Slides Lycée Jules Fil 2014

Méthodes de sondages, le pouvoir de l’alea

Nathalie Villa-Vialaneixhttp://www.nathalievilla.org

[email protected]

Chargée de recherche INRA, Statistique

Lycée Jules Fil, Carcassonne - 27 Mars 2014

Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 1 / 18

http://www.nathalievilla.org

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Loi des grands nombres

Outline

1 Loi des grands nombres

2 Utiliser le hasard pour un sondage

3 Théorème Centrale Limite



Jeu de pile ou face

Issues possibles dans un jeu de pile ou face : {pile, face}

n jeux de pile ou face ; on considère

P =]pile

n

(fréquences de “pile” parmi les lancers)

n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1

12 , 1

22 0, 1

2 , 1 14 , 1

2 , 14

3 0, 13 , 2

3 , 1 18 , 3

8 , 38 , 1

8... ... ...n 0, 1

n , 2n , ..., 1 1

2n , n2n , n×(n−1)

2n+1 , ..., 12n

issues possibles : {pile, pile}, {pile, face}, {face, pile}, {face, face}



Jeu de pile ou face



P =]pile

n



12 , 1

22 0, 1

2 , 1 14 , 1

2 , 14

3 0, 13 , 2

3 , 1 18 , 3

8 , 38 , 1

8... ... ...n 0, 1

n , 2n , ..., 1 1

2n , n2n , n×(n−1)

2n+1 , ..., 12n




Jeu de pile ou face



P =]pile

n



12 , 1

22 0, 1

2 , 1 14 , 1

2 , 14

3 0, 13 , 2

3 , 1 18 , 3

8 , 38 , 1

8... ... ...n 0, 1

n , 2n , ..., 1 1

2n , n2n , n×(n−1)

2n+1 , ..., 12n




Jeu de pile ou face



P =]pile

n



12 , 1

2

2 0, 12 , 1

14 , 1

2 , 14

3 0, 13 , 2

3 , 1 18 , 3

8 , 38 , 1

8... ... ...n 0, 1

n , 2n , ..., 1 1

2n , n2n , n×(n−1)

2n+1 , ..., 12n




Jeu de pile ou face



P =]pile

n



12 , 1

2

2 0, 12 , 1

14 , 1

2 , 14

3 0, 13 , 2

3 , 1

18 , 3

8 , 38 , 1

8... ... ...n 0, 1

n , 2n , ..., 1 1

2n , n2n , n×(n−1)

2n+1 , ..., 12n




Jeu de pile ou face



P =]pile

n



12 , 1

2

2 0, 12 , 1

14 , 1

2 , 14

3 0, 13 , 2

3 , 1

18 , 3

8 , 38 , 1

8

... ...

...

n 0, 1n , 2

n , ..., 1

12n , n

2n , n×(n−1)2n+1 , ..., 1

2n




Jeu de pile ou face



P =]pile

n


n valeurs possibles pour P Probabilité d’avoir cette valeur1 0, 1 1

2 , 12

2 0, 12 , 1

14 , 1

2 , 14

3 0, 13 , 2

3 , 1

18 , 3

8 , 38 , 1

8

... ...

...

n 0, 1n , 2

n , ..., 1

12n , n

2n , n×(n−1)2n+1 , ..., 1

2n




Jeu de pile ou face



P =]pile

n



2 , 12

2 0, 12 , 1 1

4 , 12 , 1

43 0, 1

3 , 23 , 1

18 , 3

8 , 38 , 1

8

... ...

...

n 0, 1n , 2

n , ..., 1

12n , n

2n , n×(n−1)2n+1 , ..., 1

2n




Jeu de pile ou face



P =]pile

n



2 , 12

2 0, 12 , 1 1

4 , 12 , 1

43 0, 1

3 , 23 , 1 1

8 , 38 , 3

8 , 18

... ...

...

n 0, 1n , 2

n , ..., 1

12n , n

2n , n×(n−1)2n+1 , ..., 1

2n




Jeu de pile ou face



P =]pile

n



2 , 12

2 0, 12 , 1 1

4 , 12 , 1

43 0, 1

3 , 23 , 1 1

8 , 38 , 3

8 , 18

... ... ...n 0, 1

n , 2n , ..., 1 1

2n , n2n , n×(n−1)

2n+1 , ..., 12n




Répéter le jeu de pile ou face... longtemps !

Regardons comment P évolue :

1 lancer

2 lancers3 lancers...

n lancers

→

→

→...

→

P(1)

P(2)P(3)...

P(n)

tracer le graphique de P(n) en fonction de n...

Simulons !


http://shiny.nathalievilla.org/alea




1 lancer2 lancers

3 lancers...

n lancers

→

→

→...

→

P(1)P(2)

P(3)...

P(n)


Simulons !






1 lancer2 lancers3 lancers...

n lancers

→

→

→...

→

P(1)P(2)P(3)...

P(n)


Simulons !




Conclusion

Quand n devient très grand,

P(n) =]pile

n

se rapproche de 12 , càd, de la probabilité d’obtenir “pile” en lançant

une pièce !


fréquence observée d’un événement sur un grand nombre d’essais↓

probabilité (théorique) d’obtenir cet événement sur un essai



Conclusion

Quand n devient très grand,

P(n) =]pile

n

se rapproche de 12 , càd, de la probabilité d’obtenir “pile” en lançant

une pièce !


fréquence observée d’un événement sur un grand nombre d’essais↓

probabilité (théorique) d’obtenir cet événement sur un essai



Perspective historique“Ars Conjectandi” (1713) de Jacques Bernoulli est le premier ouvragecontenant une démonstration de la loi des grands nombres dans le cas dela fréquence de succès d’un événement (comme le jeu de “pile ou face”).

La démonstration lui prit 20 ans et fût publiée par son neveu huit ans aprèssa mort. On appelle loi de Bernoulli une loi qui donne la probabilité dusuccès d’un événement : “avoir un pile au jeu de pile ou face” (1/2), “avoirun 6 au dé” (1/6), etc...



Perspective historique“Ars Conjectandi” (1713) de Jacques Bernoulli est le premier ouvragecontenant une démonstration de la loi des grands nombres dans le cas dela fréquence de succès d’un événement (comme le jeu de “pile ou face”).

La démonstration lui prit 20 ans et fût publiée par son neveu huit ans aprèssa mort. On appelle loi de Bernoulli une loi qui donne la probabilité dusuccès d’un événement : “avoir un pile au jeu de pile ou face” (1/2), “avoirun 6 au dé” (1/6), etc...Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 6 / 18


Extension au cas d’une loi quelconqueExpérience : On tire au hasard des nombres selon une distribution deprobabilité donnée (ex : tirer au hasard un nombre entre 0 et 1)

x1, x2, x3...

Densité de la distribution de probabilité, fX : exemple de la densité dela loi Gaussienne

Espérance : E(X) =∫

xfX(x)dx (exemple : pour la loi Gaussienne,E(X) = 0 ; pour un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 : E(X) = 0, 5)




x1, x2, x3...



xfX(x)dx (exemple : pour la loi Gaussienne,E(X) = 0 ; pour un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 : E(X) = 0, 5)




x1, x2, x3...



xfX(x)dx (exemple : pour la loi Gaussienne,E(X) = 0 ; pour un nombre tiré au hasard entre 0 et 1 : E(X) = 0, 5)Sondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 7 / 18


Convergence vers l’espérance

On définit la moyenne des n premiers nombres tirés : Xn = x1+...+xnn

tracer le graphique de Xn en fonction de n...

Simulons !


Xn se rapproche de E(X)







Simulons !









Simulons !





Utiliser le hasard pour un sondage

Outline






Exemple introductifOn cherche à savoir le pourcentage de personnes en France qui aiment lapizza (noté P et inconnu)

1 Solution 1 : interroger tous les habitants de France et leur demandersi ils aiment la pizza : c’est long !!!!!!!

2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnesdans la population et calculer P̂(n) le pourcentage de personnes quiaiment la pizza

la probabilité qu’une personne prise au hasard aime la pizza est P(inconnue) donc

P̂(n) ' P

si n est assez grand







P̂(n) ' P








P̂(n) ' P






2 Solution 2 (sondage aléatoire) : interroger au hasard n personnesdans la population et calculer P̂(n) le pourcentage de personnes quiaiment la pizzala probabilité qu’une personne prise au hasard aime la pizza est P(inconnue) donc

P̂(n) ' P

si n est assez grandSondage & alea (INRA, Unité MIA-T) Nathalie Villa-Vialaneix Carcassonne, 27 mars 2014 10 / 18


Perspective historique• le principe du sondage est pratiqué depuis le Moyen-Âge mais sans

contrôle probabiliste ;

•

au XVIIIe, Pierre-Simon de Laplace :premières estimations pour évaluer lapopulation française à partir des naissances(choix raisonné d’échantillonnage, notiond’“erreur à craindre”) ;

•

Arthur Bowley (∼ 1900) : premierssondages aléatoires (notion d’intervalle deconfiance) ;

• approche reconnue au congrès de l’IIS en 1925 (Rome) et qui segénéralise dans les instituts de sondage nationaux.





•


•







•


•





Méthodes de sondage aléatoiresSondage simple

On choisit au hasard n personnes dans la population.

Sondage par strates

Simulons !

La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ontdes valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)

⇒

on choisit au hasard quelques personnes dans chaquesous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !




Méthodes de sondage aléatoiresSondage simple

On choisit au hasard n personnes dans la population.

Sondage par strates

Simulons !


⇒





Méthodes de sondage aléatoiresSondage par grappes

La population est divisée en (beaucoup de) petites sous-populations (ex :les départements français)

⇒ on choisit au hasard quelquessous-populations pour lesquelles on interroge tout le monde : c’estmoins coûteux... !

Sondage par strates

Simulons !


⇒





Méthodes de sondage aléatoiresSondage par grappes

La population est divisée en (beaucoup de) petites sous-populations (ex :les départements français)⇒ on choisit au hasard quelquessous-populations pour lesquelles on interroge tout le monde : c’estmoins coûteux... !

Sondage par strates

Simulons !


⇒





Méthodes de sondage aléatoiresSondage par strates

Simulons !


⇒





Méthodes de sondage aléatoiresSondage par strates Simulons !

La population est divisée en un petit nombre de sous-populations qui ontdes valeurs différentes pour la variable d’intérêt (ex : 3 classes d’âges)⇒on choisit au hasard quelques personnes dans chaquesous-population : réduit la variabilité de l’estimation... !




Le sondage en pratique : souvent, la méthode des quotas

Actuellement, les instituts de sondage pratiquent souvent la

méthode des quotas

(construction d’un échantillon non aléatoire construit pour reproduire lescaractéristiques d’âge, sexe, CSP, etc de la population)

Problème : Aucune possibilité de contrôler l’ampleur de l’erreur effectuéelors de l’estimation avec une approche probabiliste !



Le sondage en pratique : souvent, la méthode des quotas

Actuellement, les instituts de sondage pratiquent souvent la

méthode des quotas

(construction d’un échantillon non aléatoire construit pour reproduire lescaractéristiques d’âge, sexe, CSP, etc de la population)

Problème : Aucune possibilité de contrôler l’ampleur de l’erreur effectuéelors de l’estimation avec une approche probabiliste !


Théorème Centrale Limite

Outline






Retour au jeu de pile ou face...

Ici, on fixe n. On sait que pour n “assez grand”, P(n) ' 0, 5 (lepourcentage de “pile” observés sur n tirages est proche de 50%).

Comment se répartit P(n) autour de 0,5 si on effectue plusieurs sériesde n tirages ?

Simulons !

1 on génère m séries de n tirages chacune ;

2 pour chacune des séries, on calcule P(n) ;

3 on centre et on réduit P(n) en calculant pour chaque série : P(n)−0,51/(2

√n)

;1

4 on effectue l’histogramme des m valeurs ainsi trouvées.

1 12√

nest en fait l’écart type attendu de P(n).







Simulons !




√n)

;1


1 12√








Simulons !




√n)

;1


1 12√





Conclusion des simulationsRésultat : Lorsque n devient grand et que le nombre de séries de tiragesdevient grand aussi l’histogramme des P(n)−0,5

σ(P(n)) ' densité gaussienne demoyenne 0 et d’écart type 1.



Extension pour une distribution généraleLe théorème Centrale Limite

La propriété précédente est vraie de manière très générale : Xn−E(X)σX

estréparti autour de 0 comme une loi gaussienne de moyenne 0 et d’écarttype 1 lorsque n devient grand.

95% des valeurs Xn−E(X)σX

sont entre −1, 96 et 1, 96 (très faible probabilité).



Extension pour une distribution généraleLe théorème Centrale Limite

La propriété précédente est vraie de manière très générale : Xn−E(X)σX

estréparti autour de 0 comme une loi gaussienne de moyenne 0 et d’écarttype 1 lorsque n devient grand.

95% des valeurs Xn−E(X)σX

sont entre −1, 96 et 1, 96 (très faible probabilité).



Application pour la recherche d’un intervalle de confiance

En sondage :

1 on calcule : moyenne de la variable étudiée sur l’échantillon X ;

2 si σX est connue, on en déduit un intervalle de confiance :IC =

[X − 1, 96 × σX√

n;X + 1, 96 × σX√

n

].

Interprétation : 95% des échantillons construits ainsi contiennent labonne valeur de l’espérance E(X).

Simulons !

En pratique, σX n’est pas connue, comme la moyenne, on l’estime àpartir de l’écart type sur l’échantillon.





En sondage :



[X − 1, 96 × σX√

n;X + 1, 96 × σX√

n

].


Simulons !






En sondage :



[X − 1, 96 × σX√

n;X + 1, 96 × σX√

n

].


Simulons !




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