t ion, on remarque que la formule (4), si l 'on utilise la formule (2) pour Oiminer la d~riv~e de ~i~... ~p par r appor t h x k devient la seconde formule (6) si l 'on remarque que A kbq...i~_~, c'est-~-dire la ddriv6e extdr ieure du tenseur (5), peu t encore s'~crire

a , 0 O Akbil...i~_~ = ~-xk(~q . . . ip_ ,~ ) + ~ ( ~ , . . . k ~ s ) + ' " + ~ ( # ~ l . . . , k ~ ' ) (7)

et que nous avons

~ k A ~ q . . . i ~ _ l t = - - ~ k A t ~ q . . . i p _ ~ �9 (8)

De mgme il en rdsulte faci lement les premieres formules (6). Nous avons donc le thdor~me suivant :

Etant do'and un tenseur symdtrique gauche d'ordre p ]ermd ~i~...i T, invariant

Tenseurs harmoniques et groupes de mouvemen t d ' un espace de R I E ~ 163

p a r r a p p o r t a u m o u v e m e n t ~ , le t enseur associd (5) est a u s s i / e r m d et i n v a r i a n t p a r rappor t ~ ~ .

En prenant la ddrivde covariante de la formule (5) par rapport g xt nous a v o n s

bil...iv_l, j = ~il...iv_li ~i,i + ~q...iv_~i,i~ i" (9)

Nous pouvons donc 6crire la formule

a 'Jbi l . . . iv-~,, i = a'J ~i~ . .iv-2,i rl i, J -[- aSJ ~il . . .iv-.,,i, i t~ �9 (10)

Comme le tenseur ~i, . . . i v est harmonique si nous avons

a'i~il . . iv-, , i , i = 0 (11)

il en rdsulte que le premier membre de la formule (10) est aussi nul, donc le tenseur associ4 (5) est aussi harmonique, si le tenseur

l i t . . . i p _ , = ~6 " ~i .aSS = ~il a ' l " i k ~ (12) �9 . . ~ V - 2 s i ' l , ) . . . i p - 2 s i ,I,, q k , l

est nul. Consid~rons main tenan t dans l 'espace V~ un groupe G, et soient

~ (~ = 1 . . . . . r) les r vecteurs qui ddfinissent les t ransformat ions infinit4si- males du groupe. On salt alors que nous avons les formules

�9 0 i

oh c~ sont les constantes de s tructure du groupe. Nous voulons montrer que les formules (6) peuvent se gdndraliser g u n ten-

seur symdtrique gauche quelconque ~il ~p d 'ordre p e t deux vecteurs i ~ et m6me g u n nombre quelconque de vecteurs. En effet, on peut toujours consid4rer les tenseurs associ~s d 'ordre p -- 2,

~il...iv_2~ ----- ~il.. .i v , i J~7~" (14)

Nous allons ddmontrer en premier lieu la formule

i L . (15) L ~ . . . i v _ ~ ---- ~ ~i~.. . iv_~ + ~ ..iV_l~ c~

oh nous avons posd ~i~...iv-~ = ~i,...iv-~' V~" En effet nous avons, en accord avec les premieres formules (6)

. . . . . ~x '

~ ova a~ + ~ , . . . ~ v - , ~ " ' Oxi~ + " ' " + r Oxiv_, �9

164 G. vr~wc~.~cv

On voit que dans le second membre, les termes qui ont en facteur ~ consti- tuent La~i~...~v-d sauf le dernier terme de La qui manque. Donc, dans le second membre, en dchors du terme ~La~i~...~_~i restent les termes

.

En changeant s avec ~" dans le second de ces termes et en tenant compte des formules (13), il en rdsulte les formules (15), ce qui constitue une g6n6ralisa- tion des premibres formules (6).

du groupe G~ Considdrons maintenant q -f- 1 vecteurs ~ , V ~ , . . . , ~ et considdrons le tenseur d'ordre p -- q

= Jq (16)

Nous avons alors la formule

L~$(~...~v_qa~...~q --~ V~I... ~La~i~...~v-qi,...iq (17)

+ ~ , . . . ~ _ q ~ . . c o + + . ~ c ~ . . a q ~ a 1 ' ' " ~ i l . . . ~ - q O ~ l , ,

Pour la d6monstration on remarque dans ce cas aussi que nous avons

L~,~1...~_q~,...o~ V '~ . . .n~ aa,...~_,~...~q , = ~ x s ~

0 + ~,. . .~-~,-. .~ a ~ [~1 . . . ~ ]

aT" 4- -4- ~,. . . ,~,... ~q ax%~ "'~"" + ~ , . . . q,~h... ~q a x i , . . . .

On voit que les termes du second membre qui contiennent en facteur ~a.i~. .V~ repr6sentent les n ~ 1 -- q premiers termes de la d6riv6e de LI~ L~...~v_qh...~ q. En faisant apparaltre dans le second membre de (17 ~) cette ddrivde les autres termes du second membre de (17 ~) s'dcrivent

~ 1 " ' " 12~- q ~ I ' ' " ~q ~ X 8 ~]O~l " " " ~ "lO( - - " " "

- - ~ q . . . ~ p - q h . . . s OxJq ~7r �9 �9 �9

de fa~on qu'en tenant compte des formules (13) il en rdsulte les formules (17). Supposons maintenant que les vecteurs V~I . . . . V~q d6terminent un groupe

Gq h q param~tres, invariant dans G~. En ce cas l'indice ~ dans les seconds membres des (17) peut prendre seulement les valeurs r162 . . . . . r En tenant compte d 'autre part de la gauche sym~trie des ~1...~ il en r~sulte que l 'on

Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d 'un espace de R m ~ N N 165

peut avoir des termes non nuls seulement si dans c ~ 1 nous posons ~ ~ ~1- I1 en r~sulte done que les formules (17) deviennent en ee eas

L~,,... ,~_~,...~ = r ~ L ~ , , . . ,~_~,.. . ~ - - h ~ , , . . . ,~_~,...~, (17")

oh nous avons pos6

h 0 ~ 6 1 ~ ~ ~ = % , ~ + + c ~ .

Nous avons donc le th~or~me:

Etant donnd un tenseur gauche symdtrique ~il...~, d'ordre p invariant par une trans/ormation ~7~ et un groupe Gq d'ordre q ~ p, invariant dans G~ le tenseur associd (16) au groupe Gq est aussi invariant par rapport ~ ~r 8i la quantitd h~, est nulle.

On peu t r emarquer que les quanti t6s h~ sont nulles, si G~ est le groupe d~riv6 de G~ et si le vec teur de s t ruc ture de G, est nul.

Ecr ivons ma in tenan t les formules (14) sous la forme

et prenons les d~riv~es ext~rieures. Nous avons en appl iquant la seconde formule (6)

A ~ . . . ~ _ ~ g = v~Ak~ . . . ~_, ~g + L ~ , . . i~_, ~t~ �9

E n t enan t compte des formules (6) nous obtenons la formule

�9 = . ~7~ ,L/~ , . . . ~_~ ~ + r/~L~,~il . . , i~_~ ~ A ~ ..~-,~t~ ~ A ~ , . . ~_~ , +

+ ~ . . . ~_, ~ c ~ .

Consid~rons encore la d~riv6e ext~rieure d ' un tenseur assoei~ /~ trois vee- teurs. Nous avons la formule

A ~ . . . ~_~ ~/~ = ~ A ~ . . . % , ~/~ + L ~ . . . ~_, ~/~.

E n t enan t eompte de la formule (17) et (18) nous avons

~ r e ~ i ~ L A~q. . .~_~e~[J~ ~ 'le~'l~'tr ~ x . . . i ~ _ ~ i i t - ~ "/~'/~, c~ q . . . i ~ _ ~ t

~ , ~ , L # ~ . . . ~,-, ~ ~, ~ + ~o,~L~,~, . . ~ ,_ , , ~ + S ~ i , . . ~p_, ~o,~c$~,

oh S signifie qu 'on f a r la somme des termes qui s 'ob t iennent par les permuta- t ions eireulaires des indices e~, fl, ~.

Consid6rons ma in tenan t la d6riv6e ext~rieure du tenseur (16). On peu t 6erire 6v idemment

Az,~,..~_q~,~...o~ -= ~ A ~ , . . i ~ i , ~ . . . ~ + L~,~,..~_~,~,~...o~. (18 ~)

166 G. V ~ c E x ~ v

]l s 'agit ma in t enan t de mont re r que nous avons les formules

- - ~ ' �9 �9 ~ A k ~ . + ~ S , �9 A k ~ i l .. ip_qo~l.. Ctq-- ~ X 1 �9 .. i p _ q t l . . . " . �9 . Jq Ilcl. " " ~ i c ~ l ~ ' I ip_q kJ . . . .~q

�9 . . cO ( 1 9 ) + . . . + 1 n,ii=IL ,l + S , , .

oh S signifie qu 'on f a r la somme des termes correspondants k toutes les com- binaisons qui s 'ob t iennent de ~z . . . . . ~r en associant ~ chaque paire c~r ~ les autres n -- 2, c% (s ~ i , j) de fa~on que ~i, ~j, ~,~ . . . . ~q_~ s 'ob t iennent de c~ 1, c % , . . . , c% par une pe rmuta t ion paire.

Pour la d6monst ra t ion on suppose que la formule (19) est v6rifi6e pour q - - 1 vecteurs. E n ce cas, en t enan t compte de la formule (18') et des formules (17) il en r6sulte que la formule (19) est aussi v6rifi6e pour q vecteurs. E n effet, il est facile k v6rifier que dans le second membre de (18') intervien- nent les termes du second membre de (18) qui cont iennent la d6riv6e ext6-

dans rieure At et les d6riv6es de LIE. En ce qui concerne les te rmes en %v (18') ils s 'dcrivent

i ~ CO ~ - ~ i l . . . i p _ q k q C ~ a . . . O ~ q C~la 2 ip_q c q (19') ~OL 1 ~ i l b . , i p _ q i k q o ~ i , . . c K q {X2oL 3 CQ ~ - ~ i l . . . k f f t~. . .q alO~ q

oh S signifie qu 'on fait la somme par r appor t ~ t o u s l e s couples formds avec %, ~z . . . . . ~q. Mais le premier t e rme peut aussi s'dcrire

~ ~il . . . tp_q kec~z o~. . . O~q co

et il est facile k voir que la formule (19') coincide avec la somme S de la formule (19).

Les formules (17) et (19) peuven t donc 6tre consid6rdes comme une g6ndrali- sat ion des formules (6) et nous avons le th6or~me suivant :

E t a n t d o n n d u n g r o u p e G~ et u n t e n s e u r s y m d t r i q u e g a u c h e ~ . . . ~ les d i [ -

/ 6 r e n t s t e n s e u r s (16) a s s o c i d s a u g r o u p e , s a t i s / o n t a u x / o r m u l e s (17) et (19).

ddterminent un groupe Gq. En ce Supposons ma in tenan t que ~ . . . . ~/~q cas l ' indice ~ dans les formules (19) peu t prendre seulement les valeurs ~ . D ' au t re par t , en t enan t compte de la sym6tr ie gauche du tenseur ~t . . . ~ il r6sulte que la formule (19) s'6crit, dans le cas oh ce tenseur est ferm6 et invar iant ,

A ~ ~ix. . . i1~_ q olz... ~xq = - - ca z $i~. . . r ~ a~... ~ ' + - �9 "" ( - - 1) qc~ ~, . . . r ~ a,-" ~q-, (20)

q les 6rant les composantes du vec teur de oh nous avons pos6 co, t ~ ce~i, % t

s t ruc ture du groupe Gq. Nous avons done le th6or~me:

Tenseu r s h a r m o n i q u e s e t g roupes de m o u v e m e n t d ' u n espace de RIEMANN 167

Etan t donnd un tenseur gauche symdtrique ~ . . . ~ /ermd et invar iant par

rapport au groupe Gq le tenseur associd (16) est aussi /ermd, si le vecteur de struc-

ture du groupe G q est nul .

On salt que tous les groupes simples ou semi-simples de m6me que les groupes qui coincident avec leur groupe d6riv6 ont le vec teur de s t ruc ture nul. I1 en r6sulte donc que si l 'espace V~ poss~de un groupe s q parambtres k vec teur de s t ruc ture nul et si nous avons un tenseur ferm6 invar ian t ~/~... tq, les quanti t6s

~q (20')

sont des constantes, ce qui c o n s t r u e une g6n~ralisation dans le cas d ' u n espace V~ compact du thdorbme de BOCHNER, qui correspond au cas q = 1.

I I

Supposons ma in tenan t que l 'on considbre dans l 'espace de R iemann V~ un systbme de n congruences orthogonales. Cel~ signifie que la mdtr ique (1) a 6t6 6crite sous la forme canonique

ds 2 : (dsl)* + " " A- (ds") ~ (21)

et que nous avons des formules de la forme

ds a , ~ d x i, dx i #~ads~, a i --~ (~, ai ~ a i ~ (21') = = h i I~b ~ h i h~, aii : #a#a

et l 'on dit d'apr~s Rzccr et LEv~-CIvITA que #~(a = 1 , . . . , n) sont les para- m~tres des n congruences orthogonales et 2 a (a ---- 1 . . . . . n) sont les moments . On di t aussi que ds ~ sont les diffdrentielles des arcs des congruences, car si toutes les ds a sont nulles, sauf une, disons ds 1, alors nous avons un d6place- ment sur la premiere congruence.

Supposons ma in t enan t que nous ayons une t r ans fo rmat ion (3) de l 'espaee V~, donc que sont vdrifides les formules

~aiJ ~k _~_ a sj Ors Ors L a ~ = Ox x ~ + a~--Oxj = O. (21 ~)

E n t enan t compte des formules (21') on peu t dcrire ces formules sous la forme

a a ~ a Lai~ --= h i Lh i ~- h i L h i -~ 0 (22)

oh nous avons posd

Lh~ -- ~ h~ 0x*

168 G. V~c~ .~ rc

E n mul t ip l iant par /t~,/t~ e t en somman t nous obtenons les formules

e i b #~L2~ /t0L1 i + = 0 (23)

Supposons main tenan t que l 'espace V. poss6de un groupe de m o u v em en t s implement t rans i t i f G d6fini par les n vecteurs V~ (a = 1 . . . . , n). Nous avons alors des formules de la forme (13) oh c~p (c~, fl, ~ = 1 . . . . . n) sont les constantes de s t ruc ture du groupe. En ce cas on peu t choisir un syst6me de congruences or thogonales dans l 'espace V. qui soient en m6me temps invar iantes par r appor t au groupe G., done de fagon s avoir

L~2t - a2t 0 4 axJ '~ + 2~' ~ = o. (24)

II est facile s voir que lee congruences (4) ainsi d6finies fo rment elles aussi par les vecteurs #~ un groupe s implement t rans i t i f H , et on peu t s 'ar ranger de fagon que H . poss~de les mSmes constantes de s t ruc ture que G, , car les deux groupes sont r~ciproques ~) et les coefficients de ro ta t ion de RIccI des n congruences (;t) sont des constantes d~finies par les formules

b c r ~ = �89 + c~ + c~) . (24")

Consid~rons ma in tenan t un tenseur gauche sym6~rique ~q...~, et soient ~ , . . . ~p ses eomposantes sur les congruences (4). Nous avons alors les formules

Si l 'on consid~re ma in t enan t les d~riv~es ext~rieures, il est facile ~ voir qu 'on obt ien t les formules

A ~ i , . . . tp ---- A ~ x . . " ~p t ~ : " ' " 2~'v X~iv *

oh nous avons pos6

A ~ .... ~ _ a ~ . . . ~ 0 ~ . . . ~ _ 0 ~ . . . ~ 0 8 a 0 8 ax " " " 0 8ap

+ ~1 ~ w~,a + + ~al tW~a -- ~1a.. wt ~a, 1aW~ ,a (25) . , . �9 " " . . . . a p a ~ a s - - " " ' - - . . . p _

les termes n~gatifs du second membre de (25) p rovenan t du t e rme g~ndral

w / - - ~ a x . . . a s - x / . . . a q - x a . . . a l ~ asaq

oh s < q. E n ee qui eoncerne les quantit~s w~ elles sont les coefficients des covar iants bilindaires A s ~ des formes ds ~ et nous avons

A s a =- ~ d ~ a - - d~8 ~ : w ~ d s b (~8 ~ . (26)

x) G. YRX~CCZXNU, S u r les espacea de R r ~ a y a n t leura coeIt ic ients de rotat ion conatanta, C. R . 189, 1929, 13, 386 e t L e f o n s de g~omktrie d i / # ren t i e l l e , vol. I , 1947, p. 291.

Tenseu r s h a r m o n i q u e s e t g roupes de m o u v e m e n t d ' u n espace de R m ~ 169

Au t r emen t di t A s a sont les d~riv~es extdrieures des ds% exprim~es ~ l 'aide des formes ds 1 . . . . . ds n. On voit done que la condit ion pour que le tenseur ~ . . . ~ soit ferm~ est donn~e dans le syst~me des congruences (2) par la con- di t ion A ~ . . . ~v -~ 0. D ' au t re par t en consid6rant la d~riv~e de LIE du tenseur ~ . . . ~v nous avons les formules

L ~ . . . ~ - - ~k + ft...av#a~L;t~ § " " " + ~a~...1#~vL~ ~ " "~iv.

Supposons ma in tenan t que l 'espaee V, poss~de un groupe s implement t ran- si t if G,~ et que les congruences (;t) sont invar iantes par ce groupe. E n ce cas comme nous avons montrd plus hau t quc L~;t~ sont toutes nulles et w~ sont dgales aux constantes c~c de la s t ruc ture du groupe G,, les 6quations (26') nous disent que le tenseur ~ . . . i v est invar iant par le groupe G~, si les eomposantes ~a~...~v sont routes des eonstantes et la formule (25) nous dit que le tenseur ~a~...ap est en mgme temps ferm6 si nous avons les conditions

c I c ! ! c l ~la~...ap a,a-4-''" ~ ~a,.../ ava--~la...apcaxa~--"'--$a~.../a a~_,a~: O. ( 2 7 )

NOUS avons donc le th6orbme:

Etant donnd un espace V,~ possddant un groupe simplement transiti/ G,, la recherche des tenseur8 gauches symdtriques /ermds et invariants, se rdduit dt la recherche des solutions des dquations algdbriques (27).

Considdrons ma in t enan t les ddrivdes covariantes, ~ . . .~v ,a du tenseur ~ , . . a v . E n t enan t compte que les composantes ~a~...a v sont des constantes et que les coefficients de la connexion dans le systbme des congruences (~t) sont y~r nous avons

~a~ a ~ _ _ ~ / . . I ! . . . . a .av~a,a + + ~a, ( 2 7 1 ) -- " " " ...I~apa

et il est facile /~ voir que l 'on peu t expr imer les formules (27) aussi sous la forme

~ , . . . ~ , ~ - - ~a...~, ~ -- . . . - - ~, . . .~, ~ = 0 .

E n t enan t compte que dans un syst~me de congruences orthogonales les composantes du tenseur m~trique sont 8~ il en rdsulte qu 'en posant dans les formules (27') ax = a e t en con t rac tan t on obt ien t comme conditions pour que le tenseur soit harmonique

~1=,... a~rla + ~ 1 . . . ~ r / , ~ + "'" + ~. . . 1~,~I = O. (28)

Les conditions (27) et (28) repr6senten~ done les conditions n~cessaires e t suffisantes pour que le tenseur ~ , . . . ~ soit harmonique.

170 G. V ~ c E ~ - ~ u

On voit aussi qu 'une condit ion suffisante est que

~a l . . ap ,~ = 21 . . t . . ~ t �9 . ~ y ~ l . + . + . ~ . . . / y ~ . = 0 ( 2 8 ' )

E n t enan t eompte des formules (24") nous obtenons

a Cat C1'

oh c I e s t ce qu 'on appelle le vec teur de s t ruc ture du groupe Gn et les dquations (28) s '~crivent en t enan t compte des formules (24")

~/...avct ~- ~as...avc~] + . . . + ~aa....s c ~ -~ 0 (29)

oh l ' indiee a est plus pe t i t que 8. Nous avons done le thdor~me:

Etant donnd un espace V , compact orientable possddant un groupe simplement transitif G,~ la recherche des tenseurs harmoniques revient ~ la recherche des solutions des dquations algdbriques (27) et (29).

Supposons ma in tenan t que nous ayons un vec teur harmonique don t les composantes sur les congruences (2) sont ~ . Ce vec teur est fermd si nous avons conform6ment aux dquations (27)

~ , c h = 0 (30)

ces 6quations ne possddant pas des solutions si le groupe G, coincide avec son groupe d6riv6. I1 n ' y a done plus de vec teur harmonique et nous avons le thdor~me :

Etant donnd un espace V,~ compact ~ groupe G~ qui co'incide avec son groupe ddrivd, le hombre de BETTI B 1 est nul.

Si le groupe d6riv6 de G~ est un groupe G,_m(~>0) les dquations (30) pos- sbdent m solutions. En t enan t compte que les dquat ions (29) s '~crivent

,$1Cl = 0 (30')

il en r~sulte qu 'une des solutions des 6quations (30) nous donne un vec teur harmonique si son produi t sealaire avee le vec teur c 1 est nul. Nous avons le thdorbme suivant :

Le nombre de BETTI Bx d'un espace V~ compact ~ groupe G, possddant u n groupe ddrivg G,_,, est dgal g~ m -- 1 ou ~ m.

E n effet supposons que nous avons choisi les t ransformat ions infinit~simales X~] du groupe G, de fagon que X~f (~ = m ~- 1 . . . . . n) soient les t ransfor-

h = 0 ( h 1, . m) e t l e v e e t e u r c t e s t ~ g a l mations de G,_~. E n ee cas C~b . . . .

Tenseurs harmoniques et groupes de mouvement d'un espace do RIEM~NN 171

C~. Comme chaque vec teur (~1 . . . . . ~ , 0 . . . . . 0) est f e rmi , ee vec teur est ha rmonique si nous avons

~hc~ o, (c~ ~ (h , m) (30") = = % h ) , = 1 . . . ,

e t l e n o m b r e d e B E T T r est 6gal s m - - 1 si c h ( h = 1 . . . . . m) n e s o n t pas tou tes nulles, a u t r e m e n t il est dgal h m. I1 en rdsulte en par t icul ier que le n o m b r e de BETTI B1 est dgal ~ m, si le vec teur de s t ruc tu re du groupe Gn est nul.

Cherchons m a i n t e n a n t les tenseurs fermds du second ordre. I ls doivent satis- faire aux dquat ions (27), qui en ce cas s 'dcr ivent

~lbclac ~- ~I~C~b -k ~1~c~ ~-- 0 . (31)

Pou r que le tenseur soit ha rmon ique il f au t qu ' i l satisfasse aussi aux formules

~lbC! + ~a~ 0 (a < s) . (32)

On peu t m a i n t e n a n t r e m a r q u e r que l ' on peu t tou jours sat isfaire aux formules (31) en posan t

:Io =

oh a h sont des cons tantes quelconques, donc il en existe une infinit~ de tenseurs ferm6s du second ordre.

Pou r q u ' u n tel tenseur soit ha rmon ique il f au t qu' i l sat isfasse aux formules (32) qui s 'dcr ivent

an(C~bC] + h b Ca, Cas ) = 0 . (32')

I1 f au t donc que ce sys t~me poss~de des solutions dans ah. Supposons que nous avons une solut ion ~b" On peu t tou jours pa r une t rans-

fo rma t ion or thogonale ~ coefficients cons tants rdduire le tenseur ~b s la forme canonique oh tou tes les composan tes sour nulles sauf ~12 . . . . . ~2r 2q, oh 2q ~< n. Nous allons supposer que 2q < n . E n ce cas si dans les dquat ions (31) les indices b, c va r i en t de 2q -~ 1 ~ n , nous avons les condit ions

2s-~ 0 ( f l , ? > 2 q ) 2s ~ 0 , ~2s--1 2S C/37 ~2s--1 2s CB?

oh s est un indice fixe a y a n t les valeurs 1 . . . . . q. Cela nous di t qu 'on dolt avoi r c ~ = 0 (h ~< 2q) donc les op~rateurs X ~ / (fl > 2q) f o rmen t un sous- groupe /~ n - - 2q p a r a m b t r e s du groupe Gn. Nous avons done le thdorbme:

Une condition ndcessaire ~our qu'un espace Vn dt groupe simplement transitif G~ poss~de un tenseur harmonique d'ordre 2 et de rang 2q, est que le groupe G, poss~de un sous-groupe Gn_2q.

172 O. V ~ c ~

Supposons cet te condit ion v~rifide et supposons aussi que le groupe G,_2q est un sous-groupe invar iant . E n ce cas on peu t supposer dans les 6quations (31) que les indices a, b, c ont des valeurs plus pet i tes que 2q + 1 et les formules (32) s '6crivent

~]b c] ~- ~asC b$ : O, ~asC~, : O. (33)

On voi t que les dquat ions (31) sont iden t iquement vdrifides si les op6rateurs X a / ( a = 1 . . . . . 2q) fo rment un groupe ab6hen et les (33) sont alors vdrifides s i c I = 0. Nous avons donc le th6orbme:

Une condition su]fisante pour que l'espace V~ poss~de un tenseur arbitraire harmonique du second ordre et de rang 2q est que le groupe G, possdde un sous- groupe invariant G,_~q, un groupe compldmentaire G2~ abdlien et que le vecteur de structure de G,, soit nul.

Supposons main tenan t qu 'on veu t que le tenseur harmonique soit de rang 2, donc q = 1. En ce cas les dquations (31) et (32) s 'dcrivent

~1~(c~ + c~) = o , ~1~cl + ~1~c~ = o

= 0 , h = 0 ( ~ , ~ = 3 , . . n) ~ 2 1 C 2 - j - ~12C~2 = 0 , C12 CO~ B �9 ,

done X l f e t X2] fo rment aussi un groupe. E n t enan t eompte des valeurs de cl, c2 nous avons les conditions

~ 0 c I = - - c ] . C(x I = 0 , CO( 2 = , ~

Nous avons donc le th~or~me:

Une condition ndcessaire et suf/isante pour qu'un espace V,~ ~ groupe simplement transiti] G,, poss~de un tenseur harmonique du second ordre de rang 2 est que la structure du groupe Gn soit de la ]orme

( X I X 2 ) = a X 1 @ bX~, (XgXr) = c~rXr (~, 8, ? , q > 2) (34)

(X1X~,) = ao, X1 + bo, X2 -[- m~Xq, (x2Xo,) = co, X 1 -- a~,X~ + nqaXc,

~ 0. I1 en r~sulte donc que si un espace V~ ferm6 orientable poss~de le groupe s implement t rans i t f f (34) le nombre de B~.TTI B 2 est au moins ~gal h l 'unit6.

Supposons ma in tenan t que le groupe G, est un groupe semi-simple. On sait qu ' en ee cas le tenseur symdtr ique

Chk = Ch~Ck#

n 'es t pas d~g~n6r~ et si le groupe (7. est un groupe fe rmi , le tenseur ca~ est d4fini ndgatif. Si l 'on suppose ee tenseur r~duit h la forme canonique -- ~

G. VI~NCEANU Tonseurs harmoniquos et groupes de mouvcmont d ' u n espaco de RIEMANN 173

les constantes de s t ruc ture c~ sont gauches sym~triques dans chaque paire d'indices. E n t enan t compte des formules (24"), il en r~sulte 27~ ~ = c~ . On dit alors que l 'espace V n est l 'espace reprdsentat i f du groupe semi-simple Gn. Nous avons done le th6or~me.

La ddtermination des tenseur8 harmoniques d'un espaee V,~ reprdsentatif d'un groupe semi-simple /erred se rdduit ~ la recherche des solutions des dquations (27) et (29) avec c I = 0 et c~ gauches symdriques dans chaque paire d'indicesl).

En t enan t compte du fair qu 'un groupe G~ semi-simple coincide avec son groupe d6riv4e, il en r6sulte, d 'apr~s un thdor~me ddmontr6 plus haut , que l 'espace a l e premier nombre de BETTI B 1 nul, ce qui est bien connu. De m6me, pour ddmontrer que le nombre B 2 est aussi nul, on observe qu 'en mult ipl iant

a et en sommant par r appor t ~ c e t a nous avons en les 6quations (31) par car t enan t compte de la gauche symdtr ie des %~

Chl~b, + 2~Iae~.cL = O. ( 3 5 )

D'au t re pa r t en t enan t compte des identitds de LIE, nous avons

b c t b 2~/aClceha = ~laCalCsh

dont le second membre est nul en ve r tu des formules (32) et du fair que nous avons c / = 0. Les formules (35) se rdduisent done aux premiers te rmes et comme le d6terminant [ca~ I est diffdrent de zdro, il en rdsulte ~br done le nombre B 2 est aussi nul.

Supposons ma in tenan t qu 'on consid~re les tenseurs ferm4s du troisi~me ordre. Dans ce cas les formules (27) et (29) s 'dcrivent

~1~,oclvz + ~c,1oclv~ + ~a,,IClvz - - ~ic~oC1,, - - ~1,,,~e1~ - - ~c,l,~el~ = 0 (36)

+ aa,,ca: = o.

Si le groupe G~ semi=simple est fermd et le tenseur ca~ a dtd rdduit ~ la forme canonique -- 0~ il est facile ~ voir que ces dquations a d m e t t e n t la solution ~1b~ = %1c, car les premieres dquations (36) sont vdrifi~es k cause des identit~s de LIE du groupe G~ et les secondes h cause du fair que c ~ , ~ 0. I1 en rdsulte d 'une mani~re tr~s simple le rdsul tat connu que le nombre B a ~ 1. D ' au t re pa r t le calcul d i rect de t o u s l e s nombres de BETTI des groupes simples fair par HODGE montre clue pour chaque groupe simple B a = 1 donc nous avons B a = l, pour l 'espace V~ k groupe G~ semi-simple et qui est le produi t de [ groupes simples.

Re~u le 20 fdvrier 1958

1) W. HODG~. mon t r e dans son livre, Harmonic integrals, p. 255, que los conditions suffisantes (28') sont aussi n6cessaires dans le cas d ' u n espace V n repr6senta t i f d 'un groupe G n semi-simple