CHAPITRE 6 : Fonctions de référence

I ) Sens de variation – Fonction valeur absolue 1) Sens de variation d'une fonction :

Définitions :

Soit f, une fonction définie sur un intervalle I de ℝ. • f est croissante sur l'intervalle I si, pour tous réels a et b de l'intervalle I

tels que a < b, on a f (a)⩽f (b) .• f est décroissante sur l'intervalle I si, pour tous réels a et b de

l'intervalle I tels que a < b, on a f (a)⩾f (b) .• f est monotone sur l'intervalle I si elle est croissante ou décroissante sur I.

A noter : Si l'on remplace f (a)⩽f (b) par f(a) < f(b) et f (a)⩾f (b) par f(a) > f(b), on ditque la fonction est respectivement strictement croissante et strictement décroissante sur I.

2) Variations des fonctions de référence :

Propriété : Fonction affine f : x ax+b

• Si a > 0, alors f est croissante sur ℝ.

• Si a < 0, alors f est décroissante sur ℝ.

• Si a = 0, alors f est constante sur ℝ.

Propriété : Fonction carré f : x x2

• La fonction carré est décroissante sur ] −∞ ; 0].• La fonction carré est croissante sur [0 ; +∞ [.

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Propriété : Fonction inverse f : x 1x

La fonction inverse est décroissante sur ] −∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞ [.

3) Fonction valeur absolue :

D é finitions :

Soit x , un nombre réel. Sur une droite munie d'un repère normé (O, I), on considère le point M d'abscisse x .

• On appelle valeur absolue de x la distance OM : ce nombre est noté | x |.

• La fonction valeur absolue est définie sur ℝ par f(x) = |x|

Propriétés algébriques :

• La valeur absolue d'un nombre est toujours un nombre positif ou nul. • Les valeurs absolues de deux nombres opposés sont égales. • Si x⩾0 , alors |x| = x et si x⩽0 alors |x| = -x

Exemple s : |5| = 5 ; | 1−π | = π−1 ...

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Propriétés :

• La fonction valeur absolue est définie sur ℝ. Elle est strictement décroissantesur ] −∞ ; 0] et strictement croissante sur [0 ; +∞ [.

• La représentation de la fonction valeur absolue est ▪ Sur ] −∞ ; 0] , f (x )=−x ▪ Sur [0 ; +∞ [, f (x )=x .

II ) Étude de la fonction racine carrée

1) Fonction racine carrée :

Définition :

La fonction f telle que f : x √ x est appelée « fonction racine carrée ». Elle est définie sur [0 ; +∞ [.

Propriété :

La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +∞ [.

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Démonstration :

Soit a et b, deux nombres réels tels que 0⩽a<b . On a alors b – a > 0. Comparons

alors f(a) et f(b) : f(b) – f(a) = √b – √a = (√b–√a)(√b+√a)

√b+√a =

b–a√b+√a

> 0 et

donc f(a) < f(b). Ainsi, la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +∞ [.

2) Positions relatives des courbes des fonctions f(x) = x ; g(x) = x² et h(x) = √x

• Voir activité 1 pour la démonstration (être capable de la refaire)

Propriété :

• Si 0⩽x⩽1 , alors x2⩽x⩽√ x • Si x⩾1 , alors √ x⩽x⩽x2

III. Opérations sur les fonctions

1) Fonctions u + k et u • Voir activité 3

Définitions :

Soit u, une fonction définie sur l'intervalle I, k et des constantes réelles avec non nul.

• La fonction notée u + k associe au réel x de l'intervalle I le réel u( x ) + k.• La fonction notée u, associe au réel x de l'intervalle I le réel u( x ).

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Propriétés :

• Les fonctions u et u + k ont le même sens de variations sur l'intervalle I.• Si >0, les fonctions u et u ont le même sens de variations sur l'intervalle

I.• Si <0, les fonctions u et u ont des sens de variations contraires sur

l'intervalle I.

u (x )=2 x2+3 x

2) Fonctions 1u

et √u

• Voir activité 2

Propriété pour la fonction 1u

:

• Soit u, une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x ,u (x ) est non nul et de signe constant.

• Soit v, une fonction définie sur l'intervalle I telle que v ( x)=1u (x ) .

Les fonctions u et v varient en sens contraire sur l'intervalle I.

Démonstration : Soit deux nombres a et b dans l'intervalle I avec a < b.

On a : v(b)–v (a)= 1u (a)

– 1u (b)

=u (a)–u(b)u (a)×u(b)

.

Comme u est de signe constant, u(a)×u (b) est positif et donc v(b) – v(a) et u(b) – u(a) sont de signes contraires et donc les fonctions u et v varient en sens contraire sur I.

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Propr iété pour la fonction √u :

• Soit u, une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout nombre x ,u (x ) est positif.

• Soit v, une fonction définie sur l'intervalle I telle que v ( x)=√u (x ) . Les fonctions u et v varient dans le même sens sur l'intervalle I.

Démonstration : Supposons tout d'abord que u est strictement croissante sur I. Alors, si a < b alors u(a) < u(b). Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur I, √u(a) < √u(b) et donc v(a) < v(b). On peut donc en conclure quev est également strictement croissante sur I. On démontre de manière analogue le cas où la fonction u est strictement décroissante sur l'intervalle I.

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