Mecanique du solide cours

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  • 1. SOMMAIRE CHAPITRE I - COURS1.1DIFFERENTS TYPES DE VECTEURS 1 1.1.1 Vecteur libre,1 1.1.2 Vecteur glissant 1 1.1.3 Vecteur li1 1.1.4 Remarque 21.2DEFINITION DUN GLISSEUR 21.3MOMENT DUN GLISSEUR EN UN POINT 3 1.3.1 Dfinition 3 1.3.2 Remarques3 1.3.3 Thorme 3 1.3.4 Remarques4 1.3.5 Coordonnes du moment dun glisseur4 1.3.6Changement dorigine des moments5 1.3.7Coordonnes dun glisseur : thorme5 1.3.8 Remarques6 1.3.9 Exercice 71.4MOMENT DUN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE8 1.4.1 Dfinition 8 1.4.2 Thorme 8 1.4.3 Exercice 81.5TORSEURS (OU DYNAMES)9 1.5.1 Dfinition 9 1.5.2 Dfinition concernant les torseurs 10 a) somme b) moment en 0 c) quivalence de deux torseurs d) torseur nul e) remarque f) exercice [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.

2. 1.5.3 Formule de changement de lorigine des moments 111.5.4 Condition ncessaire et suffisante de lquivalence dedeux torseurs111.5.5 Coordonnes dun torseur121.5.6 Invariant scalaire dun torseur - Automoment 121.5.7 Comoment de deux torseurs12a) dfinitionb) le comoment est un invariant1.5.8 Moment par rapport un axe14a) dfinitionb) thormec) exercice1.5.9 Torseurs spciauxJ4a) dfinitionb) thormec) coupled) remarque1.5.10Systme de vecteurs glissants particulier16a) systme de vecteurs glissants concourantsb) systme de vecteurs glissants parallles1.5.11Axe central dun torseur - Rpartition 18 a) thorme prliminaire b) axe central : thorme et dfinition c) exercices dapplication d) rpartition des moments autour de laxe central1.5.12 Champ de moments24a) dfinitionb) quiprojectivit du champ de moments : thorme de DELASSUS25 [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 3. La thorie des torseurs a acquis une grandeimportance enmcanique par la grande clart quelle procure dans des problmes clas- siques. Elle permet de modliser de manire remarquable aussi bien les actions mcaniquesappliques un systme que ltat des vitesses dun solide ( ) Historiquement cette thorie est ne de cette profonde*. analogie(thorie de la vis de Bail). Elle donne uneexpression trs concise des thormes gnraux caractre vectoriel en dynamique. Par ailleurs la mcanique analytique nchappe pas au domaine de ses appli- cations : la puissance virtuelle dveloppe par les actions appliques un solide sexprime systmatiquement en connaissant le torseur des actions mcaniques et celui des vitesses virtuelles.Cette importance justifie ltude systmatique qui est faite en prambule au cours de mcanique gnrale. (*)La couverture reprsente la formulation du torseur arodynamiqueet du torseur des vitesses pour un vhicule automobile. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 4. -1 - I.IDIFFERENTS TYPES DE VECTEURS - ASPECT PHYSIQUESuivant la nature des grandeurs physiques qui peuvent trereprsentes par des vecteurs, ceux-ci peuvent tre divises en troiscatgories :- vecteurs libres- vecteurs glissants- vecteurs lis 1.1.1Vecteur libre : Supposons qu une grandeur physique puisse tre reprsente par un vecteur li; mais que tout vecteur li quipollent reprsente la mme grandeur. On dit / . alors que cette grandeur est reprsentable mathmati- quement par un vecteur libre. Exemple : en mcanique nous verrons quun systme de / r force de somme nulle, encore appel couple> est un vecteur libre. Remarque : on dit que les vecteurs ne sont pas loca-Fig 1.1 lises.1.1.2 Vecteurs glissants :Supposons quune grandeur physique puisse se reprsenter par unvecteur li* mais quen outre tout vecteur li ayant mme support repr-sente la mme grandeur. On dit que cette grandeur est reprsentable math-matiquement par un vecteur glissant.Exemple : En mcanique du solide indformable, les forces sont mathmati-quement des vecteurs glissants. Sur la Fig 2, lquilibre du cadre est lemme que la force F soit applique en A ou en B condition de supposerle cadre rigide.Remarque : on dit encore que chacun des vecteurs considr reprsentatifde cette grandeur est localis sur une droite.1.1.3. Vecteurs liesSupposons quune grandeur soit reprsentable mathmatiquementpar un vecteur li mais que tout autre vecteur li reprsente une grandeurdiffrente. On dit que cette grandeur physique est reprsentable mathma-tiquement par un vecteur li. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 5. -2~ Exemple: forces appliques un solide dformble. Suivant que le point dapplication se trouve en A ou en B, la dformation du cadre est diff- rente. Fig 1.31.1.4 Remarquea/ le nombre de paramtres ncessaires la reprsentation de cestrois types de vecteurs est diffrent. La description : -dun vecteur li ncessite 6 scalaires - dun vecteur glissant"5 scalaires ff - dun vecteur libre3 scalaires b/ en gnral, il est convenu de noter - un vecteur li :[ABj - un vecteur glissant : (AB) - un vecteur libre :AB1.2DEFINITION DUN GLISSEURSoit [AB] un vecteur li. Sur la droite (D) support de [AB] onpeut dfinir un ensemble de vecteurs lis quipollents [B]. (Voir Fig 4).Cest ce quon appelle un glissew? [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 6. 3- Si [BJ est un reprsentant dun glisseur, on dsigne le vecteur glissant par ( E . On pourra ainsi dire que ce vecteur glissant est constitu par5) lassociation dune droite (D) et dun vecteur libre v = B- On peut noter (B) - { yff ->. OA = OA + XU(1.13) Le point A est unique. Tous les points rpondant la question sont sur une parallle mene par A* U. Cest laxe du glisseur (le produit vectoriel U A OG dtermine un vecteur et un seul).1.3.8 Remarques a/ Remarque 1 A un glisseur on peut faire correspondre deux vecteurs U et [pQf . Rciproquement deux vecteurs U et [OG] on peut faire correspondre un glis- seur et un seul. Cest pourquoi on peut vraiment parler de coordonnes dun glisseur. b/ Remarque 2Si lon avait dfini le moment dun vecteur li on aurait pu luiassocier deux vecteurs j et [GJ Mais rciproquement deux vecteurs U et [G] tels que U.G 0 on peut faire correspondre une infinit de vecteurs lis qui seraient tous quipollents et de mme support. Autrement dit, on naurait pas pu avoir une correspondance biuni- voque. c/ Remarque S On peut parfaitement caractriser une droite (D) quand on connait un vecteur glissant port par cette droite. Par consquent les coordonnes pluckriennes de la droite (D) dans un repre orthonorm sont les composantes scalaires dun glisseur quelconque ayant (D) pour support. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 10. - 7-1.3*9 Remarque 2 : On peut parfaitement caractriser une droite (D) quand on connait un vecteur glissant port par cette droite. Par consquent les coordonnes pluckviennes de la droite (D) dans un repre orthonorm sont les composantes scalaires dfun glisseur quelconque ayant (D) pour support. Soit un repre orthonorm R dorigine 0.+[] 2il Soit un glisseur (V) 3 dont un reprsentant a pour origine A 0 . Considrons aussi O f fIUp1 *LQU RLiJR1/ Calculer son moment au point 0 _^ + pi M f" (0) VL - OA A V = 0 * 3 - -1WR LJE bJR 2/ Calculer son moment au point Opar la dfinition M, ,.( - -* * OA A V- F011!1 *F31 - 2 = f2-2" Lo-il R jJ R NR 3/ Retrouver le moment en O y en utilisant la formule du changement dforigine= + V)"(o) * f" olF-il fi"= -1+-1 A 3L3jR L-iJR LdR F 1 F 21 F 2 " [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.v> -v :! " 1 11. -8-1.4MOMENT DUN GLISSEUR PAR RAPPORT A UN AXE1.4.1Dfinition : Soient (AB) un glisseur ayant pourreprsentant le vecteur.glissant ($),et un axe (X) de vecteur unitaire (a) Soit 0 un point de laxe (X) . On appelle moment dun glisseur parrapport un axe la projection sur cetaxe du moment par rapport un point delfaxe.M, (A3) =(A A B).a (1.14) 7(X) 1.4.2 Thorme :Le moment par rapport un axe est indpendant du point choisisur oet axe. Soit O 1 un autre point de laxe ( ) X. Calculons la quantit (TA A B).a (1.15) - [ ( + OA) A B] .a(O CT ( )0 A B) .a -H (OA A B) .a Or(OO A AB).a 0 (produit mixte de deux vecteurs colinaires) ( 7 A B).a! = (OA A B) .a - M/ x ( 5 3)(1.16) 1.4.3.Exercice : Reprenons lexercice trait au paragraphe 1.3.10 et calculons1/ le moment par rapport OX M. (V) =(OA A V) .x 6x H.*=M ()x 0roi fii"-.i . o NR W, [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 12. -9-Rsultat vident puisque V coupe laxe OX. 2/ le moment par rapport OY =5 ? V^ r*oi [o = - 1 . 1 = -iNRWR 3/ le moment par rapport QZ = s o) V^ r^[2= -2 . 1//3 = -.2j R [l//3J ^1.5TORSEURS ; (OU DYNAME)1.5.1Dfinition :On appelle torseur ou dynome, un ensemble de vecteurs glissantsen nombre quelconque. On le notera par exemple([T] = {(^B!) , (Ttp ^?n)} d-17) [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 13. -.10-1,5.2 Dfinitions concernant les torseurs : a) on appelle somme du torseur le vecteur libre somme des vecteurs libres des diffrents vecteurs glissants 3= l Bi: 0-18> i-1 3 - Ui + . .. + 5. + . . + t1 i .n b) on appelle moment en 0 du systme [T] le vecteur li dorigine 0 somme des moments en 0 des divers glisseurs de (T) *v 0 -() O^i A A75T (1.19) i=l - ^o) * %o)+ " %(o)+ + OIT A A.B!)..f;. 11 i i i M(0f)-M(0) -H ^O A S (S =l A.B!) (1.20) i=l1.5.4 Conditions ncessaireet suffisante de lfquivalence de deux torseurs a) condition ncessaire (analyse)Soient deux torseurs [ ] et [r1] quivalents. On a donc par hypothseT S P - Sf(P)() pour (P) M(P) = S 0 + P > > < a p a p> }La Vsomme (S) de ce torseur est par dfinition^ n ^p^S - A.B. + l a. g. --S x + S2 i-.l > * j=j J JLe moment M(0) est par dfinition^n ^^ p ^M(0) - OA. A A.B. + Oa. A o-g.X L1-1 j-1 JJ J- Mi(0) H- Mz(0) : Le torseur somme a pour somme la somme des sommes des torseursconstitutifs et pour moment en un point la somme des momentsdes torseurs constitutifs.^ 2l2-.-i2-.i2YEBL1automoment du torseur [ ] = [ l + [iz] est un invariant T i]U 0 -;($! + t2) pi(0) +S2(0)J ( )=SiM!(0) - ?2Mi(0) + "S^CO) + ^ (0) 2- - ^ 0 $ ( ) + "2fi2(0) + .C12S.M(O) est invariant (automoment de [ T ) YSiMi(O)(-" [i )T]?2S2(0) ( " " [2 )1]Ci2 diffrence de deux quantits invariantes est invariant.c) Remarque. Comoment dun torseur avec lui-mme. Le comoment estCH -2 1i . M!(O) (1.25)!cest dire deux fois 1 automoment [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 17. -14-1.5.8Moment par rapport un axea) Dfinition On appelle moment du torseur [ ] par rapport un axe (X) la sommel des moments par rapport cet axe des diffrents glisseurs qui cons- tituent le torseur.. On noten_^ ^ M(X) = l (OA.^ A.-A^). a(1.26) i=l a dsignant un vecteur unitaire de laxe b) ThormeLe moment par rapport un axe est la projection sur cet axe du moment par rapport un point de laxe. n M(X) =l ( I A ATIt) aOTi=ln ^ ^ _^( l OA. A A.BO a i=l l XL M(X) = M(0) . a c) ExerciceMontrer que le moment par rapport un axe dun torseur est gal au comoment du torseur et dun vecteur unitaire port par laxe.Soit [Y] un torseur dlments de rduction en un point 0, S et M(0). Soit^(X) un axe quelconque mais passant par 0 et dfini par un vecteur glissant (a), qui peut alors tre considr comme un torseur particulier [ x T] dlments de rduction a et S 0 = 0. ()Le comoment de [ ] et | x est selon la dfinition (1.23) S 0 . ,fj[ ()a ce qui nous donne bien la dfinition du moment du torseur [ ] par rapport T laxe ( )X.Naturellement, on peut prendre ceci comme dfinition du moment par rapport un axe. 1.5.9 Torseurs spciauxa) Dfinition Un torseur est dit spcial si ^ .S 0 = 0 ()(1.27)b) Thorme : condition ncessaire pour quun torseur soit quivalent un vecteur glissant unique [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 18. -15 -Soit un torseur jjf] donn par ses coordonnes vectorielles S etM(0) . Pour que le vecteur glissant (AB) soit quivalent [ ] on doit avoirTcondition ncessaire et suffisanteB = "S > > -*- -> OA A AB = M(0)ce qui implique S ^ 0 S0 . =0 () ?Le torseur est spcial.Sil en est ainsi on aura Ot = * A *+ x . (K28) S2Do le thorme Pour quun torseur soit quivalent un vecteur glissant il fautet il suffit queS ^ 0"S.M(O) 0Le vecteur glissant est unique, on a AB S et le support passe par le pointA tel queOA* = S A ^S2On dit dans ces conditions que le vecteur glissant est le reprsentantcanonique du torseur. c) couplea) dfinition On appelle couple tout torseur dont la somme est nulle = 0. Cestun torseur spcial car b J(0) = 0 .3) thorme Le moment dun couple en un point quelconque est quipollent unvecteur fixe non nul ; le vecteur libre dont il est un reprsentant est appe-l moment du coupleS P = ^ 0 + P A ? ()() & P = S 0 pour V (P)()() (1.29)do le thorme d) Remarque Lorsquun torseur est spcial il est quivalent soit un vecteurglissant unique soit un couple. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 19. -16-1.5.10 Systme de vecteurs glissants particuliersa) Systme, de vecteurs glissants concourantsSoit un systme de vecteurs glissants(A.B.) passant tous par un point 0 la somme est - j, ^ n(1.3)n ^ _^- le moment est M(0) = OA^AA.B. i=l Prenons un vecteur glissant (AB) passant par 0 et tel que AB = SS = AB par hypothse on aM0(AB) = o - MO[T](1.31) Par suite le torseur [ ] est quivalent un vecteur glissant unique passant l par 0 et tel que AB = S. Ce vecteur glissant unique est appel rsultante du torseur. Cest le thorme de Varignon pour les vecteurs flissants concourant^ (la rsultante est un vecteur glissant alors que la somme est un vecteur libre)b) Systme de vecteurs glissants parallles Les vecteurs glissants tant tous parallles, on peut poser A.B. A. u (1.32) - la somme est S =v X. + uXi-1- ( I V ui-1 (cette somme naturellement peut tre nulle mais ce cas a dj t envisag - voir couple) n Nous prendrons donc X- ^ 0 par hypothsei=l - le moment est n ^ OAM(0) = J! i A xi ui=lr X. ^ A -^) L OA. uL 1=1^ n^M(0) = ( X^ OA^) A ui=l [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 20. mais comme - 17 - J, X. / 0 par hypothse, on ai=l - Xn ^ny I X i OA - ( I X) OGi=li=l . G tant le barycentre des points A. affects des coefficients X.. On peut donc crire +S * + M(0) - ( l X.) OG A u i=l X- ONG A l Xi u i-1 ^ 0 - OG A S()(1.33)Soit maintenant un vecteur (AB) tel que AB = S et passant par G tel que yn m ^OG =l X OAt i=l na, ^= 1 , ,(1-34)MO(AB) = OG s M(O) Le vecteur glissant (AB) est quivalent au torseur donn. D f o le thorme pour les vecteurs glissants parallles. Un systme de vecteurs glissants parallles est quivalent un vecteur glissant unique de vecteur libre Sdont laxe passe par le barycentre des ^points A- affects df un coefficient gal la mesure algbrique du vecteur A.B. sur laxe de direction commune. t- lsConclusion : Le thorme de Varignon sapplique donc lorsque le point de concoursdes vecteurs glissants est rejet linfini. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 21. -18- ! 1.5.11 AXE CENTRAL D UN TORSEUR ; REPARTITION a) Thorme prliminaire : If Enonc :* Pour que le moment dun torseur T] soit constant le long dune droite ()* il faut et il suffit que cette droite soit parallle la somme 5 de [r]^ (suppose diffrente de zro) 2/ Condition ncessaire Soit (A) une droite et soient M et Ndeux points distincts sur cette droite. Ona doncM(M) " M(N) par hypothseOn peut toujours crire $LM M. v + MNA On doit donc avoir S A ? =0Par hypothse S ^ 0 * 0Donc, pour que le produit vectoriel soitnul, la seule condition possible est davoirMN colinaire et donc (A) parallle ^(Fig 1.13)3/ condition suffisanteSoit (A) une droite parallle S et __^_^soient M et N deux points distincts sur cettedroite. On a MN = x S. O n peut aussi crire S(M) * (N)+ * *et donc on a bien= S V) (N) b) Axe central. Thorme et dfinitionNous avons vu que tout le long dune parallle . "S le moment duntorseur est constant.Nous allons chercher maintenant le lieu des points I tel queMx T x = AS, cest dire le lieu des points tel que le moment soit colinaire la somme.l/ ThormeSi la somme S dun torseur [T nest pas nulle3 le lieu des pointsI o le moment de T est colinaire S est une droite () parallle ~appele axe central. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 22. 1.10AXE CENTRAL D y UN TORSEUR ; REPARTITION1.10.1 Thorme prliminaire : a/ Enonc : Pour que le moment dun torseur [r] soit constant le long dune droite ()* il faut et il suffit que cette droite soit parallle la sommet de T* (suppose diffrente de zro) k/ Condition ncessaire Soit (A) une droite et soient M et Ndeux points distincts sur cette droite. Ona doncpar h*V) * *V)ypthseOn peut toujours crire M,.,,. = M / M N + MNjt (M; (N;On doit donc avoirM A ? =0Par hypothseMN ^ 0I + 0Donc, pour que le produit vectoriel soitnul, la seule condition possible est davoirMN colinaire "s et donc (A) parallle (Fig 1.13) c/ condition suffisanteSoit (A) une droite parallle S et _^ ^ soient M et M deux points distincts sur cette droite. On aMN = x S . On peut aussi crire S= 5(M) (N) + * S et donc on a bienV) ~ 2(N)1.10.2 Axe central. Thorme et dfinition Nous avons vu que tout le long dune parallle 3 le moment dun torseur est constant. Nous allons chercher maintenant le lieu des points I tel que Myjy = XS, cest dire le lieu des points tel que le moment soit colinaire la somme. a/ Thorme Si la somme 5 dun torseur [ 7 nest pas nulle> le lieu des points ] I o le moment de [T est colinaire S est une droite () parallle 3 appele axe central. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 23. - 20 -*** S * M. v II passe par le point I tel que01 **-(1.35) S2b/ dmonstration vectorielle : Daprs le thorme prliminaire 1.9%1 le lieu, sil existe, est une droite parallle $f car sil existe un point I, tous les points rpon- dant la question sont sur une droite mene par I, paralllement "$. Cherchons donc un point I qui rpondrait la question cest dire5d) = x* On sait que le torseur considr r] peut tre caractris par ses lments de rduction s et 5/0 supposs non nuls. On peut donc crire S( ) - g 0 + ** I () A S * 5(Q) + $ = Mettons cette expression sous la forme[x "" ^/QV] $ A *> (1.36) ce qui revient rsoudre cette quation vectorielle par T. Il ny aura existence de la solution que pour [ ? - ^/0J $ 0x cest dire pour.39 tfX (Q)i2i(K37) S2 5.M. v automoment du torseur, invariant,est aussi invariant puisque S2 est aussi invariant. On lappelle le "pas" du torseur Pi]. Nous avons dj rsolu une quation telle que 1.3.6 au paragraphe 1.3./,*pour un point I* particulier tel que o* . 3 - 0 cest dire tant la projection de 0 sur la droite cherche. Selon le rsultat 1.13 on a donc..^..IjLffil(LU) S* Ce point est unique. Et donc la droite (A) lieu des points I sera telle que 5 = 6* + x ? (1.39) selon (1.11)En conclusion, tous les points I rpondant la question sontsitus sur une parallle ? mene par I*. Cette droite est laxe centraldu torseur [ ] ayant A pour pas.T, o-r - ll^>S2 5l=I* + x S(1.40)x. Lia.S2 [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 24. - 21 - c/ Dtermination analytique Considrons un repre orthonorm direct R et soit [ ] un torseur l dont les lments de rduction en 0 sont g et &/o supposs non nuls tels que - -> = ^YO constantePar suite les vecteurs de la gerbede sommet A reprsentatifs des mo-ments en tous points du torseur ontleur sommet dans un plan perpendi-culaire s Donc le moment est minimum sil a la direction de S, cest dire si le point correspondant appartient bien laxe central.1.5.12 CHAMP DE MOMENTS a) Dfinition Si on se donne le moyen de faire correspondre tout point P dune certaine rgion de lespace un vecteur li [ ( ) dorigine P on dit quon fp] dfinit un champ de vecteurs. En particulier, tant donn un torseur [ ] tout point P de T, lespace correspond le moment S/px du torseur en P. Le champ constitu par les vecteurs H/p est appel champ de moments. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 28. -25- II est caractris par la formule liant le moment en deux points F et Q = S+ V) (Q)** * * S tant la somme du torseur considr ; b) Equiprojectivit du champ de moments : Thorme de Delassus l Proprit du champ de moments : un champ de moments est.quipro- jectif Soient M et N deux points quelconques. On a5+(M) *^+ ^(Q)^(o)>^ [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 29. -26- qui devient, compte tenu de (a) et (b) + ( ( Vr V) Q*(Qr V>> ^= Nous avons finalement les trois relations suivantes :? J * )[V(Q)- V(Q)] Q - 0 (b) (1.47) [V)-*J ^ + P(Q>-*1^ = () c Considrons maintenant une base orthonorme R dorigine 0 et de vecteurs unitaires x^ X X3 qui ont pour extrmit KI, K, K3. Appliquons les relations (1.47) aux extrmits des vecteurs uni- taires. Lexpression (1.47 a) ou bien (K47 b) donne P(Kl)-^(o)] * - ^(K2rV)]^ = ^(KD- V)l- ^= (1-48) p(K3r ^(o)J ^3 = Lexpression (1.47 c) donne galement [V)" % ] ^ - ^(K2)-^(0)].Si = o ) [V2r V)i- ^3 + [V3r *] ^= .P(K3>-^Q)l- ^+ tv(Kl)-v(0)]. 0^3 = o qui sous forme indicielle deviennent[ F(K)- *] j *V ) > ^ = j - ) r( 4 )K 9 Posonsr.. = (V(Ri)- V(Q)) l.(1.50) Les relations (1.48) et (1.49) scrivent alors r- 0i=j)1J> (1.5-1) r.. + r.. - 0 i*j)(1.51) nous permettent de dire que les r.. sont antisymtriques par rapportaux indices. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 30. -27-Considrons maintenant un point P quelconque. Ses coordonnesdans la base R seront 3 3-+OP =7 x. x.x x = y 1 -*1 x. OK.(1.52) i=l i=l.-Pour ce point P la formule (1.47 c) peut scrire P(P>-V^ - - P(Q)-^(0)]. 6* =- P(Q)- *l j xi i , =- j,xi ^(Q)-V>)]-otiMais la formule (1.47 c) donne toujours= P(Q)- * V (P)" V (0)= - - -* " A ?avec ft =-r13L ri 2 J R [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs. 31. -28- et on a donc =(K53)*

V) * * " qui est bien lexpression qui caractrise un champ de vecteurs et donc un champ de moments en particulier. [JP.BROSSARD], [1994], INSA de Lyon, tous droits rservs.